2025年黑龙江省哈尔滨市中考数学真题含解析

这是一份2025年黑龙江省哈尔滨市中考数学真题含解析，共8页。试卷主要包含了考试时间120分钟，全卷共三道大题，总分120分，方程的解为，抛物线的顶点坐标是，如图，，若，，则，如图，在中，，，等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.考试时间120分钟
2.全卷共三道大题，总分120分
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1.的倒数是（ ）
A.B.C.D.2
2.传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵.下列窗格图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A.B.C.D.
3.黑龙江水系径流资源丰富，水能资源总蕴藏量约32000000千瓦，将32000000用科学记数法表示为（ ）
A.B.C.D.
4.六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ）
A.B.C.D.
5.方程的解为（ ）
A.B.C.D.
6.抛物线的顶点坐标是（ ）
A.B.C.D.
7.如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形，按照这样的方法拼成的第6个正方形需要（ ）个小正方形.
A.30B.40C.49D.56
8.如图，，若，，则（ ）
A.B.C.D.
9.如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（ ）
A.5B.C.8D.
10.如图，在中，，，.点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（ ）
A.B.C.D.
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11.在函数中，自变量的取值范围是_____.
12.把多项式分解因式的结果是_____.
13.桌上倒扣着背面图案相同的7张扑克牌，其中5张红桃，2张黑桃.从中随机抽取1张，则抽取的扑克牌的花色是红桃的概率是_____.
14.不等式组的解集是_____.
15.一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是_____.
16.某玩具汽车的功率（单位：）为定值，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率_____.
17.定义新运算：，则的运算结果是_____.
18.在中，，点在射线上，，连接，，则_____度.
19.抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是_____.
20.如图，中，对角线，交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，延长交直线于点，延长交直线于点，分别连接，，有如下结论：①，；②四边形是菱形；③若，.则；④若，，，点为上的一个动点，则的最小值是.上述结论中，所有正确结论的序号是_____.
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21.（本题7分）
先化简，再求代数式的值，其中.
22.（本题7分）
如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图.
（1）在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5；
（2）在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值.
23.（本题8分）
跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展.颖立中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图.
A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65 70 73 80 85 95 96 96 98
根据以上信息回答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）A组学生跳绳次数的中位数是_____，的值是_____；
（3）若颖立中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有多少名.
24.（本题8分）
已知：在正方形的内侧作等边三角形，连接，.

图① 图②
（1）如图①，求证；
（2）如图②，过点作.，交的延长线于点，平分，交于点，连接，交于点，连接交于点，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图②中四条与线段相等的线段（线段，除外）.
25.（本题10分）
为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需用64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需用52元.
（1）求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元；
（2）晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？
26.（本题10分）
已知：内接于，圆心在的内部，为的直径，连接，.

图① 图② 图③
（1）如图①，求证；
（2）如图②，过点作的切线，交的延长线于点，求证；
（3）如图③，在（2）的条件下，，连接并延长至点，连接交于点，，为上一点，，连接，点在上，连接，，，点为的中点，连接，，求的面积.
27.（本题10分）
已知：在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为.

图① 图②
（1）求直线的解析式；
（2）如图①，为轴正半轴上一点，于点，点在线段上（点不与点重合），连接，设点的横坐标为，的长为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）如图②，在（2）的条件下，点横坐标为，在第一象限内作直角三角形，，，点在轴上，设点的横坐标为，点在上，，在第四象限内作，，连接，，交轴于点，连接并延长交于点，，求点的坐标.
答案
1.D 2.B 3.C 4.A 5.B 6.A 7.C 8.D 9.A 10.A
11. 12. 13.
14. 15. 70 16. 20 17.
18. 40或60 19. 4 20.①②④
21.解：原式
.
当时，
原式.
22.解：（1）如图所示.
（2）如图，点即为所求.
.
23.解：（1）（名）.
答：一共抽取60名学生.
（2）85，36.
（3）（名）.
答：估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有900名.
24.解：（1）证明：四边形是正方形，
，
.
是等边三角形，
，
.
.
.
（2），，，.
25.解：（1）设1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为元、元.
由题意，得
解得
答：1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为6元和8元.
（2）设购买盏甲型节能灯，则购买乙型节能灯盏.
由题意，得
.
解得.
答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯.
26.（1）证明：为的直径，
.
设.
，
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，
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（2）证明：连接，，并延长交于点.
，
垂直平分.
，.
是的切线，
.
是的直径，
.
四边形是矩形，
.
.
（3）解：如图，连接，，并延长交于点.
为的中点，
.
是的直径，
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，
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，
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，
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，
设，则.
四边形是矩形，
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，
，
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，.
，.
，
.
过点作于点.
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.
.
.
，.
.
解得.
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，
.
27.解：（1）设直线的解析式为.
将点代入，
得
解得
直线的解析式为.
（2），，
，，.
.
点的横坐标为，
.
，
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.
（3）如图，过点作轴于点.
点的横坐标为，点的横坐标为，
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，
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，
，.
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，
.
直线的解析式为.
，
直线的解析式为
.
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，
，
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过点作轴于点.
.
.
延长，交于点，过点作轴于点.
.
在轴负半轴上截取，连接交，于点，，连接.
，
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设.
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，
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，
，
.
设，.
，
，
.
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，.
，.
.
，.
.
，，.
直线的解析式为，
直线的解析式为.
联立
解得
点的坐标为.
组别
次数（单位：次）
频数
A组
9
B组
C组
12
D组
3