2026年高考数学一轮复习考点讲与练 等差数列及其前n项和+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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知识点一．等差数列的有关概念
（1）等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）．
（2）等差中项
若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有．
知识点二．等差数列的有关公式
（1）等差数列的通项公式
如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．
（2）等差数列的前项和公式
设等差数列的公差为，其前项和．
知识点三．等差数列的常用性质
已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．
（1）通项公式的推广：．
（2）在等差数列中，当时，．
特别地，若，则．
（3），…仍是等差数列，公差为．
（4），…也成等差数列，公差为．
（5）若，是等差数列，则也是等差数列．
（6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的．
（7）若项数为偶数，则；；．
（8）若项数为奇数，则；；．
（9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值．
知识点四．等差数列的前n项和公式与函数的关系
．数列是等差数列⇔（为常数）．
知识点五．等差数列的前n项和的最值
公差为递增等差数列，有最小值；
公差为递减等差数列，有最大值；
公差为常数列．
特别地
若，则有最大值（所有正项或非负项之和）；
若，则有最小值（所有负项或非正项之和）．
知识点六．其他衍生等差数列．
若已知等差数列，公差为，前项和为，则：
①等间距抽取为等差数列，公差为．
②等长度截取为等差数列，公差为．
③算术平均值为等差数列，公差为．
【解题方法总结】
（1）等差数列中，若，则．
（2）等差数列中，若，则．
（3）等差数列中，若，则．
（4）若与为等差数列，且前项和为与，则．
题型一：等差数列的基本量运算
【例题1-1】已知数列满足：，且满足，则（ ）
A．1012B．1013C．2022D．2023
【答案】A
【解析】因为，所以，两式相减，得：，所以数列中的奇数项是以为首项，1为公差的等差数列，所以.故选：A.
【例题1-2】已知等差数列的前项和是，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由已知设等差数列的公差为，则，，解得，，所以．故选：D.
【变式1-1】记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则数列的公差为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【解析】由可得：①，由可得：②，
由①②可得：或(舍去).故选：A.
【变式1-2】记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．30B．28C．26D．13
【答案】C
【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，，，
所以.故选：C
【解题方法总结】
等差数列基本运算的常见类型及解题策略：
（1）求公差或项数．在求解时，一般要运用方程思想．
（2）求通项．和是等差数列的两个基本元素．
（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．
（4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．
【注意】在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．
题型二：等差数列的判定与证明
【例题2-1】已知数列的前项和为，且.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）数列中，，当时，，
两式相减得，即，则，
于是，因此数列是常数列，则，
从而，即，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）知，，
所以.
【例题2-2】已知数列满足，．
(1)证明：是等差数列，并求出的通项．
(2)证明：．
【解析】（1）由，可得，
∴，即，
∵，即，∴是以为首项，为公差的等差数列，
∴，即．
（2）令①，∵，∴②，
①×②得，∴，即．
【变式2-1】已知数列的前n项和为，数列的前n项积为，且满足．
(1)求证：为等差数列；
(2)记，求数列的前2023项的和M．
【解析】（1）因为，
当时，，解得或，又，所以，故，
由，可得，所以，
当时，．所以，即，
所以，所以
所以是以为首项，1为公差的等差数列.
（2）所以，则，
因为，故．
【变式2-2】已知数列中，，当时，其前项和满足：，且，数列满足：对任意有.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)设是数列的前项和，求证：.
【解析】（1），，，即①
由题意，将①式两边同除以，得，
数列是首项为，公差为1的等差数列.
（2）由（1）可知
当时， ，即，当时，②，
则③，②③，，即，
因为满足，所以.
（3）由（2）可知，当时，，
当时，，
所以.
所以.
【解题方法总结】
判断数列是等差数列的常用方法
（1）定义法：对任意是周一常数．
（2）等差中项法：对任意，湍足．
（3）通项公式法：对任意，都满足为常数）．
（4）前项和公式法：对任意，都湍足为常数）．
题型三：等差数列的性质
【例题3-1】已知等差数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为数列是等差数列，所以，即，所以，
故选：A
【例题3-2】设为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【解析】由等差数列性质和的求和公式，可得，所以.故选：A.
【变式3-1】如果等差数列中，，那么（ ）
A．14B．12C．28D．36
【答案】C
【解析】∵，∴，则，又，
故.故选:C.
【变式3-2】已知数列是等差数列，若，则等于（ ）
A．7B．14C．21D．7(n-1)
【答案】B
【解析】因为，所以.故选：B
【解题方法总结】
如果为等差数列，当时，．因此，出现等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与（或其他项）有关的条件；若求项，可由转化为求am－n＋an＋m的值．
题型四：等差数列前n项和的性质
【例题4-1】．两个等差数列，的前n项和分别为和，已知，则______．
【答案】
【解析】由题意可知，，所以.故答案为:.
【例题4-2】设等差数列，的前n项和分别为，，且，则______.
【答案】
【解析】等差数列，的前n项和分别为，，
所以.故答案为：
【变式4-1】已知数列与均为等差数列，且前n项和分别为与，若，则______．
【答案】
【解析】由等差数列的求和公式得，所以，故答案为：
【变式4-2】已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则______.
【答案】8
【解析】设等差数列有奇数项项，，偶数项为项，公差为．
奇数项和为40，偶数项和为32，，，
，即，解得：
即等差数列共项，且故答案为：8
【解题方法总结】
在等差数列中，，…仍成等差数列；也成等差数列．
题型五：等差数列前n项和的最值
【例题5-1】已知为等差数列的前项和，且，，则当取最大值时，的值为___________.
【答案】7
【解析】方法一：设数列的公差为，则由题意得，解得
则.又，∴当时，取得最大值.
方法二：设等差数列的公差为.∵，∴，
∴，解得，则，令解得，又，∴，即数列的前7项为正数，从第8项起各项均为负数，故当取得最大值时，.故答案为：7.
【例题5-2】在数列中，若，前项和，则的最大值为______．
【答案】66
【解析】=21，解得，故，属于二次函数，对称轴为，故当或时取得最大值， ，，，故的最大值为66.故答案为：66.
【变式5-1】设是等差数列的前项和，若，，则数列中的最大项是第______项.
【答案】13
【解析】由已知可得数列是递减数列，且前13项大于0，自第14项起小于0，可得数列从第14项起为负值，而为递增数列，则答案可求．在等差数列中，由，，得，，则数列是递减数列，且前13项大于0，自第14项起小于0，
数列从第14项起为负值，而为递增数列，数列的最大项是第13项．故答案为：13．
【变式5-2】已知数列满足，则的最小值为_______.
【答案】.
【解析】根据递推公式和累加法可求得数列的通项公式.代入中,由数列中的性质,结合数列的单调性即可求得最小值.因为,所以,从而…,
，,累加可得而
所以,则,因为在递减,在递增
当时,,当时,,所以时取得最小值,最小值为.故答案为:
【解题方法总结】
求等差数列前项和最值的2种方法
（1）函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
（2）邻项变号法：①若，则满足的项数使得取得最大值；
②若，则满足的项数使得取得最小值．
题型6：关于等差数列奇偶项问题的讨论
【例题6-1】已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【解析】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
【例题6-2】已知等差数列满足，．
(1)求；
(2)数列满足，为数列的前项和，求．
【解析】（1）设等差数列的公差为d，
因为，．则，解得，
所以．
（2）由（1）可得，
则
，所以.
【变式6-1】）数列中，，前n项和满足．
（1）证明：为等差数列；
（2）求．
【解析】（1）∵①，∴②，
①②：③，∴④，
④③：，∴，
∴是以1首项，2为公差的等差数列.
（2）由（1）得是以1首项，2为公差的等差数列，
同理可得是以为首项，2为公差的等差数列，
又，故，∴前101项的偶数项和为，
前101项的奇数项和为，
∴．
【解题方法总结】
对于奇偶项通项不统一的数列的求和问题要注意分类讨论．主要是从为奇数、偶数进行分类．
题型七：对于含绝对值的等差数列求和问题
【例题7-1】已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，设，求的最小值.
【解析】（1）因为，所以，所以当时，，所以；
当时，，所以，所以，
又满足上式，所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，
当时，；
当时，
；
所以，
当时，递减，所以；
当时，，设，
则，令得，此时单调递增，
令得，此时单调递减，
所以在时递减，在时递增，
而，，且，所以；
综上，的最小值为.
【例题7-2】记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，所以，
（2）因为，令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：.
【变式7-1】已知等差数列的前n项和为，其中，．
(1)求数列的通项；
(2)求数列的前n项和为．
【解析】（1）设的公差为，则，解得，所以；
（2）因为，所以，
当时，，此时，
，
当时，，此时，
，
综上所述：.
【解题方法总结】
由正项开始的递减等差数列的绝对值求和的计算题解题步骤如下：
（1）首先找出零值或者符号由正变负的项
（2）在对进行讨论，当时，，当时，
题型八：利用等差数列的单调性求解
【例题8-1】已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为为等差数列，设公差为，因为数列单调递增，所以，
所以，则，解得：，故选：C
【例题8-2】在等差数列中，为的前n项和，，，则无法判断正负的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设公差为，因为，，可知：，且，，所以，从而，不确定正负，，，故选：B
【变式8-1】等差数列的前项和为，若，，则数列的通项公式可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知，，，则数列的最大项为.
对于A选项，，当时，且数列为递增数列，此时无最大项，A选项不满足条件；
对于B选项，由，可得，故数列中最大，B选项不满足条件；
对于C选项，，数列为递增数列且当时，，此时无最大项，C选项不满足条件；
对于D选项，由，可得，故数列中最大，D选项满足条件.故选：D.
【变式8-2】设函数，数列满足，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，，所以，因为数列是递增数列，
所以，解得，即.故选：C.
【解题方法总结】
（1）在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列是递增数列，恒成立”．
（2）数列的单调性与，的单调性不完全一致．
一般情况下我们不应把数列的单调性转化为相应连续函数的单调性来处理．但若数列对应的连续函数是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题．即“离散函数有单调性连续函数由单调性；连续函数有单调性离散函数有单调性”．
题型九：等差数列中的范围与恒成立问题
【例题9-1】已知等差数列的前n项和为，并且，若对恒成立，则正整数的值为______.
【答案】
【解析】由题意可知，所以，
同理得，所以.结合，可得.当时，取得最大值为，
要使对恒成立，只需要，即可，所以,，即.
所以正整数的值为.故答案为：.
【例题9-2】已知数列的前项和为，（），且，.若恒成立，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】由，可得.
两式相减，可得，所以数列为等差数列.
因为，，所以，所以，，
则.令，则.当时，，数列单调递减，
而，，，所以数列中的最大项为1，故，即实数的取值范围为.
故答案为: .
【变式9-1】已知数列满足:对恒成立,且,其前项和有最大值,则使得的最大的的值是_________.
【答案】15
【解析】解:由题知,即对恒成立,所以数列为等差数列,
因为前项和有最大值,所以数列单调递减,因为,所以异号,且,
所以可化简为:,即,因为,,
所以使得的最大的的值为15.故答案为:15
【变式9-2】已知等差数列的首项，公差为，前项和为．若恒成立，则公差的取值范围是______．
【答案】
【解析】根据等差数列的前项和满足恒成立，可知且，
所以且，解得．故答案为：.
1．（2023•甲卷（文））记为等差数列的前项和．若，，则
A．25B．22C．20D．15
【答案】
【解析】等差数列中，，所以，，故，
则，，则．故选：．
2．（2023•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】
【解析】若是等差数列，设数列的首项为，公差为，则，
即，故为等差数列，即甲是乙的充分条件．
反之，若为等差数列，则可设，则，即，
当时，有，上两式相减得：，
当时，上式成立，所以，则（常数），
所以数列为等差数列．即甲是乙的必要条件．综上所述，甲是乙的充要条件．故本题选：．
3．（2021•北京）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗的长，，，， （单位： 成等差数列，对应的宽为，，，，（单位：，且长与宽之比都相等．已知，，，则
A．64B．96C．128D．160
【答案】
【解析】和是两个等差数列，且是常值，由于，，故，
由于所以．另，解得：故：．故选：．
等差数列及其前n项和
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·河南郑州·统考模拟预测）在等差数列中，已知，且，则当取最大值时，（ ）
A．10B．11C．12或13D．13
【答案】C
【解析】因为在等差数列中，
所以，
所以，又因为，所以可知等差数列为递减数列，且前12项为正，第13项以后均为负，
所以当取最大值时，或13．故选：C．
2．（2023·江苏南通·统考模拟预测）现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（ ）
A．0.25升B．0.5升C．1升D．1.5升
【答案】B
【解析】设九只茶壶按容积从小到大依次记为 ，由题意可得，
所以，故选：B
3．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，则 （ ）
A．54B．71C．80D．81
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，因为，可得，解得，
所以.故选：D.
4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列是等差数列，其前项和为，则等于（ ）
A．63B．C．45D．
【答案】D
【解析】因为数列是等差数列，则，可得，
且，可得，所以.故选：D.
5．（2023·北京海淀·校考三模）已知等差数列的公差为，数列满足，则“”是“为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为，所以且，则，
若，不妨令，则，，，，，，
显然不单调，故充分性不成立，若为递减数列，则不是常数数列，所以单调，
若单调递减，又在，上单调递减，则为递增数列，矛盾；
所以单调递增，则，且，其中当，时也不能满足为递减数列，故必要性成立，故“”是“为递减数列”的必要不充分条件.故选：B
6．（2023·河南郑州·统考模拟预测）公差不为零的等差数列中，，则下列各式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为,所以,因为公差不为零,,所以，B正确，A错误，取,则,此时,C,D均不正确,故选：B.
7．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）设为等差数列的前n项和，且，都有，若，则（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最大值是
【答案】A
【解析】由，得，即，所以数列为递增的等差数列.
因为，所以，即，则，，所以当且时，；当且时，.因此，有最小值，且最小值为.故选：A.
8．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知数列中，，当时，，，成等差数列.若，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，，，成等差数列，则，
由于，则，故选：D.
9．（多选题）（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考二模）已知为等差数列，前项和为，，公差d = −2 ，则（ ）
A．=
B．当n = 6或7时，取得最小值
C．数列的前10项和为50
D．当n≤2023时，与数列（m N）共有671项互为相反数．
【答案】AC
【解析】对于A，等差数列中，，公差，则，，故A正确；
对于B，由A的结论，，则，由d = −2当时，，，当时，，则当或6时，取得最大值，且其最大值为，B错误；
对于C,,故C正确，
对于D，由，则，
则数列中与数列中的项互为相反数的项依次为：，，，，，可以组成以为首项，为公差的等差数列，设该数列为，则，若，解可得，即两个数列共有670项互为相反数，D错误．故选：AC．
10．（多选题）（2023·江苏盐城·统考三模）已知数列对任意的整数，都有，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．数列可以是等差数列
D．数列可以是等比数列
【答案】BC
【解析】若，当时，，解得，故A错；
若，，当时，，解得，当时，，解得，，
根据递推关系可知，当为奇数，即时，，故B正确；
若，则成立，故数列可以是等差数列，即C正确；
若数列是等比数列，假设公比为，则由，得，
两式相除得，，即，解得，不符合题意，
则假设不成立，故D错.故选：BC
11．（多选题）（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知等差数列的公差为，前项和为，且，成等比数列，则（ ）
A．B．
C．当时，是的最大值D．当时，是的最小值
【答案】ACD
【解析】因为，，成等比数列，所以，即，
整理得，因为，所以，
所以，则，故A正确、B错误；
当时单调递减，此时，所以当或时取得最大值，即，故C正确；当时单调递增，此时，
所以当或时取得最小值，即，故D正确；故选：ACD
12．（多选题）（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知数列，下列结论正确的有（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，则数列是等比数列
D．若为等差数列的前项和，则数列为等差数列
【答案】ABD
【解析】对于选项A，由，得，
则，故A项正确；
对于选项B，由得，所以为等比数列，首项为，公比为2，
所以，所以，故B项正确；
对于选项C，因为，当时，，当时，，
将代入，得，所以，所以数列不是等比数列，故C项错误.
对于选项D，设等差数列的公差为d，
由等差数列前项和公式可得，所以与n无关，所以数列为等差数列，故D项正确.故选：ABD.
13．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n层放个物体堆成的堆垛，则______．

【答案】
【解析】依题意，在数列中，，
当时，，满足上式，
因此，，数列的前项和为，
则，
所以.故答案为：
14．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）设随机变量的分布列如下：
其中，，…，构成等差数列，则 ___________.
【答案】
【解析】因为，，…，构成等差数列，所以，
因为，所以，故答案为：
15．（2023·湖南·校联考模拟预测）记等差数列的前n项和为，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，若，求m的值．
【解析】（1）设的公差为d，因为，所以，解得，
又，所以．所以．
（2）因为，
所以，
由，解得，所以．
16．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知正项等比数列和数列，满足是和的等差中项，.
(1)证明：数列是等差数列，
(2)若数列的前项积满足，记，求数列的前20项和.
【解析】（1）由题知，是等比数列，设其公比为，由，
可得：当时，，两式相减得，，
故数列是等差数列.
（2）由知：当时，，
又，所以，由（1）设的公差为，则，
由，则，，
所以
.即数列的前20项和为.
17．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知数列满足：，，，从第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．
(1)求；
(2)设，若恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）由题意得，，，…，
数列是以为首项，公差的等差数列，，
，，，…，，
将所有上式累加可得，．
又也满足上式，．
（2）由（1）得，，则，
恒成立，，
恒成立，，即的取值范围是．
1．（2020•新课标Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）
A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块
【答案】
【解析】方法一：设每一层有环，由题意可知，从内到外每环上扇面形石板数之间构成等差数列，上层中心的首项为，且公差，由等差数列的性质可得，，成等差数列，
且，则，则，
则三层共有扇面形石板块，
方法二：设第环天心石块数为，第一层共有环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，，，
下层比中层多729块，，
，，解得，
，故选：．
2．（2020•北京）在等差数列中，，．记，2，，则数列
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，由，，得，
．由，得，而，
可知数列是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值．
可知，，，为最大项，
自起均小于0，且逐渐减小．数列有最大项，无最小项．故选：．
3．（2022•乙卷（文））记为等差数列的前项和．若，则公差 ．
【答案】2．
【解析】，，为等差数列，，
，解得．故答案为：2．
4．（2020•上海）已知数列是公差不为零的等差数列，且，则 ．
【答案】．
【解析】根据题意，等差数列满足，即，变形可得，
所以．故答案为：．
5．（2020•海南）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为 ．
【答案】．
【解析】将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则是以1为首项、以6为公差的等差数列，故它的前项和为，故答案为：．
6．（2021•新高考Ⅱ）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求使成立的的最小值．
【解析】（Ⅰ）数列是公差不为0的等差数列的前项和，若，．
根据等差数列的性质，，故，
根据可得，
整理得，可得不合题意），故．
（Ⅱ），，，，即，
整理可得，当或时，成立，由于为正整数，故的最小正值为7．1
2
3
4
5
6
P