2025-2026学年北京市海淀区北京理工大学附中高二上学期10月月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年北京市海淀区北京理工大学附中高二上学期10月月考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列说法正确的是( )
A. 平行于同一直线的两个平面平行B. 平行于同一平面的两条直线平行
C. 垂直于同一平面的两个平面平行D. 垂直于同一直线的两个平面平行
2.下列四个命题中为真命题的是( )
A. 已知A,B,C,D,E是空间中任意五点，则AB+BC+CD+DE+EA=0
B. 若向量AB，CD满足AB=CD.则AB//CD
C. 若分别表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
D. 若AB=λAC+μADλ,μ∈R，则A,B,C,D四点共面
3.已知平面α⊥平面β，α∩β=l，下列结论中正确的是( )
A. 若直线m⊥平面α，m//β；B. 若平面γ⊥平面α，则γ//β；
C. 若平面γ⊥直线l，则γ⊥β；D. 若直线m⊥直线l，则m⊥β．
4.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB，AB=BC，则下列结论中正确的是( )
A. BD1//B1C
B. A1D1//平面AB1C
C. BD1⊥AC
D. BD1⊥平面AB1C
5.如图，在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别是棱A1B1，B1C1的中点，A1B1=12AB，则下列判断错误的是( )
A. A，A1，C，C1共面B. E∈平面ACF
C. AE，CF，BB1交于同一点D. DD1//平面ACF
6.已知平面α，β，直线l⊂α，直线m⊂β，l//β，则“l//m”是“m//α”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7.现有一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面所在的平面EE1F1F与各棱的交点分别为其所在棱的中点，则图甲中水面的高度为( )
A. 3B. 2C. 3 32D. 94
8.《九章算术》是中国古代的第一部自成体系的数学专著．其中卷五记载：“今有刍甍，下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”问题即为：今有如图所示的屋脊状楔体PQ−ABCD，下底面ABCD是矩形，假设屋脊没有歪斜，即PQ中点R在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心O，PQ//AB，AB=4，AD=3，PQ=2，OR=1(长度单位：丈).则楔体PQ−ABCD的体积为(体积单位：立方丈)( )
A. 10B. 8C. 6D. 5
9.已知平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为45 ∘，30 ∘，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′，B′，则AB:A′B′=( )
A. 2:1B. 3:1C. 3:2D. 4:3
10.已知矩形ABCD，AB=2，BC=2 2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，( )
A. 存在某个位置，使得直线BD与直线AC垂直
B. 存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C. 存在某个位置，使得直线BC与直线AD垂直
D. 对任意位置，三对直线“AC与BD”“CD与AB”“AD与BC”均不垂直
11.如图所示，甲站在水库底面α上的点A处，乙站在水坝斜面β上的点B处，从A，B到直线l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为6米和8米，CD的长为21米，AB的长为23米，则水库底面与水坝斜面所成二面角的余弦值为( )
A. 18B. −12C. 121D. 12
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
12.一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积
13.已知圆锥的底面半径为 2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 ．
14.有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为 ．
15.在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，VA，VB，VC两两垂直，VA=VB=VC=1(单位：dm)，小明同学计划通过侧面VAC内任意一点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，则该截面面积(单位：dm2)的最大值是 ．
三、解答题：本题共4小题，共51分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，E,F分别为棱A1D1，CD的中点，记BC=a，BA=b，BB1=c，满足∠B1BC=∠B1BA=π3，∠CBA=π2，AB=BC=2，BB1=3．
(1)用a,b,c表示FE，并求EF的长度；
(2)求直线AC与EF所成角的余弦值．
17.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，Q为棱PD的中点，PA=AB=2．
(1)求证：PB//平面ACQ；
(2)求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值；
(3)若点M在线段BC上，且MQ//平面PAB，求证：M是BC的中点．
18.已知空间向量m=x,y,1,n=x,−2,2x．
(1)若m//n，求x+y的值；
(2)若m⊥n，求y的最小值及此时x的值；
(3)若m−n= 3，求(x−1)2+(y+2)2的最大值．
19.如图1，在平面四边形PDCB中，PD//BC，BA⊥PD，PA=AB=BC=1，AD=12，将▵PAB沿BA翻折到△SAB的位置，使得平面SAB⊥平面ABCD，如图2所示，点Q是线段SC的中点．

(1)设平面SDC与平面SAB的交线为l，求证：BC⊥l；
(2)求平面SCD与平面SAB所成角的余弦值；
(3)设点M是线段SA的中点，点N在线段SD上，且SNSD=23，判断直线BQ是否在平面BMN内，并说明理由．
参考答案
1.D
2.D
3.C
4.C
5.D
6.D
7.D
8.D
9.A
10.B
11.A
12.8 2
13.2 2
14.5π
15. 24
16.(1)由图可知，FE=FD+DD1+D1E=12CD+DD1+12D1A1=12b+c−12a．
FE=12b+c−12a= 12b+c−12a2= 14b2+c2+14a2+b⋅c−12b⋅a−c⋅a．
因为b⋅c=bccsπ3=2×3×12=3，
b⋅a=bacsπ2=2×2×0=0，a⋅c=accsπ3=2×3×12=3．
所以FE= 14b2+c2+14a2+b⋅c−12b⋅a−c⋅a= 14×4+9+14×4+3−0−3= 11．
所以FE=−12a+12b+c，EF的长度为 11．
(2)因为AC=AB+BC=a−b，FE=−12a+12b+c，
所以AC⋅EF=a−b⋅12a−12b−c=12a2−a⋅b−a⋅c+12b2+b⋅c=2−3+2+3=4．
由(1)得FE= 11，而AC= 4+4=2 2，
所以直线AC与EF所成角的余弦值为
csAC,EF=AC⋅EFACFE=4 11×2 2= 211= 2211．

17.(1)由底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD可知，可以以A为原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则由题意可知A0,0,0，B2,0,0，C2,2,0，D0,2,0，P0,0,2，Q为PD中点，故Q0,1,1，
所以PB=2,0,−2，AC=2,2,0，AQ=0,1,1，设平面ACQ的法向量为n=x,y,z，则n⋅AC=0n⋅AQ=0，即2x+2y=0y+z=0。
令y=−1，可得n=1,−1,1，
所以PB⋅n=0，可得PB⊥n，又PB不在平面ACQ上，所以PB//平面ACQ．
(2)向量PC=2,2,−2，设直线PC与平面ACQ所成角为θ，则sinθ=cs⟨PC,n⟩=PC⋅nPC⋅n，
又PC⋅n=−2，PC=2 3，n= 3，所以sinθ=−22 3⋅ 3=13．
(3)设M2,t,0，因为点M在线段BC上，所以0≤t≤2，如图所示，
则MQ=−2,1−t,1，
又PA⊥底面，AB⊥AD，故AD⊥平面PAB，所以AD=0,2,0为平面PAB的法向量，
由MQ//平面PAB，得MQ⋅AD=0，即21−t=0，解得t=1，
所以M2,1,0，即M是BC的中点．

18.(1)因为m//n，
所以m=λn，
当x=0时，m=(0,y,1),n=(0,−2,0)，
所以0=0⋅λy=−2λ1=0⋅λ,λ不存在，所以x≠0；
当x≠0时，可得xx=y−2=12x，解得x=12,y=−2，
所以x+y=−32
(2)因为m⊥n，
所以x2+(−2y)+2x=0，即y=12x2+x=12(x+1)2−12，
所以当x=−1时，y的最小值为−12
(3)m−n=(0,y+2,1−2x)，
因为m−n= 3，
所以 0+(y+2)2+(1−2x)2= 3，即(y+2)2+(1−2x)2=3，
由(1−2x)2≤3，解得1− 32≤x≤1+ 32
则所求(x−1)2+(y+2)2=(x−1)2+3−(1−2x)2=−3x2+2x+3
=−3x−132+103，
所以当x=13时，(x−1)2+(y+2)2的最大值为103

19.(1)依题意，AD⊥AB，因为PD//BC，所以BC⊥AB，
由于平面SAB⊥平面ABCD，且平面SAB∩平面ABCD=AB，BC⊂平面ABCD，
所以BC⊥平面SAB，
因为l是平面SDC与平面SAB的交线，所以l⊂平面SAB，故BC⊥l．
(2)由(1)知，BC⊥平面SAB，则AD⊥平面SAB，而SA⊥AB，
以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
由题意可得A0,0,0，D12,0,0，B0,1,0，C1,1,0，S0,0,1，Q12,12,12，
所以SD=12,0,−1，SC=1,1,−1，
设平面SCD的一个法向量为n=x,y,z，
则n⋅SD=0n⋅SC=0，即12x−z=0x+y−z=0，令z=1，可得n=2,−1,1，
易得平面SAB的一个法向量为AD=12,0,0，
设平面SCD与平面SAB所成角为θ，
则csθ=n⋅ADn⋅AD=1 6⋅12= 63，
即平面SCD与平面SAB所成角的余弦值为 63．
(3)由M是SA中点，故M0,0,12，
又N在SD上，且SNSD=23，SD=12,0,−1，则SN=23SD=13,0,−23，
所以可得N点坐标为13,0,13，如图所示，
又BM=0,−1,12，BN=13,−1,13，
设平面BMN的一个法向量为m=x1,y1,z1，
则m⋅BM=0m⋅BN=0，即−y1+12z1=013x1−y1+13z1=0，令z1=2，可得m=1,1,2，
又BQ=12,−12,12，所以m⋅BQ=1≠0，
则BQ不与平面BMN的法向量垂直，即BQ不在平面BMN内．