2024-2025学年北京理工大学附中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年北京理工大学附中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知点P(3,−1,−2)，则点P关于z轴的对称点的坐标为( )
A. (3,1,−2)B. (−3,1,2)C. (−3,−1,−2)D. (−3,1,−2)
2.已知向量a=(−1,2,1)，b=(3,x,y)，且a//b，那么|b|=( )
A. 3 6B. 6C. 9D. 18
3.如图，在三棱锥O−ABC中，D是BC的中点，若OA=a，OB=b，OC=c，则AD等于( )
A. −a+b+c
B. −a+b−c
C. −a+12b+12c
D. −a−12b−12c
4.已知正四棱锥S−ABCD，底面边长是2，体积是4 33，那么这个四棱锥的侧棱长为( )
A. 3B. 2C. 5D. 2 2
5.如图，在三棱锥D−ABC中，AC=BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
6.已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，m⊥β，则α//β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α//β；
③若m⊂α，n⊂β，m//n，则α//β；
④若m、n是异面直线，m⊂α，m//β，n⊂β，n//α，则α//β．
其中正确的是( )
A. ①和②B. ①和③C. ③和④D. ①和④
7.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线l是底面ABCD所在平面内的一条动直线，记直线A1C与直线l所成的角为α，则sinα的最小值是( )
A. 33B. 12C. 22D. 63
8.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1= 2，∠BAA1=∠DAA1=45°，∠BAD=60°，则|AC1|=( )
A. 3
B. 3
C. 9
D. 1
9.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，BC=CC1=4，E为棱B1C1的中点，P为四边形BCC1B1内(含边界)的一个动点.且DP⊥BE，则动点P的轨迹长度为( )
A. 5
B. 2 5
C. 4 2
D. 13
10.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=2，BC=1，AA1=2，点D在棱AC上，点E在棱BB1上，下列结论中不正确的是( )
A. 三棱锥E−ABD的体积的最大值为23
B. 点E到平面ACC1A1的距离为1
C. 点D到直线C1E的距离的最小值为25 5
D. A1D+DB的最小值为 2+ 5
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知向量a=(−2,5,4)，b=(6,0,x)，若a⊥b，则x= ______．
12.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，则点C1到直线BD的距离为______．
13.如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为______．
14.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(biena).已知在鳖臑P−ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=BC=2，M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为______．
15.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列结论正确的是______．
①直线BD1⊥平面A1C1D
②三棱锥D−A1C1P的体积为定值
③异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[π6,π2]
④直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为 63
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别为PC，BD的中点．
(1)求证：EF//平面PAD；
(2)若PA⊥AD，AB⊥平面PAD，求证：EF⊥平面ABCD．
17.(本小题10分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=AA1=2，E、F分别为AC、CC1的中点，BF⊥A1B1．
(1)求证：BE⊥A1C；
(2)求直线A1C与平面ABB1A1所成角的正弦值；
(3)求点A1到平面BEF的距离．
18.(本小题10分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，且∠PAD=π2，点F为棱PC上的点，平面ADF与棱PB交于点E．
(Ⅰ)求证：EF//AD；
(Ⅱ)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面PCD与平面ADFE所成锐二面角的大小．
条件①：AE= 2；
条件②：平面PAD⊥平面ABCD；
条件③：PB⊥FD．
注：如果选择的条件不符合要求，第(Ⅱ)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19.(本小题10分)
在梯形ABCD中，AB//CD，∠BAD=π3，AB=2AD=2CD=4，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点(如图1).将△ACD沿AC折起到△ACD′位置，使得D′O⊥OP(如图2)．

(1)求证：平面D′AC⊥平面ABC；
(2)线段PD′上是否存在点Q，使得CQ与平面BCD′所成角的正弦值为 68？若存在，求出PQPD′的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.D
2.A
3.C
4.C
5.B
6.D
7.A
8.A
9.B
10.D
11.3
12. 62
13.2 17
14. 2
15.①②④
16.证明：(1)连接AC，
因为底面ABCD是平行四边形，且F是BD的中点，
所以F是AC的中点，
因为E为PC的中点，
所以EF/​/PA，
因为PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
所以EF/​/平面PAD．
(2)证明：因为AB⊥平面PAD，PA⊂平面PAD，
所以AB⊥PA，
因为PA⊥AD，AB∩AD=A，AB，AD⊂面ABCD，
所以PA⊥面ABCD，
因为EF/​/PA，
所以EF⊥面ABCD．
17.(1)证明：因为三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，
所以A1A⊥平面ABC，
因为BE⊂平面ABC，
所以A1A⊥BE，
又因为AB=BC，E为AC中点，
所以BE⊥AC，
因为A1A∩AC=A，A1A、AC⊂平面ACC1A1，
所以BE⊥平面A1ACC1，
因为A1C⊂平面A1ACC1，
所以BE⊥A1C；
(2)解：因为直三棱柱ABC−A1B1C1，
所以B1B⊥平面ABC，
因为AB⊂平面ABC，
所以BB1⊥AB，
因为BF⊥A1B1，AB/​/A1B1，
所以AB⊥BF，
因为BB1∩BF=B，BB1、BF⊂平面CBB1C1，
所以AB⊥平面B1BCC1，
因为BC⊂平面B1BCC1，
所以BC⊥AB，
如图所示，以B为原点，以BA，BC，BB1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系B−xyz，

因为A1(2,0,2)，C(0,2,0)，B(0,0,0)，
所以CA1=(2,−2,2)，BC=(0,2,0)，
因为BC⊥面ABB1A1，
所以BC为平面ABB1A1的一个法向量，
CA1⋅BC=2×0+(−2)×2+2×0=−4，|CA1|= 22+(−2)2+22=2 3，|BC|=2，
所以cs=CA1⋅BC|CA1|⋅|BC|=−42 3×2=− 33，
设A1C与平面ABB1A1所成角为θ，
所以sinθ=|cs|= 33，
即A1C与平面ABB1A1所成角的正弦值为 33；
(3)解：设A1到平面BEF的距离为d，
因为E(1,1,0)，F(0,2,1)，A1(2,0,2)，
所以BE=(1,1,0),BF=(0,2,1),BA1=(2,0,2)，
设n=(x,y,z)为平面BEF的一个法向量，
所以BE⋅n=0BF⋅n=0，即x+y=02y+z=0，
令x=1，则n=(1,−1,2)，
所以d=|BA1⋅n||n|=6 6= 6，
因此点A1到平面BEF的距离为 6．
18.解：(Ⅰ)证明：∵底面ABCD是正方形，∴AD//BC，
BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，
∴AD/​/平面PBC，
∵平面ADF与PB交于点E，
AD⊂平面ADFE，平面PBC∩平面ADEF=EF，
∴EF/​/AD．
(Ⅱ)选条件①②，
侧面PAD为等腰直角三角形，且∠PAD=π2，
即PA=AD=2，PA⊥AD，
平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PA⊂平面PAD，
则PA⊥平面ABCD，又ABCD为正方形，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，AB⊥AD，
以点A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A−xyz，
则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，
∵AE= 2，∴点E为PB的中点，则E(1,0,1)，
∴PC=(2,2,−2)，AD=(0,2,0)，AE=(1,0,1)，
设平面ADEF的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AE=x=z=0n⋅AD=2y=0，令x=1，得n=(1,0,−1)，
设平面PCD的法向量为m=(a,b,c)，
则m⋅PD=2b−2c=0m⋅PC=2a+2b−2c=0，取b=1，得m=(0,1,1)，
∴|cs|=|m⋅n|m|⋅|n||=1 2⋅ 2=12，
∴平面PCD与平面ADFE所成锐二面角的大小为π3；
选条件①③，
侧面PAD为等腰直角三角形，且∠PAD=π2，即PA=AD=2，PA⊥AD，
AD⊥AB，PA∩AB=A，且两直线在平面内，可得AD⊥平面PAB，
PB⊂平面PAB，则AD⊥PB，
∵PB⊥FD，AD∩FD=D，且两直线在平面内，
则PB⊥平面ADEF，AE⊂平面ADEF，则PB⊥AE，
∵PA=AB，∴△PAB为等腰三角形，∴点E为PB的中点，
∵AE= 2，∴△PAB是等腰直角三角形，且∠PAD=π2，
即PA=AD=2，PA⊥AD，
平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PA⊂平面PAD，
则PA⊥平面ABCD，又ABCD为正方形，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，AB⊥AD，
以点A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A−xyz，
则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，
∵AE= 2，∴点E为PB的中点，则E(1,0,1)，
∴PC=(2,2,−2)，AD=(0,2,0)，AE=(1,0,1)，
设平面ADEF的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AE=x=z=0n⋅AD=2y=0，令x=1，得n=(1,0,−1)，
设平面PCD的法向量为m=(a,b,c)，
则m⋅PD=2b−2c=0m⋅PC=2a+2b−2c=0，取b=1，得m=(0,1,1)，
∴|cs|=|m⋅n|m|⋅|n||=1 2⋅ 2=12，
∴平面PCD与平面ADFE所成锐二面角的大小为π3；
选条件②③，
侧面PAD为等腰直角三角形，且∠PAD=π2，
即PA=AD=2，PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PA⊂平面PAD，
则PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，AB⊥AD，
∵PB⊥FD，AD∩FD=D，且两直线在平面内，
则PB⊥平面ADFE，AE⊂平面ADFE，则PB⊥AE，
∵PA=AB，∴△PAB是等腰三角形，∴E为PB的中点，
∵AE= 2，∴△PAB是等腰直角三角形，且∠PAD=π2，
即PA=AD=2，PA⊥AD，
平面PAD⊥平面ABCDm
平面PAD∩平面ABCD=AD，PA⊂平面PAD，
则PA⊥平面ABCD，又ABCD为正方形，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，AB⊥AD，
以点A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A−xyz，

则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，
∵AE= 2，∴点E为PB的中点，则E(1,0,1)，
∴PC=(2,2,−2)，AD=(0,2,0)，AE=(1,0,1)，
设平面ADEF的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AE=x=z=0n⋅AD=2y=0，令x=1，得n=(1,0,−1)，
设平面PCD的法向量为m=(a,b,c)，
则m⋅PD=2b−2c=0m⋅PC=2a+2b−2c=0，取b=1，得m=(0,1,1)，
∴|cs|=|m⋅n|m|⋅|n||=1 2⋅ 2=12，
∴平面PCD与平面ADFE所成锐二面角的大小为π3．
19.(1)证明：因为在梯形ABCD中，AB/​/CD，AB=2AD=2CD=4，∠BAD=π3，P为AB的中点，
所以CD//PB，CD=PB，BC=DP，
所以△ADP是正三角形，四边形DPBC为菱形，
所以AC⊥BC，AC⊥DP，
因为AC⊥D′O，D′O⊥OP，
又因为AC∩OP=O，AC，OP⊂平面ABC，
所以D′O⊥平面ABC，
因为D′O⊂平面D′AC，
所以平面D′AC⊥平面ABC．
(2)解：存在．
因为D′O⊥平面BAC，OP⊥AC，
所以OA，OP，OD′两两互相垂直，
如图，以点O为坐标原点，OA，OP，OD′所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系O−xyz．

则B(− 3,2,0)，C(− 3,0,0)，P(0,1,0)，D′(0,0,1)，
所以BD′=( 3,−2,1)，CD′=( 3,0,1)，
设n=(x,y,z)为平面CBD′的一个法向量，
则n⋅BD′= 3x−2y+z=0n⋅CD′= 3x+z=0，令x=1，则平面CBD′的法向量n=(1,0,− 3)，
设PQ=λPD′(0≤λ≤1)，
因为CP=( 3,1,0)，PD′=(0,−1,1)，
所以CQ=CP+PQ=CP+λPD′=( 3,1−λ,λ)，
设CQ与平面BCD′所成角为θ，则sinθ=|cs〈CQ,n〉|=|CQ⋅n||CQ||n|= 3(1−λ)2 2λ2−2λ+4= 68，
即3λ2−7λ+2=0，因为0≤λ≤1，解得λ=13，
所以线段PD′上存在点Q，且PQPD′=13，使得CQ与平面BCD′所成角的正弦值为 68．