2025-2026学年广东省东莞市弘林高级中学高二（上）月考数学试卷（9月份）-自定义类型

这是一份2025-2026学年广东省东莞市弘林高级中学高二（上）月考数学试卷（9月份）-自定义类型，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线的倾斜角为30°，则a=（ ）
A. B. C. D. 0
2.若，，则=（ ）
A. 22B. -22C. -29D. 29
3.如果AB＞0且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E在侧棱PC上，且，若，，，则=（ ）
A. B.
C. D.
5.已知m为实数，直线l1：（m+2）x+y-2=0，l2：5x+（m-2）y+1=0，则“l1∥l2”是“m=-3”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知空间中三点A（0，0，0），B（1，-1，2），C（-1，-2，1），则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A. B. C. 3D.
7.点A（2，-4）到直线l：（1-3m）x+（1-m）y+4+4m=0（m为任意实数）的距离的取值范围是（ ）
A. [0，5]B. C. [0，4]D.
8.在正三棱锥P-ABC中，PA=AB=4，点D，E分别是棱PC，AB的中点，则=（ ）
A. -2B. -4C. -8D. -10
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是（ ）
A. 直线x-y+1=0与直线x-y-1=0之间的距离为
B. 直线x-2y-4=0在两坐标轴上的截距之和为6
C. 将直线y=x绕原点逆时针旋转75°，所得到的直线为
D. 若直线l向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则直线l的斜率为
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，能作为空间的一个基底的一组向量有（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
11.如图，在棱长均为1的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，∠ABC=60°，P，Q分别是线段AC和线段A1B上的动点，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，PQ∥A1D
B. 当时，若，则x+y+z=0
C. 当时，直线PQ与直线CC1所成角的大小为
D. 当λ∈（0，1）时，三棱锥Q-BCP的体积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l过点（1，2），且在y轴上的截距为在x轴上的截距的两倍，则直线l的方程是______.
13.在空间直角坐标系O-xyz中，已知A（2，2，0），B（2，1，-3），C（0，2，0），则三棱锥O-ABC的体积为______.
14.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为棱DA，BB1的中点，M，N分别为线段D1A1，A1B1上的动点（不包括端点），且EN⊥FM，则线段MN的长度的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2.
（1）用空间向量方法证明：A1C1∥平面ACD1；
（2）求直线BD与平面ACD1所成角的正弦值.
16.(本小题12分)
已知点P（1，3），点N（-3，-1），直线l1过点（-2，4）且与直线PN垂直.
（1）求直线l1的方程；
（2）求直线l2：2x+y-5=0关于直线l1的对称直线的方程.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
17.(本小题12分)
如图，已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'.
（1）若AB=4，AD=3，AA'=3，∠BAD=90°，∠BAA'=60°，∠DAA'=60°.求AC'的长度；
（2）若AB=AD=AA'=2，∠BAD=∠BAA'=∠DAA'=60°，求AC与BD'所成角的余弦值.
18.(本小题12分)
如图，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=BC=2CD=2，E为BC的中点，P是平面ABCD外一点，是线段PB上一点，三棱锥M-BDE的体积是.
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角M-DE-A的余弦值.
19.(本小题12分)
如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，△ABC是等边三角形，AB=2A1B1=4，CC1=2，侧棱CC1⊥平面ABC，点D是棱AB的中点，点E是棱BB1上的动点（不含端点B）.
（1）证明：平面AA1B1B⊥平面DCC1；
（2）求平面ABE与平面ACE所成角的余弦值的最小值.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】ACD
10.【答案】AC
11.【答案】ABD
12.【答案】y=2x或2x+y-4=0
13.【答案】2
14.【答案】
15.【答案】（1）证明：由题，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，
∴A（2，0，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），D1（0，0，2），A1（2，0，2），
则，
设平面ACD1的一个法向量为，
则，令z=1，则可得x=1，y=1，即；
∴，
∴，又A1C1⊄平面ACD1，
∴A1C1∥平面ACD1；
（2）∵B（2，2，0），D（0，0，0），
∴，
由（1）知平面ACD1的一个法向量为，
设直线BD与平面ACD1所成的角为θ，
∴sinθ=|cs＜＞|===，
即直线BD与平面ACD1所成角的正弦值为．
16.【答案】解：（1）因为，
直线l1与直线PN垂直，所以直线l1的斜率为-1，
又直线l1过点（-2，4），
所以由直线方程的点斜式可得直线l1的方程为y-4=-（x+2），
即直线l1的方程为x+y-2=0；
（2）由，
解得，
可得l1和l2的交点坐标为（3，-1），
取直线l2：2x+y-5=0上的点A（0，5），
设A（0，5）关于l1对称的点为A1（m,n），
则，解得，
所以直线l2关于直线l1对称的直线经过点（3，-1），（-3，2），
代入两点式方程得，即x+2y-1=0，
所以直线l2：2x+y-5=0关于直线l1的对称直线的方程为x+2y-1=0．
17.【答案】解：（1）因为AB=4，AD=3，AA'=3，∠BAD=90°，∠BAA'=60°，∠DAA'=60°
所以•=0，•=||•||cs∠BAA'=4×3×cs60°=6，
•=||•||cs∠DAA'=3×3×=，
因为=+=++，
所以||2=||2+||2+||2+2•+2•+2•
=16+9+9+2×0+2×6+2×
=55，
所以||=；
（2）因为=+，=-，=+=--，
所以•=（+）•（-+）
=•-2+•+2-•+•
=-2+•+2+•
=-4+4+2×2×2×cs60°=4，
因为||2=2+2+2•=22+22+2×2×2×cs60°=12，
所以，
因为||2=|+-|2=2+2+2+2•-2•-2•
=3×22-2×2×2cs60°
=8，
所以，
所以cs＜，＞===，
设AC与BD'所成的角为θ，θ∈[0，]，
则csθ=|cs＜，＞|=．
即AC与BD'所成角的余弦值为．
18.【答案】解（1）证明：如图，连接AE交BD于点F，
因为，
所以△ABE≌△BCD，所以∠BAE=∠CBD，
因为∠ABD+∠CBD=90°，所以∠ABD+∠BAE=90°，
所以∠AFB=90°，即BD⊥AE，
又因为BD⊥PE，PE∩AE=E，PE，AE⊂平面PAE，
所以BD⊥平面PAE，又PA⊂平面PAE，所以BD⊥PA，
又因为PA2+AB2=1+4=5=PB2，所以PA⊥AB，
又BD∩AB=B，BD，AB⊂平面ABCD，
所以PA⊥平面ABCD；
（2）以B为原点，BA、BC所在直线分别为x、y轴，平行于AP的直线为z轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，
设，则，即点M（2λ，0，λ），
则三棱锥M-BDE的体积，解得，
所以，则，
设平面DEM的法向量，
则，即，令x=-2，则y=2，z=7，
即可得平面DEM的一个法向量，
由z轴⊥平面ADE，故为平面ADE的一个法向量，
所以，
由图可知二面角M-DE-A是锐二面角，
故二面角M-DE-A的余弦值是．
19.【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，点D是棱AB的中点，∴CD⊥AB，
∵CC1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴CC1⊥AB，
又∵CC1⋂CD=C，CC1，CD⊂平面DCC1，
∴AB⊥平面DCC1，又∵AB⊂平面AA1B1B，
∴平面AA1B1B⊥平面DCC1；
（2）解：在平面ABC中，过点C作CF∥AB，
∴CC1⊥CF，CD⊥CF，
又∵CC1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴CC1⊥CD，
以C为坐标原点，CD，CF，CC1所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系如图所示，

∵△ABC是等边三角形，AB=2A1B1=4，CC1=2，
∴，，C1（0，0，2），
∵，∴，
设（λ∈（0，1]），所以，
∴，
设平面ABE的法向量为，又，，
由，，可得，
令x1=2，得，故平面ABE的一个法向量为，
设平面ACE的法向量为，，
由，，可得，
令x2=1，得，故平面ACE的一个法向量为，
设平面ABE与平面ACE所成角为θ，
所以（λ∈（0，1]），
设，则t∈（-∞，-1]，所以，
所以csθ==，
所以当，即λ=1时，csθ取到最小值，
即平面ABE与平面ACE所成角的余弦值的最小值为．