广东省中山市某校2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷（学生版）

这是一份广东省中山市某校2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷（学生版），共6页。
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.只有一项符合题目要求.
1. 某工厂生产三种不同型号的产品，产量之比为.现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有8件，则样本容量（ ）
A. 80B. 40C. 60D. 100
2. 在样本频率分布直方图中共有9个小矩形，若其中1个小矩形面积等于其他8个小矩形面积和的，且样本容量为210，则该组的频数为（ ）．
A. 28B. 40C. 56D. 60
3. 已知事件相互独立，事件发生的概率为 ，事件发生的概率为 ，则 “两个事件至少有一个发生” 的概率为（ ）
A. B. C. D. 1
4. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
5. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线l的方向向量为，则（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
6. 不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（ ）
①2张卡片都不是红色；
②2张卡片恰有1张是红色；
③2张卡片至少有1张是红色；
④2张卡片至多一张为红色.
A. 1B. 2C. 3D. 4
7. 把某班五名学生在一周内阅读数学竞赛书籍时间1，2，3，4，5（单位：小时）作为一组样本数据，现增加统计两位学生，他们一周内阅读数学竞赛书籍的时间分别为正整数m、n（单位：小时），与原有样本数据一起构成一组新样本数据，与原组样本数据比较，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则方差不变B. 若极差不变，则
C. 若，则中位数变大D. 若平均数不变，则
8. 正四面体的棱长为1，若且满足，则动点的轨迹所形成的空间区域的体积为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高都处在五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则样本中（ ）

A. 女生人数多于男生人数（ ）
B. 层次男生人数多于女生人数
C. 层次男生人数为24人
D. 层次人数最少
10. 设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是（ ）
A. 事件与C相互独立B. 事件A，B，C两两独立
C. D.
11. 在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的有（ ）
A. 直线平面
B. 三棱锥体积为定值
C. 异面直线与所成角的取值范围是
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如图，在棱长均为1的平行六面体中，，则______.

13. 投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.假设甲､乙､丙是三位投壶游戏参与者，且甲､乙､丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的且互不影响.若甲､乙､丙各投壶1次，则这3人中至多有1人投中的概率为__________.
14. 在空间直角坐标系中，经过点且方向向量为的直线方程为，已知空间中一条直线方程为，则点到直线的距离为______.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，且，是棱的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）求点的坐标；
（2）求直线的方向向量与平面的法向量；
（3）求直线与平面所成角的度数．
16. 某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，五个小球除颜色和标号外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回地抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖．班委会讨论了以下两种规则：
规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖；
规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数,且不是5的倍数获三等奖，其余不获奖．
（1）求两种规则下获得二等奖的概率；
（2）请问哪种规则获奖概率更大，并说明理由．
17. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的点..
（1）若以B为坐标原点，以为轴正方向建立右手系空间直角坐标系，请在答题卡图中画出坐标系，并证明；
（2）当为何值时，面与面所成的角的正弦值最小？
18. 某市体质健康测试标准包括身体形态､身体机能､身体素质､运动能力等方面.为了了解学生体质健康情况，某校随机抽取了200名学生进行测试，测试成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩不超过80分的有108人.
（1）求图中值；
（2）并根据频率分布直方图，估计该校学生测试分数的平均数和第75百分位数（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）；
（3）若抽取的200名学生中，男生120人，女生80人，其中男生分数的平均数为，方差为；女生分数的平均数为，方差为名学生分数的平均数为，方差为.
①
②.
请判断公式①和公式②是否相等，并说明理由.
19. 在三棱锥中，已知均是边长为的正三角形，棱.现对其四个顶点随机贴上写有数字的八个标签中的四个，
表示顶点所贴数字，为侧棱上一点.
（1）求事件“”的概率；
（2）求事件“为偶数”的概率；
（3）若，求“二面角的平面角大于”的概率.