湖北省武汉市第二中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

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1. 下列四个命题，其中真命题是（ ）
A. 点关于平面对称点的坐标是
B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 已知平面的一个法向量，点在内，则到的距离为2
D. 向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是
2. 如图，在平行六面体中，,且，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知实数满足，，则的最小值为（ ）
A. 1B. 4C. 9D. 16
5. 已知、，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
6. 若圆，圆的两交点分别为A，B，则（ ）
A. B. C. D.
7. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. -1
8. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. 0B. C. D.
二、多选题
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 如果，，则直线不通过第二象限
B. 向量是直线的一个方向向量
C. 直线与直线关于直线对称
D. “”是“直线与直线平行”的充分不必要条件
10. 从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为3，4）的口袋中不放回地依次随机摸出2个球，表示事件“恰有1个白球”，表示事件“恰有2个白球”，表示事件“取到了编号为1的小球”，则下列结论正确的是（ ）
A. 事件，互为对立事件B.
C. D. 事件，为相互独立事件
11. 以下四个命题表述正确的是（ ）
A. 直线恒过定点（-3，-3）
B. 圆上有且仅有3个点到直线距离都等于1
C. 曲线：与曲线：恰有三条公切线，则
D. 已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点（1，2）
三、填空题
12. 已知实数，满足，则的最小值是______．
13. 已知圆C与圆，O1：都外切且经过点，则圆C的方程为_________．
14. 生活中一些常见的漂亮图案不仅具有艺术美，其中也有数学的对称、和谐、简洁美曲线.下面是关于曲线的四个结论：
①曲线关于原点中心对称；
②曲线上点的横坐标取值范围是
③曲线上任一点到坐标原点最小距离为；
④若直线与曲线无交点，则实数取值范围是
其中所有正确结论的序号是______.
四、解答题
15. 如图甲，在平面五边形ABCDE中，，，，，G为BC的中点，以AD为折痕将图甲中的折起，使点E到达如图乙中的点S的位置，且．
（1）证明：平面平面ABCD；
（2）求平面SAD与平面SBC的夹角的余弦值．
16. 已知圆，内接于此圆，点的坐标，O为坐标原点.
（1）若直线的方程是，求的面积；
（2）若的重心是，求直线的方程（三角形重心是三角形三条中线的交点，且三等分所在中线）；
（3）若直线与直线的倾斜角互补，求证：直线的斜率为定值.
17. 已知点，，且点满足直线与直线的斜率乘积为.
（1）求点轨迹方程.
（2）若是直线上的动点，为坐标原点，
（i）过点作曲线的一条切线，切点为，求的最大值；
（ii）连接，，直线与曲线的交点为，直线与曲线的交点为.证明：直线过定点.