湖北省武汉市第二中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷（解析版）

这是一份湖北省武汉市第二中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答， 如图，在平行六面体中，，，则， 实数满足，则的最小值为， 下列命题正确的有等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效
一、单选题
1. 已知是空间直角坐标系中的一点，下列点的坐标与点M关于平面对称的点是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间直角坐标系中关于坐标平面对称问题直接求解.
【详解】与点关于平面对称的点是(4,−3,2)；
故选：D
2. 若直线与直线平行，则的值为（ ）
A. B. 或C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值.
【详解】因直线与直线平行，
则，解得.
故选：A.
3. 已知空间中点，，，，若A，B，C，D四点共面，则实数值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由四点共面，得与共面，利用共面向量定理列方程组求解即得．
【详解】因为，，，，
所以，，，
因为四点共面，所以与共面，即存在唯一实数对，使得，
所以，
所以，解得．
故选：B
4. 设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】按是否为0分类讨论，求出斜率的取值范围，进而求出倾斜角的范围.
【详解】当时，直线的斜率不存在，则直线的倾斜角，
当时，直线的斜率，
当，即时，则；当，即时，，
所以直线的倾斜角的范围为.
故选：C
5. 若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将化为一般式，结合条件有，且，即可求解.
【详解】易知，由，得到，
由已知一般式方程为，所以有，
则，解得，
又，，
所以，则，
故选：A.
6. 如图，在平行六面体中，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由图及空间向量加法可得，后由题意及模长公式可得答案.
【详解】设，因为六面体是平行六面体，
所以，因为，
代入计算可得：
，
故有：，所以，
所以，因为，所以.
故选：B
7. 实数满足，则的最小值为（ ）
A. 2B. 1C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】由点到线的距离公式求解最小值，即可求解.
【详解】，
其中为两点与距离的平方，
所以其最小值即为到直线距离的平方，即，
所以的最小值为1，
故选：B
8. 在四棱锥中，底面，底面是正方形，,，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】在四棱锥中，平面，且四边形为正方形，
以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，
，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，所以，，
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
故选：A.
二、多选题
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则
B. 若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底
C. 已知向量，若，则为钝角
D. 已知直线的一个方向向量为且过点，则的方程为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据线面平行的判定定理，可判断A的正误；根据向量共面的定理及条件，分析即可判断B的正误；当时，可得，分析即可判断C的正误；根据直线的方向向量，可得斜率k，代入点斜式方程，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】选项A：直线的方向向量与平面的法向量垂直，直线可能在平面内，故A错误；
选项B：若为空间的一个基底，则不共面，
假设共面，则，
此时共面，与已知条件矛盾，故假设不成立，
即不共面，则可构成空间的另一个基底，故B正确；
选项C： 当时，，
此时，即，夹角为，不符合题意，故C错误；
选项D：因为直线的一个方向向量为，
所以斜率，又过点，
所以的方程为，整理得，故D正确；
故选：BD
10. 已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点与不重合），则以下说法正确的是（ ）
A. B. 为定值
C. 的最大值为D. 的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，将两直线的一般式化为点斜式，求出定点A,B，得到的绝对值；B选项，利用两直线斜率关系，证得，从而利用直角三角形三边关系求出为定值；C选项，用基本不等式，计算三角形面积最大值；D选项，引进角为变量，实质是通过三角换元，解决两个变量的最值问题.
【详解】列表解析 直观解疑惑
故选：ABD.
11. 在棱长为1的正方体中，点F在底面ABCD内运动（含边界），点E是棱的中点，则（ ）
A. 若F在棱AD上时，存在点F使
B. 若F是棱AD的中点，则平面
C. 若平面，则F是AC上靠近C的四等分点
D. 若F在棱AB上运动，则点F到直线的距离最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求线线的夹角，以及判断线面垂直，以及求解点到直线的距离，判断ACD，利用面面平行证明线面平行，判断B.
【详解】A.如图建立空间直角坐标系，，，，
，，
，
整理为，解得：或，都舍去，
所以不存在点F使，故A错误；
B.
如图，取的中点，连结，因为点是的中点，
所以，平面，平面，
所以平面，
同理，且，所以，平面，平面，所以平面，
且，平面，
所以平面平面，平面，
所以平面
C. 若F是AC上靠近C的四等分点，则，，，，
所以，，，
，,
所以，，且，平面，
所以平面，且过点只有1条直线和平面垂直，
则点是唯一的，点是上靠近的四等分点，故C正确；
D.若点在棱上运动，设，，
，,
则点到的距离，
当时，的最小值为，故D正确.
故选：BCD
【点睛】思路点睛：本题的关键是将几何问题转化为向量运算，尤其是证明垂直关系，求角和距离，以及判断是否存在问题.
三、填空题
12. 已知直线：与直线：平行，其中，则直线与之间的距离等于______．
【答案】
【解析】
【分析】利用两条直线平行的条件求出，再利用平行线间的距离公式计算得到所求距离.
【详解】由题意，直线，则且，所以.
所以：与直线：之间的距离.
故答案为：.
13. 已知点，，点为直线上动点，当最大时，点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】当或时，结合图形求出，当且时，利用正切的两角差公式求出的最大值，结合正切函数的单调性即可得解.
【详解】以为直径的圆方程为，
因为原点到直线的距离，所以圆与直线相离，
所以，
设，因为点为直线上，所以，
1）当时，，此时；
2）当时，，此时；
3）当且时，
因为，所以，
记直线的斜率分别为，
则，
所以
，
当时，；
当时，
若，则，，
当且仅当时等号成立，故
若，则，，当且仅当时等号成立.
综上，的最大值为2，
因为单调递增，所以，此时取得最大值，点坐标为.
故答案为：
14. 在正四棱锥中，若，，平面AEF与棱PD交于点G，则四棱锥与四棱锥的体积比为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用已知四点共面推得.然后由椎体体积公式，求出和的值，即可得出答案.
【详解】
由已知可得，.
设，
由四点共面可设，
则，
所以
，
整理可得，.
又不共面，
所以有，解得，即.
设分别是点到平面和点到平面的距离，则，
所以，
.
又，
所以.
同理可得，
.
又，
所以.
所以，.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：将点共面问题转化为向量共面，根据向量共面列出关系式.
四、解答题
15. 如图，在直三棱柱中，，点，，分别为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面平行的判定定理以及中位线性质证明即可得出结论；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离即可得结果.
小问1详解】
因为为直三棱柱，所以，
又，分别为，的中点，所以，
所以，
又平面平面，
所以平面；
【小问2详解】
因为为直三棱柱，且，
以为坐标原点，分别以所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因，则，
则，
因为，则，即，
设平面的法向量为，
则，取，则，，
所以平面的一个法向量为，
又，即，
所以点到平面的距离，
因为，分别为，的中点，故有直线平面，
所以直线与平面的距离即为点到平面的距离，
故直线与平面的距离为.
16. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为.
（1）若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程；
（2）若平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据中点和点在直线，结合与垂直，点在直线上列方程组求出点，坐标，然后可得；
（2）根据直线上的点到直线的距离相等，结合（1）中方程求解即可.
【小问1详解】
设，
则,即①，②，
又直线与直线垂直，所以，即③，
联立②③解得，
又④，联立①④解得，
所以直线的方程为，即.
【小问2详解】
因为的平分线所在的直线方程为，所以⑤，
联立①⑤求解可得，
则直线方程为，即，
设直线的方程为，则
在直线上取点，由角平分线定理可知，到直线的距离相等，
则，即，
又，所以，整理得，
解得或，所以直线的斜率或，
当时，直线的方程为，
即，与直线重合，舍去；
当时，直线的方程为，即，满足题意.
所以直线的方程为.
17. 某班级有50名学生，现在发起自愿订阅语文、数学、英语资料的活动，已知订阅语文资料的学生有名，订阅数学资料的学生有名，订阅英语资料的学生有名，且.从50名学生中随机抽取一名学生，记“订阅了语文资料”，“订阅了数学资料”，“订阅了英语资料”，.
（1）若，，，求这三个数据的平均数和方差；
（2）若，，求的最大值；
（3）求的最小值.（参考公式：对于随机事件A，B，C有
【答案】（1）平均数15，方差6
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据平均数与方差的概念进行计算.
（2）根据古典概型概率计算公式计算可得.
（3）根据和事件的概率公式继续计算即可.
【小问1详解】
易得这三个数据的平均数，
方差.
【小问2详解】
依题意，同时订阅了三种资料的有人.
设订阅了数学和英语的有人，减去其中订阅了语文的人数，所以满足的人数有人.
显然不能为负数，所以，且.所以.
故的最大值为.
【小问3详解】
依题意有
，
所以，
即，
因为总共买了三种资料的有一人，
,
由于，
故，
所以所有买了资料的同学至多有人，
从而，所以.
当仅有一人买了三种资料，其余所有人均只买一种资料或不买资料时取得最小值.
18. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，O是AD的中点，平面ABCD，，，平面平面.
（1）求证：；
（2）如图，且，求点M到平面PBC的距离；

（3）设四棱锥P-ABCD的外接球球心为Q，在线段PB上是否存在点E，使得直线与平面AEC所成的角的正弦值为？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，或
【解析】
【分析】（1）先由线线平行证得∥平面，再利用线面平行的性质即可证明；
（2）先证，，建系，写出相关点的坐标，求出相关向量的坐标，利用点到平面的距离的向量公式计算即可；
（3）依题意设，利用求得，即得，设，，求出，求出平面AEC的一个法向量，利用题设中的线面所成角列出方程求解即得.
【小问1详解】
∵四边形ABCD为正方形，∴，
又平面，平面，∴∥平面，
又平面，平面平面，
∴；
【小问2详解】
取BC中点N，连接ON，则，
∵平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，
∴，，
∴以O为原点，OA，ON，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，
于是，，，，
设平面的一个法向量为，
则，得，故可取，
∴点M到平面PBC的距离为．
【小问3详解】
存在点E，使得直线与平面AEC所成的角的正弦值为，
∵，且平面ABCD为正方形，
∴点Q在平面上的射影是ABCD的中心，
可设，则，
∴，解得．
即，，
设，，
∴，，，
设平面AEC的一个法向量为，
则，得，
取，
设直线与平面AEC所成的角为，
∴，
化简得，∴或，
∴当或时，直线与平面AEC所成角的正弦值为．
19. 在平面直角坐标系中，两点、的“曼哈顿距离”定义为，记为．如，点、的“曼哈顿距离”为9，记为．
（1）动点在直线上，点，若，求点的横坐标的取值范围；
（2）动点在直线上，动点在函数图象上，求的最小值；
（3）动点在函数的图象上，点，的最大值记为．如，当点的坐标为时，．求的最小值，并求此时点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）最小值为，点
【解析】
【分析】（1）利用“曼哈顿距离”的定义，分类讨论去绝对值解不等式即可；
（2）设出动点，利用曼哈顿距离的定义列出二元函数，将它视为以为参数，为自变量的函数，分类讨论求其最值即可；
（3）先取特值确定出最小值，再验证有实数a，b即可．
【小问1详解】
由已知，则根据“曼哈顿距离”定义得
，，
当时，成立，解得；
当时，，解得；
当时，，解得
综上所述点的横坐标的取值范围是；
【小问2详解】
设出动点，则，
又，所以，
当时，，
此时，
当时，，
此时
当时，，
此时
又
所以
综合得，当时取等号.
即的最小值为
【小问3详解】
设点，则，
若存在实数使得，则对任意成立，
取，有，取,有，
得，
所以
取，是上是偶函数，
当时，若，，
若，，当且仅当时取等．
所以存在实数且，使得最小值为，点
选项
正误
原因
A
√
因为可化为，所以直线恒过定点．又因为可化为，所以直线恒过定点．故．
B
√
对于直线，因为，所以，可得，因此，为定值．
C
×
，当且仅当时等号成立（点拨 注意等号成立的条件是否满足），所以的最大值为．
D
√
设，因为，所以为锐角，，所以，其中，所以当时，取得最大值．