山东省菏泽市第二中学2025~2026学年高三上册10月学情检测数学试卷【含答案】

这是一份山东省菏泽市第二中学2025~2026学年高三上册10月学情检测数学试卷【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设复数，则
A．B．C．3D．5
2．与向量反向的单位向量是
A．B．C．D．
3．已知集合，0，，，2，，以下判断正确的是
A．是的充分条件
B．是的既不充分也不必要条件
C．是的必要条件
D．是的充要条件
4．若函数为自然对数的底）的一条切线与轴平行，则切点的坐标为
A．B．C．D．
5．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，以下判断正确的是
A．若，，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，，则
6．一个铅垂做单摆运动时，离开平衡位置的位移关于时间的函数图象如图所示，函数关系满足，当时，不可能是
A．B．C．D．
7．将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前三位数字构成三位数，后三位数字构成三位数，记，大于100的概率是
A．B．C．D．
8．已知双曲线的焦点为，，过点的直线与双曲线交于，两点．若，，则双曲线的渐近线方程为
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9．（6分）在某班级的一次测验后，随机抽取7名同学的成绩作为样本，这7名同学的成绩分别为78，80，81，84，87，88，90，则
A．估计这次考试全班成绩的平均分为84
B．从样本中任取两人的成绩，均大于平均分的概率是
C．样本的分位数是87
D．当该样本中加入84形成新样本时，新样本方差小于原样本方差
10．（6分）已知曲线，则以下说法正确的是
A．点在曲线内部
B．曲线关于原点对称
C．曲线与坐标轴围成的面积为
D．曲线的周长是
11．（6分）已知函数和，以下判断正确的是
A．函数在区间，内有唯一的零点
B．，时，
C．，时，
D．存在正实数，当时，对于任意大于1的正实数，
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．函数在，上的最小值为 ．
13．在锐角三角形中，，，的对边分别为，，，若，，，则△的面积为 ．
14．正方体的棱长为2，平面截正方体内切球所得的截面面积为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）已知正四棱柱底面边长为3，点、分别在直线、上，，．
（1）证明：平面；
（2）若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值．
16．（15分）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．”这二十八字节气歌是我国古人智慧的结晶．某文具店试销二十四节气书签，每套书签24张，分别印有春夏秋冬四季节气各6张．文具店为促销进行抽奖活动，凡购买一套二十四节气书签可参加抽奖，抽奖规则如下：从一套书签中挑出6张春季卡，6张夏季卡，将其中3张春季卡和3张夏季卡装在一个不透明的盒中，剩余的3张春季卡和3张夏季卡放在盒外．现从盒中随机抽出一张卡，若抽出春季卡，则把它放回盒子中，若抽出夏季卡，则该卡与盒外的一张春季卡置换．如此操作不超过4次，将盒中的夏季卡全部置换为春季卡，则停止抽卡并获得2套二十四节气书签，否则不获奖．
（1）求只抽3次即获奖的概率；
（2）若促销的30天中预计有360人参加活动，从数学期望的角度分析商家准备多套少书签作为奖品更为合理？
17．（15分）已知椭圆的上顶点为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于点，并与圆相切，已知点，直线与椭圆交于点，证明：与相切．
18．（17分）已知公差不为零的等差数列满足，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：；
（3）若数列满足，证明：为自然对数的底）．
19．（17分）已知曲线S：sin（x+y）＝csx+siny，x，y∈R．
（1）定义：若对于曲线f（x，y）＝0上任意一点P（x，y）沿向量＝（T，T′）平移得到点Q（x+T，y+T′）仍在曲线上，其中T与T′是不同时为0的常数，则称曲线f（x，y）＝0沿向量＝（T，T′）的方向上有周期性．判断是否存在向量使曲线S具有周期性，若存在请写出一个符合要求的向量，若不存在，请说明理由；
（2）证明：曲线S是中心对称图形；
（3）当x∈[0，π]，时，曲线S为一条封闭的曲线，四条直线l1：x+y﹣﹣θ＝0，l2：x+y﹣+θ＝0，l3：x﹣y+＝0，l4：x﹣y﹣＝0，围成矩形ABCD，其中θ为锐角，csθ＝﹣1，证明：曲线S在矩形ABCD的内部或边上，且过矩形对角线交点的直线平分曲线S围成的面积．
2025菏泽市第二中学高三上学期10月学情检测数学试题
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．设复数，则
A．B．C．3D．5
解：，
则．
故选：．
2．与向量反向的单位向量是
A．B．C．D．
解：设与向量反向的单位向量是，
则．
故答案为：．
3．已知集合，0，，，2，，以下判断正确的是
A．是的充分条件
B．是的既不充分也不必要条件
C．是的必要条件
D．是的充要条件
解：因为集合，0，，，2，，
则，则错误；
因为，，0，1，2，，
则是的充分不必要条件，错误；
是的充分不必要条件，错误；
是的充要条件，正确．
故选：．
4．若函数为自然对数的底）的一条切线与轴平行，则切点的坐标为
A．B．C．D．
解：设切点坐标为，，函数，所以，
因为切线与轴平行，所以，
解得，，故切点坐标为．
故选：．
5．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，以下判断正确的是
A．若，，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，，则
解：若，，，则或或与相交，故错误；
若，，，则或，故错误；
若，在内作，则，
又，，
又，，得，故正确；
若，，，则或与相交或与异面，故错误．
故选：．
6．一个铅垂做单摆运动时，离开平衡位置的位移关于时间的函数图象如图所示，函数关系满足，当时，不可能是
A．B．C．D．
解：由的图象知，最小正周期，所以，
由，则函数的图象过，，即，
解得，；即，；由得，
所以，由，则，
解得，；或，；
可得，；或，；
当时，，当时，，当时，．
故选：．
7．将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前三位数字构成三位数，后三位数字构成三位数，记，大于100的概率是
A．B．C．D．
解：先求小于100的概率，百位必相邻，且较大数的十位小于较小的数的十位，个位无限制，分两步：
（1）取百位的概率为．
（2）取十位，在剩下的4个数字中取两数分配给，作十位，
而的十位大于的十位与的十位小于的十位的概率相等，
此步符合要求的概率为，
小于100的概率为，
大于100的概率是．
故选：．
8．已知双曲线的焦点为，，过点的直线与双曲线交于，两点．若，，则双曲线的渐近线方程为
A．B．C．D．
解：因为双曲线的焦点坐标为，
设双曲线的方程为，所以，
当过点的直线与双曲线右支交于，两点如图所示，
由，，设，
则，由双曲线的定义知，所以，，
在△中，，，
，
在△中，，
即，解得，，
所以双曲线的方程为，双曲线的渐近线方程为：；
当过点的直线与双曲线两支交于，两点如图所示，
由，，得，
与双曲线定义不符，故此种情况不成立，
综上，双曲线的渐近线方程为．
故选：．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9．（6分）在某班级的一次测验后，随机抽取7名同学的成绩作为样本，这7名同学的成绩分别为78，80，81，84，87，88，90，则
A．估计这次考试全班成绩的平均分为84
B．从样本中任取两人的成绩，均大于平均分的概率是
C．样本的分位数是87
D．当该样本中加入84形成新样本时，新样本方差小于原样本方差
解：根据题意，依次分析选项：
对于，全班成绩的平均分为，正确；
对于，7人成绩中，有3人成绩大于平均分，则要求概率，正确；
对于，，则样本的分位数是第6个数据，即88，错误；
对于，由于加入的数据为84，正好等于7个数据的平均数，
则加入后，数据的波动变小，故新样本方差小于原样本方差，正确．
故选：．
10．（6分）已知曲线，则以下说法正确的是
A．点在曲线内部
B．曲线关于原点对称
C．曲线与坐标轴围成的面积为
D．曲线的周长是
解：当，时，曲线的方程为，即，
表示圆心为，半径为的圆在第一象限的部分，
同理，当，时，曲线的方程化为，
当，时，曲线的方程化为，
当，时，曲线的方程化为，
作出曲线，如图所示，
选项：当时，得，即，
因，故，故或，
因，故点在曲线外部，故错误；
选项：将换成，将换成，方程不变，
故曲线关于原点对称，故正确；
选项：将将换成，方程不变，故曲线关于轴对称，
设曲线在第一象限与坐标轴围成的面积为，则曲线与坐标轴围成的面积为，
当，时，方程，即，
其圆心坐标为，半径为，如图，
当时，得或，故弦长，
由，故，
则，故，故正确；
选项：由题意可知曲线的周长为，故错误．
故选：．
11．（6分）已知函数和，以下判断正确的是
A．函数在区间，内有唯一的零点
B．，时，
C．，时，
D．存在正实数，当时，对于任意大于1的正实数，
解：因为函数和，
由于，
当时，，，则，
当时，，
故当时，，，则，
故必有，使，
因此选项正确，选项错误．
对于任意正数，
当时，，
取，当时，对于任意大于1的正实数，，
因此选项正确，而当时，故选项错误．
故选：．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．函数在，上的最小值为 ．
解：因为，
所以，
当，时，，单调递增，
当，时，，单调递减，
所以，
又因为，，
所以函数在，上的最小值为．
故答案为：．
13．在锐角三角形中，，，的对边分别为，，，若，，，则△的面积为 ．
解：在锐角三角形中，，，的对边分别为，，，
若，，，
由，
可得：，
即，
即，
即，
化简可得：，又，
可得：，
由，可得，
因为，，
所以，即，
所以锐角三角形为等边三角形，
所以△的面积为．
故答案为：．
14．正方体的棱长为2，平面截正方体内切球所得的截面面积为 ．
解：由题意正方体的棱长为2，
正方体的中心是内切球球心，设为，到平面的距离为，
设到平面的距离为，因为，
所以，
所以，
所以，
正方体内切球半径，正方体内切球被平面截球面所得的截面是一个圆半径为的圆，
所以，所以圆的面积为．
故答案为：．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）已知正四棱柱底面边长为3，点、分别在直线、上，，．
（1）证明：平面；
（2）若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：，
因为，所以，
所以，平面，平面，
所以平面；
（2）解：以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则三棱锥的体积，解得，
则，
设平面的法向量为，
则，
取，则，，则平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值．
16．（15分）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．”这二十八字节气歌是我国古人智慧的结晶．某文具店试销二十四节气书签，每套书签24张，分别印有春夏秋冬四季节气各6张．文具店为促销进行抽奖活动，凡购买一套二十四节气书签可参加抽奖，抽奖规则如下：从一套书签中挑出6张春季卡，6张夏季卡，将其中3张春季卡和3张夏季卡装在一个不透明的盒中，剩余的3张春季卡和3张夏季卡放在盒外．现从盒中随机抽出一张卡，若抽出春季卡，则把它放回盒子中，若抽出夏季卡，则该卡与盒外的一张春季卡置换．如此操作不超过4次，将盒中的夏季卡全部置换为春季卡，则停止抽卡并获得2套二十四节气书签，否则不获奖．
（1）求只抽3次即获奖的概率；
（2）若促销的30天中预计有360人参加活动，从数学期望的角度分析商家准备多套少书签作为奖品更为合理？
解：（1）设事件可取1，2，3，表示第次抽到春季卡，
可取1，2，3，表示第次抽到夏季卡，事件表示抽3次即获奖，
则，（C），
所以．
（2）设事件表示获奖，则，
且，，，为互斥事件，
（D），
由（1），
，
，
，
又因为参加抽奖是否获奖相互独立，用随机变量表示参加活动获奖的人数，
若促销的30天中预计有360人参加活动，则，
所以，即估计获奖人数的平均值为30，
又因为获奖后每人获得2套二十四节气书签，，
所以商家准备60套书签作为奖品较为合理．
17．（15分）已知椭圆的上顶点为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于点，并与圆相切，已知点，直线与椭圆交于点，证明：与相切．
解：（1）设椭圆焦距为，
若焦点在轴，
易知椭圆的长轴长为，短轴长为，
因为椭圆的离心率为，
所以，
因为，
所以，，
则椭圆的方程为；
若焦点在轴，
易知椭圆的长轴长为，短轴长为，
因为椭圆的离心率为，
所以，
因为，
所以，，
则椭圆的方程为，
综上所述，若焦点在轴，椭圆的方程为；
若焦点在轴时，椭圆的方程为；
（2）证明：若焦点在轴，椭圆的方程为，
若直线斜率不存在，
此时点在轴上，显然满足题意；
若直线斜率存在，
设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
此时，
易知，
联立，消去并整理得，
此时，
所以，
因为直线与圆相切，
所以，直线，
此时圆心到直线的距离，
所以直线与圆相切；
若焦点在轴，椭圆方程为，若直线斜率不存在，
此时在轴上，显然满足题意；若直线斜率存在，
设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
此时，
易知，
联立，消去并整理得，
此时，
所以，
因为直线与圆相切，
所以，
直线，
此时圆心到直线的距离，
所以直线与圆不相切，
综上所述，当椭圆的焦点在轴上时，直线与圆相切；
焦点在轴上时且直线斜率存在时，直线与圆不相切．
18．（17分）已知公差不为零的等差数列满足，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：；
（3）若数列满足，证明：为自然对数的底）．
【解答】（1）解：设等差数列公差为，，，，成等比数列，
，即，解得或（舍去），
数列的通项公式；
（2）证明：设，
当时，，单调递减，
（1），，由（1）可知，
则有，不等式恒立．
（3）证明：，
要证，
只需证，
由（2）可知（当且仅当时等号成立），
又，，，
则
，
．
19．（17分）已知曲线S：sin（x+y）＝csx+siny，x，y∈R．
（1）定义：若对于曲线f（x，y）＝0上任意一点P（x，y）沿向量＝（T，T′）平移得到点Q（x+T，y+T′）仍在曲线上，其中T与T′是不同时为0的常数，则称曲线f（x，y）＝0沿向量＝（T，T′）的方向上有周期性．判断是否存在向量使曲线S具有周期性，若存在请写出一个符合要求的向量，若不存在，请说明理由；
（2）证明：曲线S是中心对称图形；
（3）当x∈[0，π]，时，曲线S为一条封闭的曲线，四条直线l1：x+y﹣﹣θ＝0，l2：x+y﹣+θ＝0，l3：x﹣y+＝0，l4：x﹣y﹣＝0，围成矩形ABCD，其中θ为锐角，csθ＝﹣1，证明：曲线S在矩形ABCD的内部或边上，且过矩形对角线交点的直线平分曲线S围成的面积．
解：（1）因为sin[（x+2mmπ）+（y+2mπ）]＝sin（x+y），cs（x+2mπ）＝csx，sin（y+2mπ）＝siny，
所以当P（x，y）在曲线S上时，Q（x+2mmπ，y+2nπ）（m，n∈Z，且m，n不同时为0）必在曲线S上，故存在向量使曲线S具有周期性，
向量＝（2mπ，2nπ）（m，n∈Z，且m，n不同时为0），（m，n取一个符合要求的值即可），
则符合要求的一个向量＝（2π，2π）．
（2）证明：因为cs（2π+2mπ﹣x）＝csx，sin（π+2mπ﹣y）＝siny，sin[（2π+2mπ﹣x）+（π+2nπ﹣y）]＝sin（x+y）（m，n∈Z），
所以当sin（x+y）＝csx+siny时，sin[（2π+2mπ﹣x）+（π+2nπ﹣y）]＝cs（2π+2mπ﹣x）+sin（π+2nπ﹣y），
故当P（x，y）在曲线S上时，必有P′（2π+2m﹣x，π+2mπ﹣y）在曲线S上，
而P与P′关于点对称，所以曲线S是中心对称图形，对称中心为（m，n∈Z），（m，n取一个符合要求的值也可）；
（3）证明：先证明曲线S上的点在直线l1的上方或直线l1上，
设P（x，y）是曲线S上任意一点，即证．
由sin（x+y）＝csx+siny可得，
用反证法证明，假设x+z＜π+θ，则，
由cs（x+z）＝csx+csz可得，
由于x+z＝π时原式不成立，故x+z≠π，则，
若x+z＞π，则，所以，
又，
故，得，矛盾，
故x+z＜π，即z＜π﹣x，又x≥0，z≥0，因此csz＞cs（π﹣x）＝﹣csx，
从而cs（x+z）＝csx+csz＞0，可得，因此，，
所以cs（x+z）≤csx＜csx+csz，这与已知矛盾，故假设不成立，
由第（2）问可知，点是曲线S的中心，过M垂直于l1的直线为，
由，得，将其分别代入曲线S的方程两边，
左边＝，右边＝，
故点既在曲线S上又在直线l1上，从而曲线S上的点在直线l1的上方或直线l1上，
由于点到直线l1的距离，
到直线l2的距离，故d1＝d2，
到直线l3的距离，
到直线l4的距离，故d3＝d4，
所以点M也是矩形ABCD的中心，根据中心对称性可知曲线S上的点在直线l2的下方或直线l2上，
同理可证，曲线S上的点也在直线l3，l4之间，或直线l3，l4上，
因此，曲线S在矩形ABCD的内部或边上，又由于矩形ABCD和曲线的对称中心重合，
因此过矩形ABCD对角线交点的直线必平分曲线S围成的面积．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
D
B
C
A
D
A