辽宁省铁岭市2025~2026学年高一上册10月教学质量监测数学试卷【附解析】

这是一份辽宁省铁岭市2025~2026学年高一上册10月教学质量监测数学试卷【附解析】，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若命题，，则命题的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．若，，，，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知命题，，命题，，则（ ）
A．和均为真命题B．和均为真命题
C．和均为真命题D．和均为真命题
5．若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．或
C．D．
6．已知，为正实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
7．已知全集，非空集合，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
8．设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立，若p，q中至少有一个是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．下列关系中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数m的值可能是（ ）
A．0B．1C．2D．3
11．已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．已知集合，则集合的真子集个数为 .
13．设，，，则的大小顺序是 .（用“”连接）
14．已知，，则的最大值是 ．
四、解答题
15．已知全集，集合，或．
(1)求；
(2)求．
16．已知为实数，，．
(1)当时，求的取值集合；
(2)当时，求的取值集合.
17．设.
(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式.
18．某公司由于业务的快速发展，计划在其仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为4米，底面积为108平方米，且背面靠墙的长方体形状的贵重物品存储室.由于此贵重物品存储室的后背靠墙，无需建造费用，某工程队给出的报价如下：存储室前面新建墙体的报价为每平方米1500元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米1000元，屋顶和地面以及其他报价共计36000元，设存储室的左、右两面墙的长度均为米，该工程队的总报价为元
(1)请用表示；
(2)求该工程队的总报价的最小值，并求出此时的值.
19．笛卡尔积是法国数学家笛卡尔命名的，允许将不同集合的元素组合成有序对，具有广泛的应用领域，包括数学、计算机科学、统计学和物理学．对于非空数集，定义，将称为“A与B的笛卡尔积”．
(1)若，求和；
(2)若是非空数集，证明：“”的充要条件是“”；
(3)若集合H是有限集，将集合H中的元素个数记为．若，，且满足，当取得最大值时，求的最小值．
1．C
由全称量词命题的否定可得出结论.
【详解】由题意可知，命题为全称量词命题，该命题的否定为：，.
故选：C.
2．B
根据交集的计算即可.
【详解】因为集合，
.
故选：B.
3．C
已知条件结合不等式的性质，判断各选项结论是否正确.
【详解】若，，，，
由，则，得，A选项错误；
由，有，则，B选项错误；
由，，有，C选项正确；
由，有，D选项错误.
故选：C.
4．B
通过举反例即可判断出两个命题的真假.
【详解】对于命题，当时，，所以为假命题，则为真命题；
对于命题，当时，，所以为真命题，
综上可知，和均为真命题．
故选：B．
5．B
先根据已知不等式的解集求出，再求解不等式.
【详解】因为关于的不等式的解集为，
所以1是方程的解，所以，解得，
所以不等式可化为，
解得，或，
所以不等式的解集为.
故选：B.
6．D
根据差比较法、充分和必要条件等知识来确定正确答案.
【详解】依题意，，为正实数，
由，得，所以，则充分性成立；
由，得，则，所以，则必要性成立．
综上可知，“”是“”的充要条件．
故选：D．
7．B
画出图，由集合的交并补集的运算逐项求解即可判断.
【详解】因为全集，集合，满足，
所以，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
故选：B
8．D
先由二次函数的性质求出为真时，解二次不等式可得命题等价于，可求p，q都是真命题的范围，进而可得答案.
【详解】若p为真命题，即对任意，不等式恒成立，
等价于当时，，
当时，，
即，所以；
若q为真命题，即存在，不等式成立，
等价于当时，.
由于，，所以，解得.
若p，q都是真命题，则；
所以，若命题p，q中至少有一个是假命题，则或.
即,
故选：D.
9．AB
根据元素与集合的关系可判断A选项，根据集合与集合的关系可判断BC选项，利用集合相等可判断D选项.
【详解】对于A选项，，A对；
对于B选项，，B对；
对于C选项，集合与集合之间没有包含关系，C错；
对于D选项，，D错.
故选：AB.
10．CD
根据题意可得：，且是的真子集，根据真子集关系分析可得，对比选项判断即可.
【详解】对于，因为，
则，解得，即：，
若是的必要不充分条件，则是的真子集，
则，结合选项可知AB错误，CD正确.
故选：CD.
11．BCD
利用基本不等式逐个选项判断即可.
【详解】因为，所以，
当且仅当时，等号成立，故A错误；
因为，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，当且仅当时，等号成立，故B正确；
因为，所以，
所以，所以，故C正确；
因为，所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
又，故D正确．
故选：BCD
12．3
列举出集合的所有真子集即可得解.
【详解】集合的真子集为：，共3个.
所以集合的真子集个数为3.
故答案为：3
13．
计算可得、，则，即可得解.
【详解】，
，
故.
故答案为：.
14．
化简所给式子，换元后利用均值不等式得出的范围，再由对勾函数单调性及反比例函数单调性求解.
【详解】由题知，原式，
设，所以原式，
令，，当且仅当，即时取等号，
所以原式.
故答案为：.
15．(1)或
(2)
（1）先出集合A，再求两集合的并集，
（2）先求出集合B的补集，再求出
【详解】（1）由题，
因为或，
所以或；
（2）全集，集合，或，
所以，
所以．
16．(1)
(2)
（1）分、两种情况讨论，求出集合，根据可得出关于的等式，即可求得实数的值；
（2）分、、且三种情况，求出集合、，根据可得出关于的等式，即可解得实数的值.
【详解】（1）解：因为，
所以当时，，当时，．
又，所以，此时，满足．
所以当时，的取值集合为．
（2）解：当时，，不成立；
当时，，，成立；
当且时，，，由，得，所以．
综上，的取值集合为．
17．(1)
(2)答案见解析
（1）讨论a是否为0，不为0时，结合一元二次不等式恒成立列出不等式组，即可求得答案；
（2）将化简为，分类讨论，比较的大小，即可得答案.
【详解】（1）不等式对一切实数恒成立，即对一切实数恒成立，
当时，即，满足题意；
当时，需满足，解得；
故实数的取值范围为；
（2）由可得，即，
即
当，即时，的解集为；
当，即时，的解集为；
当，即时，的解集为；
故原不等式的解集为：当时，解集为；
当时，解集为；
当，时，解集为；
18．(1)
(2)总报价的最小值为180000元，并求出此时的值为9米.
（1）求出前面墙的长度，再根据题意可得出关于的表达式；
（2）利用基本不等式可求出的最小值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论.
【详解】（1）前面墙的长度为米，
总报价，其中.
（2），
当且仅当，即时等号成立，
所以总报价的最小值为180000元，并求出此时的值为9米.
19．(1)；.
(2)证明见解析
(3)2
（1）由定义列举可得；
（2）分别证明充分性与必要性，借助互为子集证明集合相等.
（3）利用基本不等式求出最值何时取到，代入式子，消元再整体换元，再次使用基本不等式求函数最值.
【详解】（1）由题意知，，
.
（2）①证明“”是“”的充分条件.
证明：若，
任取，则对于任意，有，
因为，则，所以，
故；
任取，则对于任意，有，
因为，则，所以，
故；
综上可知，，得证.
②证明“”是“”的必要条件.
证明：若，设，
则，且，
，且，
故，得证；
综上所述：“”的充要条件是“”，得证.
（3）由题意，，
则，且.
所以有，即，
则
当且仅当，即时等号成立，此时取得最大值.
当取得最大值时，有，则，
则，令，且，则，
则，
当且仅当，即，时，等号成立.
故当取得最大值时，的最小值为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
B
B
D
B
D
AB
CD
题号
11









答案
BCD