江苏省镇江第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题及答案

这是一份江苏省镇江第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题及答案，共23页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 点P（5，-5）到直线4x-3y=0的距离为（ ）
A. 1B. 3C. 5D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解．
【详解】解：设点P（5，-5）到直线4x-3y=0的距离为d，
则．
故选：D．
2. 圆与圆的位置关系是（ ）
A. 内切B. 外切C. 相交D. 外离
【答案】A
【解析】
【分析】先求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距，然后与两圆的半径和差比较可得答案
【详解】由，得，
所以圆的圆心，半径，
由，得，
所以圆的圆心，半径，
所以，
所以两圆内切，
故选：A
3. 记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ）
A. 1B. 2
C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式利用条件，列出关于与的方程组，通过解方程组求数列的公差.
【详解】设等差数列的公差为，
则，，
联立，解得.
故选：C.
4. “”是“方程 表示的曲线为椭圆”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用椭圆的标准方程结合充分、必要条件的定义计算即可.
【详解】易知时，，但时有，
此时方程表示圆，所以不满足充分性，
若方程 表示的曲线为椭圆，则，
显然成立，满足必要性，
故“”是“方程 表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.
故选：B
5. 已知数列满足，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据递推公式一一计算可得.
【详解】因为，，
所以，，，.
故选：C
6. 若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则的最大值为
A. 2B. 3C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【详解】由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x0，y0)，
则＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝＋x0＋
∵P为椭圆上一点，∴＋＝1.
∴＝＋x0＋3＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.
∵－2≤x0≤2.
∴的最大值在x0＝2时取得，且最大值等于6.
7. 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆C于点D，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】由题意设椭圆的焦点在轴上，，，设，由解得点坐标，代入椭圆方程，化简即可求得离心率.
【详解】设椭圆的焦点在轴上，方程为，，，
设，由，且，
故，，
由点在椭圆上，
故，整理得，
故离心率，
故选：A.
【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
8. 已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A. 16B. 14C. 12D. 10
【答案】A
【解析】
【详解】设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知
，当且仅当（或）时，取等号.
点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以
.
9. 数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列.其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列是等差数列，则称数列为二阶等差数列.现有二阶等差数列，其前六项分别为，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】先得出递推公式，叠加法求通项公式，再用基本不等式求最小值即可.
【详解】数列前六项分别为，
依题知，
叠加可得：，
得，
当时，，满足，
所以，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
又，所以等号取不了，所以最小值在取得，
当时，，
所以最小值为.
故选：C
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
10. （多选）下列说法正确的是（ ）
A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
C. 已知直线，则直线的倾斜角为
D. 若两直线与平行，则
【答案】CD
【解析】
【分析】直接利用直线间的位置关系以及直线平行和垂直的充要条件可得A错误，D正确；分别讨论截距是否为零可判断B错误，由直线倾斜角与斜率之间的关系可得C正确.
【详解】对于A：“直线与直线互相垂直”的充要条件是，
解得或，故A错误；
对于B：经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，故B错误；
对于C：已知直线，则直线的倾斜角为满足，故倾斜角，故C正确；
对于D：若两直线与平行，
所以，解得或，
当时，两直线重合，故舍去，故D正确．
故选：CD．
11. 已知等差数列为递减数列，且，，则下列结论中正确的有（ ）
A. 数列的公差为B.
C. 数列是公差为的等差数列D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项，根据等差数列的性质得到，从而求出，，得到公差，A正确；
利用等差数列求通项公式求出B正确；
由，得到当时，，结合，从而得到C正确；
在C选项的基础上，求出，结合，求出答案.
【详解】由题意知，又，
故可看出方程的两根，
∵数列为递减数列，
，．
公差，故A正确；
又，
，故B正确；
由上可知，则当时，，
当时，，
数列是首项为，公差为的等差数列，故C正确；
由C选项知：，故，
∵，
，故D错误．
故选：ABC
12. 已知是左右焦点分别为的椭圆上的动点， ,下列说法正确的有（ ）
A. B. 的最大值为
C. 存在点，使D. 的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
对于选项 由椭圆的定义可得选项正确；
对于选项由椭圆的性质可知，故选项正确；
对于选项，又由椭圆的性质可知：当点为椭圆的上顶点或下顶点时，最大，所以，即，故选项错误；
对于选项设，则，当时，，故选项正确，
【详解】对于选项由题设可得：，，
由椭圆的定义可得：，故选项正确；
对于选项由椭圆的性质可知：（当为椭圆的右顶点时取““，故选项正确；
对于选项，又由椭圆的性质可知：当点为椭圆的上顶点或下顶点时，最大，此时，所以，即，故选项错误；
对于选项设，则，当时，，故选项正确，
故选：ABD
【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：
（1）几何法：结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系列不等式，再解不等式.
（2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围.
（3）利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；
（4）结合参数方程，利用三角函数的有界性.直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式.
（5）利用数形结合分析解答.
13. 已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别是和，下列说法正确的为（ ）
A. 圆上恰有一个点到直线的距离为B. 四边形面积的最小值为1
C. 切线长的最小值为1D. 直线恒过定点
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，利用圆心到直线的距离公式，即可求解；对于B，由圆的性质，切线长，当PC最小时，有最小值，即可求解；对于C，四边形的面积为，即可求解；对于D，由题可知在以为直径的圆上，利用两圆方程求得直线的方程，即可求解.
【详解】对于A，因为圆，所以圆心，半径，
则圆心到直线的距离为22=2>1，所以直线与圆相离，
所以圆上任意一点到直线的距离的取值范围为，
而，所以圆上有两个点到直线的距离为，故A错误；
对于C，由圆的性质，切线长，
当PC最小时，有最小值，此时，即，
则，故C正确；
对于B，四边形的面积为：，
因为，故四边形的面积为1，故B正确；
对于D，设，因为为过点作圆的切线，
所以，则在以为直径的圆上，又，
，即，
又圆，即，
上述两式相减，得直线的方程为，即，
由，得，即直线恒过定点，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题D选项的关键是分析得在以为直径的圆上，进而两圆方程相减得到直线的方程，再利用直线过定点问题的求解方法即可得解.
三、填空题：本大题共5小题，共20分．
14. 直线过定点为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】先把直线化为点斜式，从而可确定定点.
【详解】直线可化为点斜式，
所以直线过定点.
故答案为：.
15. 与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程是___________.
【答案】
【解析】
【分析】据题意可设所求方程为,代入点坐标可得到，进而求得双曲线方程.
【详解】据题意可设所求方程，把)代入易得，故所求双曲线方程为.
答案：
【点睛】求双曲线方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；离心率相同的方程可设为.
16. 在数列中，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用构造法构造数列，即可求解．
【详解】解：因为，
所以，
所以，
所以数列是一个等比数列，
所以，
所以．
故答案为：．
17. 已知为椭圆上的左右顶点，设点为椭圆上异于的任意一点，直线的斜率分别为，若椭圆离心率为，则为______．
【答案】##-0.25
【解析】
【分析】由题意可得，设Px0,y0，由题意可得的关系式，结合椭圆系数的关系和离心率的定义可得.
【详解】解：由题意可得，设Px0,y0，,
则由在椭圆上可得，
直线与的斜率之积为，
椭圆离心率为，可得，即，
故．
即．
故答案为：．
18. 已知椭圆和直线，若对任意的，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是______．
【答案】．
【解析】
【分析】由已知直线过定点0,1，可得0,1在椭圆内部或在椭圆上，然后分类讨论得答案．
【详解】直线恒过定点0,1，
要使直线与椭圆恒有公共点，
则0,1在椭圆内部或在椭圆上，
若椭圆是焦点在轴上的椭圆，则；
若椭圆是焦点在轴上的椭圆，则．
实数的取值范围是：．
故答案为：．
四、解答题：本题共8小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. 已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.
(1)求{an}的通项an；
(2)求{an}前n项和Sn的最大值．
【答案】（1）an＝－2n＋5.（2）4
【解析】
【详解】（Ⅰ）设{an}的公差为d，由已知条件，，解出a1＝3，d＝－2．
所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5．
（Ⅱ）Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝－(n－2)2＋4，所以n＝2时，Sn取到最大值4．
20. 如图，已知等腰直角三角形的斜边所在直线方程为，其中点在点上方，直角顶点的坐标为．
（1）求边上的高线所在直线的方程；
（2）求三角形的面积.
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）利用两条直线垂直的条件可得的斜率，再利用点斜式写出直线的方程；
（2）利用点到直线的距离公式求得，再根据等腰直角三角形的性质与面积公式，求解即可．
【小问1详解】
设的斜率为，因为斜边所在直线方程为，所以，
又经过点，所以，
即的直线方程为．
【小问2详解】
由题意知，，
因为是等腰直角三角形，
所以，
所以的面积为．
21. 已知椭圆的焦点为，该椭圆经过点P（5,2）
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆上的点满足，求y0的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据椭圆定义得a，再根据c求b（2）由得,再与椭圆方程联立解得y0的值.
试题解析：（1）依题意，设所求椭圆方程为
其半焦距c=6.
因为点P（5,2）在椭圆上，
所以
所以
故所求椭圆的标准方程是
（2）由得

即代入椭圆方程得：
故
22. 如图，一抛物线型拱桥的拱顶O离水面高4米，水面宽度AB＝10米．现有一船只运送一堆由小货箱码成的长方体形的货物欲从桥下中央经过，已知长方体形货物总宽6米，高1.5米，货箱最底面与水面持平．
（1）问船只能否顺利通过该桥？
（2）已知每加一层货箱，船只吃水深度增加1cm；每减一层货箱，船只吃水深度减少1cm．若每层小货箱高3cm，且货物与桥壁需上下留2cm间隙方可通过，问船只需增加或减少几层货箱可恰好能从桥下中央通过？
【答案】（1）货箱能顺利通过该桥；
（2）需要增加26层可恰好能从桥下中央通过.
【解析】
【分析】（1）以O为原点，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系：设抛物线方程为x2＝my，根据题意知点B（5，﹣4）在抛物线上，求解抛物线方程，设C（3，﹣4），过C作AB的垂线，交抛物线于D（3，y0），求出CD，即可判断货箱是否能顺利通过该桥．
（2）根据题意，结合（1）的结论进行求解即可．
【小问1详解】
以O为原点，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系：
设抛物线方程为x2＝my，根据题意知点B（5，﹣4）在抛物线上；
∴25＝﹣4m；∴；∴；
可设C（3，﹣4），过C作AB的垂线，交抛物线于D（3，y0），
则；∴；
∵；∴货箱能顺利通过该桥．
【小问2详解】
由题（1）知，货物超出高度为，
每增加一层，则船体连货物高度整体上升，
由货物与桥壁需留下2cm间隙．则需要增加层数为层，
答：船只能顺利通过该桥，可以增加26层可恰好能从中央通过．
23. 某公司从2020年初起生产某种高科技产品，初始投入资金为1000万元，到年底资金增长50%.预计以后每年资金增长率与第一年相同，但每年年底公司要扣除消费资金x万元，余下资金再投入下一年的生产.设第n年年底扣除消费资金后的剩余资金为万元.
（1）用x表示，，并写出与的关系式；.
（2）若企业希望经过5年后，使企业剩余资金达3000万元，试确定每年年底扣除的消费资金x的值（精确到万元）.
【答案】（1）；

（2）x=348
【解析】
【分析】(1)根据题意直接得，，进而归纳出
；
(2)由(1)可得，利用等比数列的求和公式可得
，结合即可计算出d的值.
【小问1详解】
由题意知，
，
，
；
【小问2详解】
由(1)可得，，
则
，
所以，
即，
当时，，
解得，
当时，万元.
故该企业每年年底扣除消费资金为348万元时，5年后企业剩余资金为3000万元.
24. 已知直线与双曲线C：交于A，B两点，F是C的左焦点，且，.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若P，Q是双曲线C上的两点，M是C的右顶点，且直线MP与MQ的斜率之积为，证明直线PQ恒过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】（1）
（2）证明见解析，直线PQ恒过定点（-2，0）
【解析】
【分析】（1）利用双曲线的几何性质求出a、b、c，即可求出双曲线C的方程；
（2）设直线MP与MQ的斜率分别为，，分类讨论：①当直线PQ不垂直于x轴时，利用“设而不求法”求出，判断出直线PQ过定点（-2，0）.
②当直线PQ垂直于x轴时，设，解得，判断出直线PQ过定点（-2，0）
小问1详解】
因为，所以，，
设双曲线C的焦距为2c，由双曲线的对称性知
设双曲线C的右焦点为F'，则，得，
则，故双曲线C的方程为.
【小问2详解】
由已知得，设直线MP与MQ的斜率分别为，，
①当直线PQ不垂直于x轴时：
设直线PQ的斜率为k，PQ的方程为，，，
由得，当时，
，，
那么
，得，符合题意.
所以直线PQ的方程为，恒过定点（-2，0）.
②当直线PQ垂直于x轴时：
设，因为P是C上的点，所以，
则，解得，
故直线PQ过点（-2，0）.
综上，直线PQ恒过定点（-2，0）.
25. 已知正项数列前项和为，且满足.
（1）求；
（2）令，记数列前项和为，若对任意的，均有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据与的关系即可求解；
（2）利用错位相减法求解得，参变分离即可求的范围.
【小问1详解】
因为，
当时，有，
两式相减得
，移项合并同类项因式分解得
，
因为，
所以有，
在中，当得，
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，
故有
【小问2详解】
由（1）知，
，
，
，
由题意，对任意，均有恒成立，
，
即恒成立，
设，
所以，
当时，，即 ；
当时，，即，
所以的最大值为，
所以.
故的取值范围是.
26. 已知圆经过两点，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）已知过点的直线与圆相交截得的弦长为，求直线的方程；
（3）已知点，在平面内是否存在异于点的定点，对于圆上的任意动点，都有为定值?若存在求出定点的坐标，若不存在说明理由．
【答案】（1）；（2）或；（3）见解析
【解析】
【分析】(1)设出圆的一般方程，代入三个条件解得答案.
(2)将弦长转化为圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式得到答案.
(3)设出点 利用两点间距离公式得到比值关系，设，最后利用方程与N无关得到关系式计算得到答案.
【详解】（1）因为圆经过两点，且圆心在直线上
设圆：
所以，，
所以，
所以圆
（2）当斜率不存在的时候，，弦长为，满足题意
当斜率存在的时候，设，即
所以直线的方程为：或
（3）设，且
因为为定值，设
化简得：，与点位置无关，
所以
解得：或
所以定点为
【点睛】本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查阿斯圆内容.考查了多项式恒成立问题.考查学生的分析能力、数据分析能力.