2024-2025学年高二上学期期中数学模拟试卷5试题及答案

这是一份2024-2025学年高二上学期期中数学模拟试卷5试题及答案，共14页。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．圆x2+y2−4x=0的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．0,2，2B．−2,0，4C．2,0，2D．2,0，4
【答案】C
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，由此得到结果.
【详解】圆的方程可化为：x−22+y2=4，∴圆心坐标为2,0，半径r=2.
故选：C.
2．顶点在原点，准线方程为x=34的抛物线的标准方程为（ ）
A．y2=32xB．y2=−32x
C．y2=3xD．y2=−3x
【答案】D
【分析】求出p的值，可得出抛物线的标准方程.
【详解】由题意可知，抛物线的开口向左，设抛物线的标准方程为y2=−2pxp>0，
则p2=34，所以p=32，所以抛物线的标准方程为y2=−3x．
故选：D．
3．双曲线x2a2−y24=1(a>0)的离心率为3，则a=（ ）
A．1B．2C．3D．6
【答案】B
【分析】根据双曲线的基本量关系求解即可.
【详解】由题意，a2+4a=3，即a2+4=3a2，解得a=2.
故选：B
4．如图，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且OM=2MA，点N为BC中点，则MN=（ ）
A．12a−23b+12cB．−23a+12b+12c
C．12a+12b−12cD．23a+b−12c
【答案】B
【分析】根据空间向量线性运算，结合图形分析可得．
【详解】因为OM=2MA，点N为BC中点，
所以MA=13OA，BN=12BC，
故MN=MA+AB+BN=13OA+OB−OA+12BC
=13a+b−a+12OC−OB=−23a+b+12c−b =−23a+12b+12c．
故选：B．
5．若两异面直线l1与l2的方向向量分别是n1=1,0,−1，n2=0,−1,1，则直线l1与l2的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】B
【解析】设异面直线l1与l2所成的角为θ，根据csθ=csn1,n2，即可求解.
【详解】由题意，两异面直线l1与l2的方向向量分别是n1=1,0,−1，n2=0,−1,1，
可得n1=2，n2=2，n1⋅n2=−1，
设异面直线l1与l2所成的角为θ，则csθ=csn1,n2=n1⋅n2n1⋅n2=12，
又因为θ∈(0∘,90∘)，所以θ=60∘，
即直线l1与l2的夹角为60∘.
故选：B.
6．已知直线l1:ax+2y+4=0，直线l2:x+a+1y+4=0，若l1//l2，则l1与l2的距离为（ ）
A．2B．22C．32D．42
【答案】C
【分析】
先由直线平行求得a的值，再利用平行直线间的距离公式即可得解.
【详解】因为l1:ax+2y+4=0，l2:x+a+1y+4=0，且l1//l2，
所以a≠0，且1a=a+12≠44，解得a=−2，
则l1:−2x+2y+4=0，即x−y−2=0，l2:x−y+4=0，
所以l1与l2的距离为−2−41+1=32.
故选：C.
7．若直线kx−y−2=0与曲线1−y−12=x−1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．43,2B．43,4
C．−2,−43∪43,2D．43,+∞
【答案】A
【分析】根据题意，化简曲线为x−12+(y−1)2=1(x≥1)，再由直线恒过定点P(0,−2)，结合图象和圆心到直线的距离，列出方程，即可求解.
【详解】由曲线1−(y−1)2=x−1，可得x−12+(y−1)2=1(x≥1)，
又由直线kx−y−2=0，可化为y=kx−2，直线恒过定点P(0,−2)，
作出半圆与直线的图象，如图所示，
结合图象，可得A(1,0)，所以kPA=0−−21−0=2，
当直线与半圆相切时，可得k−3k2+1=1，解得k=43，
所以实数k的取值范围为(43,2].
故选：A.
8．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线.已知△ABC的顶点A−1,0,B1,0,C1,1，若直线l:ax+a−3y+1=0与△ABC的欧拉线垂直，则直线l与△ABC的欧拉线的交点坐标为（ ）
A．15,35B．−15,35C．15,−35D．−15,−35
【答案】B
【分析】由题求出欧拉线方程，即可得直线l方程，后可得交点坐标.
【详解】由△ABC的顶点坐标，可知其重心为−1+1+13，13=13，13.
注意到kAB=0，直线BC斜率不存在，则△ABC为直角三角形，
则其垂心为其直角顶点B1,0，则△ABC欧拉线方程为：y−130−13=x−131−13⇒y=−12x+12.
因其与l:ax+a−3y+1=0⇒y=−aa−3x−1a−3垂直，则−aa−3=2⇒a=2.
则l:y=2x+1，则直线l与△ABC的欧拉线的交点坐标满足y=−12x+12y=2x+1⇒x=−15y=35，即交点为−15,35.
故选：B
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下面四个结论正确的是（ ）
A．若三个非零空间向量a,b,c满足a⊥b,b⊥c，则有a//c
B．若空间四个点P,A,B,C，PC=14PA+34PB，则A,B,C三点共线．
C．已知a,b,c是空间的一组基底，若m=a+c，则a,b,m也是空间的一组基底
D．已知向量a=1,1,x，b=−3,x,9，若x