2024-2025学年云南省昆明市高二上册期中数学模拟检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年云南省昆明市高二上册期中数学模拟检测试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线的倾斜角量（ ）
A．B．C．D．
2．已知空间向量，，若，则（ ）
A．4B．6C．D．
3．已知直线与直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在直三棱柱中，分别是棱和的中点，点是线段上的动点（不包括端点）．若，则线段的长度是（ ）
B．
C．D．
6．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点Px,y是阴影部分（包括边界）的动点，则值不可能是（ ）
A．
B．－1
C．0
D．1
7．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
8．在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
二、多选题
9．空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ）
A．B．点关于平面对称的点的坐标为
C．若，则D．若，，则
10．在平面直角坐标系中，已知长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，线段的中点的轨迹为曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．关于直线对称B．关于原点对称
C．点在内D．所围成的图形的面积为
11．如图，在棱长为2的正方体中，点在平面内且，则以下结论正确的是（ ）
A．异面直线与所成的角是
B．三棱锥的体积为
C．存在点，使得
D．点到平面距离的最小值为
三、填空题
12．过点且在轴､轴上截距相等的直线方程为 .
13．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，是棱的中点.则点到直线的距离为 .
14．若圆上有四个点到直线的距离为，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知的顶点边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为.求：
(1)顶点的坐标；
(2)边的垂直平分线方程.
16．如图，四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，过直线的平面与棱分别交于点．
(1)证明：；
(2)若，，，求平面与平面夹角的余弦值．
17．已知圆经过点和，且圆心在直线：上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若过点作圆的切线，求该切线方程.
18．在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)已知点，直线与轴交于点，直线与交于点，证明.
19．如图，三棱柱中，，，，点为的中点，且.
(1)求证：平面；
(2)若为正三角形，求与平面所成角的正弦值.
答案
1．【详解】直线的斜率为，又倾斜角的范围在之间，
所以直线的倾斜角是.故选：A.
2．【详解】因为，
因为，所以，解得.故选：C.
3．【详解】若，则，解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A.
4．【详解】令椭圆长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，依题意，是直角三角形，而坐标原点O为斜边的中点，
则，而，即有，，，即，于是得，
所以椭圆离心率的取值范围是.故选：D
5．【详解】在直三棱柱中，，
以A为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，设，则．
由于，所以，解得，
所以线段的长度为．
故选：A．
6．【详解】
记，则为直线AP的斜率，故当直线AP与半圆，相切时，斜率k最小，
设：，则，解得或(舍)，
当直线过点时，直线AP的斜率取得最大值1，即的最大值为1，因此，故选：A．
7．【详解】因为椭圆：的离心率为，则，解得，即椭圆的方程为，
于是椭圆的上顶点，右顶点，经过两点的椭圆切线方程分别为，，
则两条切线的交点坐标为，显然这两条切线互相垂直，因此点在椭圆的蒙日圆上，
圆心为椭圆的中心O，椭圆的蒙日圆半径，
所以椭圆的蒙日圆方程为.
故选：B
8．【详解】根据题意可得直线恒过点，该点在已知圆内，
圆的圆心为，半径，作于点，如下图所示：
易知圆心到直线的距离为，所以，
又，可得；
因此可得，
所以的面积为.
故选：D
9．【详解】由题意，A正确；
关于平面对称的点的坐标坐标相同，坐标相反，因此点关于平面对称的点的坐标为，B错，
若，则，所以，C正确；
若且，则，解得，D正确，
故选：ACD．
10．【详解】设线段的中点为，则由题意可得，，
所以，即，
所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆，
选项A：易知直线过圆心，故A正确；
选项B：显然关于原点对称，故B正确；
选项C：因为，所以点在上，故C错误；
选项D：易知所围成的图形的面积为，故D正确；
故选：ABD.
11.【详解】对于A，∵，∴异面直线与所成的角等于与所成的角，
∵为正三角形，∴，
则异面直线与所成的角是，故A错误；
对于B，∵，面，面，∴面，
∵，面，面，∴面，
又∵，面，∴面面，
点在平面内，则点到面的距离相等，
三棱锥的体积为，故B正确；

对于C，当为中点时，满足点在平面内且，
∵，，∴，即，故C正确；

对于D，分别取的中点，
三棱锥为正三棱锥，过作面于，
则为正的中心，
∵，∴，，
由，得，
∴，∴，
∵，∴，
∴的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即正的内切圆，
该内切圆与的交点为，
如图，当与重合时，点到平面距离取最小值，
作于，,面,
,,
即点到平面距离的最小值为，故D正确.

故选：BCD.
12．【详解】设直线在轴､轴上的截距均为，
① 若，即直线过原点，设直线方程为，代入，可得，
故直线方程为，即；
② 若，则直线方程为，代入可得，
解得，故直线方程为.
综上所述：所求直线方程为或.
故或.
13．【详解】由题知，两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，
所以，
因为，所以，
所以点到直线的距离为.
故
14．【详解】圆的圆心为，半径为，
因为圆上有四个点到直线的距离为，
所以圆心到直线的距离，
所以，解得．
故．
15．【详解】（1）所在的直线方程为，则直线斜率，
由，得
边所在直线方程为，整理得.
，解得，所以点的坐标为.

（2）设，为中点，则.
，解得，
，则中点为，
，垂直平分线的斜率为，
垂直平分线的方程为，整理得.
16．【详解】（1）证明：因为四边形为平行四边形，所以，
因为平面，且平面，且，所以平面，
因为平面，平面平面，且平面，
所以，又，
所以．
（2）建立如图所示的空间直角坐标系．

由（1）知且，则，
则A0,0,0，，，，，
，所以，，，
，设平面的一个法向量为n1=x1,y1,z1，
则，得，
设平面的一个法向量为，则，得，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17．【详解】（1）设圆的标准方程为，
因为圆经过和点，且圆心在直线上，
所以 ，解得： ，
所以圆的标准方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离为5，等于半径，故满足题意；
当直线的斜率存在时，设，即，
则点到直线的距离为圆的半径，
即，解得，此时.
综上，直线l的方程为或.
18．【详解】（1）由题意可设，且，
则，
所以曲线的方程为.
（2）当，不妨取，满足曲线的方程，
则的方程为，可得，
此时可得，又，故；
当不垂直于时，设，则直线的方程为，

联立，得，
所以，则，
故，
又，
故，
即，所以，
综上所述.
19．【详解】（1）取中点，连接，

因为，是中点，
，
因为，是中点，
-所以，
又，平面，
所以平面，又平面
又，平面
所以平面.
（2）因为为正三角形，所以.
过点作的延长线为轴，以为轴，
过点作的平行线为轴，如图建立空间直角坐标系，

则，，，，，，
，
设平面的法向量为，则
令，得
设与平面所成角为，.
与平面所成角的正弦值为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
D
A
A
B
D
ACD
ABD
题号
11









答案
BCD