2025-2026学年天津市汇文中学高二上学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年天津市汇文中学高二上学期第一次月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知过点P0,-1的直线l的方向向量k→=-1,1，则l的方程为( )
A. x+y-1=0B. x+y+1=0C. x-y-1=0D. x-y+1=0
2.已知M4,3,2是空间直角坐标系Oxyz中的一点，下列点的坐标与点M关于Oxz平面对称的点是( )．
A. -4,3,2B. 4,-3,-2C. -4,3,-2D. 4,-3,2
3.若直线l1:m-1x+y+2=0与直线l2:2x+my+4=0平行，则m的值为( )
A. -1B. -1或2C. 2D. 1
4.已知空间四边形OABC，其对角线为OB,AC，M,N分别是OA,CB的中点，点G在线段MN上，且使MG=2GN，用向量OA→,OB→,OC→表示向量OG→是( )
A. OG→=16OA→+13OB→+13OC→B. OG→=12OA→+23OB→+23OC→
C. OG→=OA→+23OB→+23OC→D. OG→=13OA→+23OB→+23OC→
5.已知空间中点A1,0,0，B0,2,0，C0,0,3，D1,1,λ，若A，B，C，D四点共面，则实数λ的值为( )
A. -23B. -32C. 23D. 32
6.若直线的截距式方程xa+yb=1化为斜截式方程为y=-2x+b，化为一般式方程为bx+ay-8=0a>0，则a-b=( )
A. -2B. 2C. 6D. 8
7.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1,AC1=4,AA1=3，∠A1AB=∠A1AD=π3，则∠BAD=( )
A. π3B. 2π3C. π4D. π2
8.点M是直线2x-y+5=0上的动点，O是坐标原点，则以OM为直径的圆经过定点( )．
A. (0,0)和(-1,1)B. (0,0)和(-2,2)C. (0,0)和(-1,2)D. (0,0)和(-2,1)
9.P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1上底面A1B1C1D1上的一点，则PA⋅PC1的取值范围是( )
A. -12,0B. [-1,0]C. [-2,0]D. -12,-14
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.过直线x+y+1=0和x-2y+4=0的交点，且与直线x+2y-3=0垂直的直线方程是 ．
11.向量a=1,1,-3，b=2,-1,-1，则a在b上的投影向量的坐标为
12.已知点A(-4,-2),B(-4,2),C(-2,2),▵ABC外接圆的方程是
13.已知直线l过点P4,1，若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则直线l的方程是 ．
14.圆C:x2+y2-4x-2y+4=0关于直线y=x+1对称的圆C'的标准方程为 ．
15.在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2，AC=2 2，PB⊥平面ABC，点M，N分别为AC，PB的中点，MN= 6，Q为线段AB上的点，使得异面直线PM与CQ所成的角的余弦值为 3434，则BQBA为 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题15分)
已知a=2,-2,2,a+b=6,-3,2．
(1)求a⋅b的值：
(2)设向量c=4,m,n,c//b-a，求c-a；
(3)若ka+b⊥a-2b，求k的值．
17.(本小题15分)
在▵ABC中，BC边上的高AD所在直线的方程为x-2y+2=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0，点B的坐标为1,3．
(1)求直线BC的方程；
(2)求直线AC的方程及点C的坐标．
18.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，▵PAD为等边三角形，PD⊥AB，AD//BC，AD=4，AB=BC=2，M为PA的中点．
(1)证明：DM⊥平面PAB；
(2)求直线PB与平面MCD所成角的正弦值．
19.(本小题15分)
已知点P(2,0)，圆C的圆心在直线x-y-5=0上且与y轴切于点M(0,-2)，
(1)求圆C的方程；
(2)设点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点N的轨迹方程．
20.(本小题15分)
如图，ABCD是边长为4的正方形，DE⊥平面ABCD，AF//DE，且DE=3AF=3．

(1)求证：BF//平面DEC;
(2)求平面BEC与平面BEF夹角的余弦值；
(3)求点D到平面BEF的距离．
参考答案
1.B
2.D
3.A
4.A
5.B
6.A
7.B
8.D
9.C
10.2x-y+5=0
11.43,-23,-23
12.x2+y2+6x+4=0
13.2x+y-9=0或x-4y=0
14.x2+y-32=1
15.14或0.25
16.解：(1)因为a=2,-2,2,a+b=6,-3,2，所以b=4,-1,0
所以a⋅b=2×4+-2×-1+2×0=10；
(2)b-a=2,1,-2，因为c//b-a，所以∃λ∈R，c=λb-a，
所以4,m,n=λ2,1,-2，所以λ=2，所以c=4,2,-4，
所以c-a=2,4,-6，所以c-a= 4+16+36=2 14．
(3)ka+b=2k+4,-2k-1,2k,a-2b=-6,0,2，
因为ka+b⊥a-2b，所以ka+b⋅a-2b=0，
即-8k-24=0，解得k=-3．

17.(1)解：由BC边上的高AD所在直线的方程为x-2y+2=0，
即AD⊥BC，所以直线BC的斜率k=-2，
因为B的坐标为1,3，所以直线BC的方程为y-3=-2(x-1)，即2x+y-5=0．
(2)解：由直线AD的方程为x-2y+2=0，令y=0，可得x=-2，即A(-2,0)，
因为∠A的平分线所在直线的方程为y=0，所以直线AB与AC关于x轴对称，
又因为B(1,3)关于x轴的对称点为E(1,-3)，所以AC的斜率为kAE=-3-01-(-2)=-1，
所以直线AC的方程为y-0=-1×(x+2)，即x+y+2=0，
联立方程组x+y+2=02x+y-5=0，解得x=7,y=-9，即点C的坐标为(7,-9)．

18.解：(1)设AD中点为O，连接PO，因为▵PAD为等边三角形，故PO⊥AD，
由题意，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，故PO⊥AB，
又PD⊥AB，PO∩PD=P，PO,PD⊂平面PAD，故AB⊥平面PAD，
由DM⊂平面PAD，故AB⊥DM，
又M为PA的中点，▵PAD为等边三角形，则DM⊥PA，
因为AB∩PA=A，AB,PA⊂平面PAB，所以DM⊥平面PAB．
(2)
由(1)知AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，故AB⊥AD，
连接CO，AO=12AD=2，则AO//BC,AO=BC，
即四边形ABCO为平行四边形，故OC//AB，所以OC⊥AD，
故以O为坐标原点，OC,OD,OP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
则P(0,0,2 3),B(2,-2,0),M(0,-1, 3),C(2,0,0),D(0,2,0)，
PB=(2,-2,-2 3),MC=(2,1,- 3),MD=(0,3,- 3)，
设平面MCD的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅MC=2x+y- 3z=0n⋅MD=3y- 3z=0，令y=1，则n=(1,1, 3)，
设直线PB与平面MCD所成角为θ，θ∈[0,π2]，则sinθ=csPB,n=PB⋅nPBn=62 5× 5=35．

19.解：(1)设圆心坐标为C(a,b)，
∵圆C的圆心在直线x-y-5=0上且与y轴切于点M(0,-2)，
∴a-b-5=0b=-2，解得a=3b=-2,
∴圆心C(3,-2)，半径r=MC= (0-3)2+(-2+2)2=3，
故圆C的方程为(x-3)2+(y+2)2=9．
(2)设点N的坐标为(x,y)，点Q的坐标为(x0,y0)，
∵点P(2,0)，又点N为PQ的中点，
∴x=2+x02，y=y02，
∴x0=2x-2y0=2y，即点Q的坐标为(2x-2,2y)，
∵Q在圆C上运动，
∴(2x-2-3)2+(2y+2)2=9，
即(2x-5)2+(2y+2)2=9，
∴点N的轨迹方程为(x-52)2+(y+1)2=94．

20.解：
根据题意可以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则B4,4,0,F4,0,1，
所以BF=0,-4,1，
易知平面DEC的一个法向量为DA=4,0,0，
显然DA⋅BF=0，又BF⊄平面DEC，
所以BF//平面DEC；
(2)由上坐标系可知E0,0,3,C0,4,0，则BE=-4,-4,3,BC=-4,0,0，
设平面BEC与平面BEF的一个法向量分别为m=a,b,c,n=x,y,z，
则有m⋅BE=0m⋅BC=0⇒4a+4b-3c=04a=0,n⋅BE=0n⋅BF=0⇒4x+4y-3z=04y-z=0,
取b=3,y=1，则a=0,c=4,x=2,z=4，即m=0,3,4,n=2,1,4，
设平面BEC与平面BEF的夹角为θ，则csθ=m⋅nm⋅n=195 21=19 21105；
(3)由(2)得平面BEF的一个法向量为n=2,1,4，
又DE=0,0,3，所以点D到平面BEF的距离d=DE⋅nn=12 21=4 217．