宁夏石嘴山市第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷

这是一份宁夏石嘴山市第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：5*8=40
3
3
已知直线 y  kx  3的倾斜角为120∘ ，则实数 k 的值为（）
3
2
​
3
3

已知 AC  (1, 2, 4), BC  (2,1, 3) ，则 AB  （ ）
(1,1,1)
(1, 1, 1)
(3,1,1)
(3, 1, 1)
设直线 l 的一个方向向量为 m  (3, 1, 5) ，平面α的一个法向量为 n  (6, 2, t) ，若l / /α，则t 
（ ）
10
4
4D. 10
在空间中，若三个非零向量OM，ON，OT 满足OM  ON，ON  OT，OT  OM ，则△MNT 的形状一定是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法判断
下列说法正确的是（ ）
→→
若 a  b
→
a  b
，则 →
→
若 a  1,1, 1 ，则 a  1
ABCD  A B C D
––––→ –––→ –––→ –––→

在六面体1 1 1 1 中，一定有 AC1AB AD AA1
在空间直角坐标系O  xyz 中，点 A1,1,1 与点 B 1, 1,1 关于平面 xOz 对称
不论 m, n 为何实数，直线m  n x  m  2n y  3n  0 过定点（）
(1, - 1)
1,1
0, 0
2, 2
空间直角坐标系O  xyz 中，经过点 P  x0 , y0 , z0  ，且法向量为 m  ( A, B, C) 的平面方程为
A x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0 ，经过点 P  x0 , y0 , z0  且一个方向向量为 n  (μ, v,ω)(μvω 0)
的直线l 的方程为 x  x0  y  y0  z  z0 ，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为
μvω
3x  5 y  z  7  0 ，经过(0, 0, 0) 的直线l 的方程为 x  y 
32
z ，则直线l 与平面α所成角的正弦值为
1
（ ）
10
10
10
35
10
5
5
7
在空间直角坐标系中，已知 Aa2 , 2a, 6, B 0, 0,1, C 1,1, 2, D 1, 0, 3 ，
E a2 , 0, 5 ，则当点 A 到平面 BCD的距离最小时，直线 AE 与平直 BCD 所成角的正弦值为（）
2 43
21
14
7
4 35D. 4
357
二、多选题：3*6=18 分
已知直线 l： 3x  y  2  0 ，则下列选项中正确的有（）
3
直线 l 在 y 轴上的截距是 2B. 直线 l 的斜率为
→
C. 直线 l 不经过第三象限D. 直线 l 的一个方向向量为v   3, 3
下列命题中不正确的是（）.
若 A ､ B ､ C ､ D 是空间任意四点，则有 AB  BC  CD  DA  0
→→
若| a || b | ，则a ､ b 的长度相等而方向相同或相反
| a |  | b || a  b |是a ､ b 共线的充分条件
对空间任意一点 P 与不共线的三点 A ､ B ､ C ，若OP  xOA  yOB  zOC ( x，y，z  R )，则 P ､ A ､
B ､ C 四点共面
已知直线l : 3x  y  6  0 与圆C : x2   y 12  5 相交于 A, B 两点，则（）
l 是圆C 的一条对称轴
5
圆C 的半径为
圆心C 到l 的距离为 3 10
10
V ABC 的面积为 5
2
三、填空题：3*5=15 分
若直线l1 : a 1 x  3y 1  0 与l2 : x  ay  4  0 互相垂直，则a  .
已知圆C1 : x  y  4x  4 y 1  0 与圆C : x  y  2x  2 y  7  0 相交于两点 A，B，则 AB 的直
2
2222
线方程为．
已知函数 f  x  2 3sin ωx  πsin  3π ωx   2cs2 π ωx 1(ω 0) ，若 f  x 在区间
 2

0, π  上的值域为1, 2，则ω的取值范围是.
3 
四、解答题：72 分.
3
已知tan α π   2．
6 

求tanα的值；
sin 2π  2α  sin  π α cs  3π α
求
 2 2

的值．

2  cs π  2α  sin2α
圆 M 经过三点： A2, 2 ， B 0, 2 ， C 4, 0 .
求圆 M 的方程.
求圆 M 与圆 N :  x  32  y2  25 的公共弦的长.
一高校承办了某届世乒赛志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了 100 名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组45, 55 ，第二组55, 65 ，第三组65, 75 ，第四组75,85 ，第五组85, 95，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为 0.7，第一组和第五组的频率相同.
求 a，b 的值；
（2）（ⅰ）直接写出这 100 名候选者面试成绩的中位数所在的分组区间；
估计这 100 名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取 5 人，然后再从这 5 人中选出 2 人，确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.
若落在第四组的平均成绩是 80，方差是 20，落在第五组的平均成绩为 90，方差是 5，求这两组成绩
的总平均数 z 和总方差 S 2 .
参考公式： S 2 nS 2   z  x 2  mS 2   z  y 2  其中 z 为总样本平均数.
n  m  x
n  m  y
（1）若函数 y  mx2  6mx  m  8 有且仅有一个零点，求m 的值；
若关于 x 的不等式 mx2  6mx  m  8  0 在R 上恒成立，求m 的取值范围．
已知圆C ：  x  a2  y2  1 与直线 y=−x−1交于 M、N 两点，点 P 为线段 MN 的中点， O 为坐标原 点，直线OP 的斜率为 1 .
3
求 a 的值及△MON 的面积；
若圆 C 与 x 轴交于 A、B 两点，点 Q 是圆 C 上异于 A、B 的任意一点，直线QA 、QB 分别交l ：
x  4 于 R、S 两点.当点 Q 变化时，以 RS 为直径的圆是否过圆 C 内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.
石嘴ft市第一中学 2025-2026 学年第一学期
高二年级月考数学试题
一、单选题：5*8=40
已知直线 y  kx  3的倾斜角为120∘ ，则实数 k 的值为（）
3
2
​
3
3

3
3
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系求解即可.
3
【详解】由题意， k  tan120∘  .
故选：D
已知 AC  (1, 2, 4), BC  (2,1, 3) ，则 AB  （ ）
(1,1,1)
(1, 1, 1)
(3,1,1)
(3, 1, 1)
【答案】C
【解析】
【分析】由向量减法运算即可求解.
【详解】由题意可得 AB  AC  BC  (3,1,1) ．故选：C.
设直线 l 的一个方向向量为 m  (3, 1, 5) ，平面α的一个法向量为 n  (6, 2, t) ，若l / /α，则t 
（ ）
10
4
4D. 10
【答案】B
【解析】
–→ →
【分析】由题意 m  n  0 ，即可列方程求解.
【详解】因为l / /α，所以 m  n ，则 m  n  3(6) 1 2  5t  0 ，解得t  4 ．故选：B.
在空间中，若三个非零向量OM，ON，OT 满足OM  ON，ON  OT，OT  OM ，则△MNT 的形状一定
是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件推出 MN •MT  0 ，得NMT 为锐角．同理可得MNT , MTN 也为锐角．由此可得答案.
【详解】QOM  ON，ON  OT，OT  OM ，
OM •ON =0，ON •OT =0，OT •OM  0 ，

––––→ –––→–––→––––→–––→––––→
 MN·MT  ON  OM · OT  OM
–––→ –––→–––→ ––––→––––→ –––→––––→2
––––→ 2
 ON·OT  ON·OM  OM ·OT  OM  OM 0 ,
cs NMT  MN·MT  0
所以 ––––→ –––→，即知NMT 为锐角．
MN MT
同理可知MNT , MTN 也为锐角．故为锐角三角形．
故选： A ．
下列说法正确的是（ ）
→→
若 a  b
→
a  b
，则 →
→
若 a  1,1, 1 ，则 a  1
ABCD  A B C D
––––→ –––→ –––→ –––→

在六面体1 1 1 1 中，一定有 AC1AB AD AA1
在空间直角坐标系O  xyz 中，点 A1,1,1 与点 B 1, 1,1 关于平面 xOz 对称
【答案】D
【解析】
【分析】对于 A 根据向量的定义即可判断；对于 B 根据向量模的坐标运算即可判断；对于 C 举反例正四棱台即可否定；对于 D 根据 A, B 两点的坐标特征得到两点关于平面 xOz 对称即可判断.
【详解】对于 A，根据向量的定义，向量不能比较大小，故 A 错误；
→→
12 12  12
3
对于 B，由 a  1,1, 1 ，所以 a 

，故 B 错误；
对于 C，当六面体 ABCD  A1B1C1D1 为平行六面体时， AC1  AB  BC  CC1  AB  AD  AA1 成立，当六面体 ABCD  A1B1C1D1 不是平行六面体时，上述结论不一定成立，比如对于正四棱台，上述结论就不成立，故 C 错误；
对于 D，由点 A1,1,1 关于平面 xOz 的对称点为1, 1,1 ，故 D 正确；
故选：D.
不论 m, n 为何实数，直线m  n x  m  2n y  3n  0 过定点（）
(1, - 1)
1,1
0, 0
2, 2
【答案】B
【解析】
【分析】法一：直线方程m  n x  m  2n y  3n  0 可化为 m  x  y   n 2 y  x  3  0 ，解方程组
x  y  0

2 y  x  3  0 即可求解；
法二：直线方程m  n x  m  2n y  3n  0 可化为m  n x 1  m  2n y 1  0 ，解方程组
x 1  0

 y 1  0 即可求解.
【详解】法一：直线方程m  n x  m  2n y  3n  0 可化为 m  x  y   n 2 y  x  3  0 ，
x  y  0

令2 y  x  3  0
，解得x  1 ，即定点坐标为1,1 .
 y  1

法二：直线方程m  n x  m  2n y  3n  0 可化为m  n x 1  m  2n y 1  0 ，
则x 1  0 ，解得x  1 ，即定点坐标为1,1 .


 y 1  0 y  1
故选：B.
空间直角坐标系O  xyz 中，经过点 P  x0 , y0 , z0  ，且法向量为 m  ( A, B, C) 的平面方程为
A x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0 ，经过点 P  x0 , y0 , z0  且一个方向向量为 n  (μ, v,ω)(μvω 0)
的直线l 的方程为 x  x0  y  y0  z  z0 ，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为
μvω
3x  5 y  z  7  0 ，经过(0, 0, 0) 的直线l 的方程为 x  y 
32
z ，则直线l 与平面α所成角的正弦值为
1
（ ）
10
10
10
35
10
5
5
7
【答案】B
【解析】
【分析】根据题设给出的材料可得平面的法向量和直线的方向向量，利用公式可求直线l 与平面α所成角的正弦值.
n
【详解】因为平面α的方程为3x  5 y  z  7  0 ，故其法向量为 →  3, 5,1 ，
因为直线l 的方程为
x  y  z
，故其方向向量为 m  3, 2, 1 ，
→
321
α
→ →
9 10 1
35  14
10

→ →n m2
故直线l 与平面
所成角的正弦值为 cs n, m  →→
n  m
.
7 10
35
故选：B.
在空间直角坐标系中，已知 Aa2 , 2a, 6, B 0, 0,1, C 1,1, 2, D 1, 0, 3 ，
E a2 , 0, 5 ，则当点 A 到平面 BCD 的距离最小时，直线 AE 与平直 BCD 所成角的正弦值为（）
2 43
21
14
7
4 35D. 4
357
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量求点面距离及线面夹角即可.
【详解】依题意可得 DA  a2 1, 2a, 3， BC  (1,1,1) ， BD  1,0,2 .
设 n   x,y,z  是平面 BCD 的法向量，
→ –––→
则n  BC  0 ，即x  y  z  0 ，令 x  2 ，则 z  1, y  3 得 n  2,  3,1 .
→ –––→
x  2z  0
n  BD  0
–––→ →
3 21
14
2a2  6a  5
所以点 A 到平面 BCD 的距离
DA  n
2  a  2   2 ，
14
d  →  
n
当 a  3 时，d 取得最小值，此时 AE  0,  3, 1 ，
2–––→ →
4 35
AE  n8
10  14
所以直线 AE 与平面 BCD 所成角的正弦值为 → 
.
AE n35
故选：C
二、多选题：3*6=18 分
已知直线 l： 3x  y  2  0 ，则下列选项中正确的有（）
3
直线 l 在 y 轴上的截距是 2B. 直线 l 的斜率为
→
直线 l 不经过第三象限D. 直线 l 的一个方向向量为v   3, 3
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据直线的截距，斜率，方向向量等特征直接判断.
【详解】对于 A，直线方程可变为 y   3x  2 ，截距是 2，故 A 正确；
3
对于 B，斜率 k   A  ，故 B 错误；
B
对于 C，由直线方程 y   3x  2 可知，故直线 l 不经过第三象限，故 C 正确；
→
对于 D，该直线的一个方向向量为1, 
3 ，与v  
3, 3平行，故 D 正确；
故选：ACD
下列命题中不正确的是（）.
若 A ､ B ､ C ､ D 是空间任意四点，则有 AB  BC  CD  DA  0
→→
若| a || b | ，则a ､ b 的长度相等而方向相同或相反
| a |  | b || a  b |是a ､ b 共线的充分条件
对空间任意一点 P 与不共线的三点 A ､ B ､ C ，若OP  xOA  yOB  zOC ( x，y，z  R )，则 P ､ A ､
B ､ C 四点共面
【答案】ABD
【解析】
【分析】本题考查向量的概念与性质，需按个选项分析，A 选项考察向量加法的意义，B 选项考察向量的模的性质，C 选项可以两边平方计算，D 选项考察四点共面的性质.
【详解】A 选项， AB  BC  CD  DA  0 而不是0 ，故 A 错，
→→
B 选项， | a || b | 仅表示a 与b 的模相等，与方向无关，故 B 错，
v 2v
2v2v2
C 选项， | a |  | b || a  b |  a | 2 a  b  b |  a  2a  b  b ，
vvvv
即 2 a  b  2a  b  2 a  b cs a，b ，
v
即cs a，b  1， a 与b 方向相反，故 C 对，
D 选项，空间任意一个向量OP 都可以用不共面的三个向量OA ､ OB ､ OC 表示，
∴ P ､ A ､ B ､ C 四点不一定共面，故 D 错，故选 ABD.
已知直线l : 3x  y  6  0 与圆C : x2   y 12  5 相交于 A, B 两点，则（）
l 是圆C 的一条对称轴
5
圆C 的半径为
圆心C 到l 的距离为 3 10
10
V ABC 的面积为 5
2
【答案】BD
【解析】
【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，知 A、B 正误；利用点到直线距离公式和垂径定理可求得 C、D 正误.
5
【详解】对于 AB，由圆C 方程知：圆心C 0,1 ，半径 r ，B 正确；
直线l : 3x  y  6  0 不过圆心C 0,1 ，l 不是圆C 的对称轴，A 错误；
10
1 6
10
对于 C，圆心C 到直线l 的距离 d ，C 错误；
2
r 2  d 2
对于 D，Q AB  2
 2

， S
V ABC

AB  d  5 ，D 正确.
1
2
2
5  5
2
10
故选：BD.
三、填空题：3*5=15 分
若直线l1 : a 1 x  3y 1  0 与l2 : x  ay  4  0 互相垂直，则a  .
2
【答案】 1 ## 0.5
【解析】
【分析】根据垂直关系列出方程，求解即可.
【详解】由题意得a 1  3a  0 ，解得 a  1 .
2
故答案为： 1
2
已知圆C1
: x2  y2  4x  4 y 1  0 与圆C
2
: x2  y2  2x  2 y  7  0 相交于两点 A，B，则 AB 的直
线方程为．
【答案】 x  y 1  0
【解析】
【分析】两圆方程相减后可得公共弦的方程.
【详解】由题设可得 AB 的方程为： x2  y2  4x  4 y 1 x2  y2  2x  2 y  7  0 ，整理得： x  y 1  0 ，
故答案为： x  y 1  0
已知函数 f  x  2 3sin ωx  πsin  3π ωx   2cs2 π ωx 1(ω 0) ，若 f  x 在区间
 2

0, π  上的值域为1, 2，则ω的取值范围是.
3 
【答案】  1 ,1
 2
【解析】
【分析】先通过三角恒等变换化简函数，然后利用 x  0, π  可得2ωx  π   π ,ω2π  π  ，再由三角
3 
6 636 
函数图像性质可得 π  ω2π  π  5π ，解不等式即可求得ω的取值范围.
2366
【详解】 f  x  2 3sin ωx csωx  2cs2ωx 1 3sin2ωx  cs 2ωx
 2 sin  2ωx  π  ，因为 x  0, π  ，可得2ωx  π   π ,ω2π  π  ，

6 
3 
6 636 
显然当 x  0 时，可得2 sin π  1，由 f  x 的值域为1, 2，
6
利用三角函数图像性质可得 π  ω2π  π  5π ，解得 1  ω 1，即ω的取值范围是  1 ,1 .
故答案为：  1 ,1

23662
 2
 2
四、解答题：72 分.
3
已知tan α π   2．
6 

求tanα的值；
sin 2π  2α  sin  π α cs  3π α
求
 2 2

的值．

2  cs π  2α  sin2α
5 3
9
【答案】（1） tanα
（2）  45 3
131
【解析】
【分析】（1）利用两角和的正切公式求得 tanα.
（2）结合同角三角函数的基本关系式、诱导公式、二倍角公式求得正确答案.
【小问 1 详解】
3
Qtan α π   2，
6 

tanα tan πtanα3
3
 6  3  2
1 tanαtan π
1 3 tanα
63
5 3
9
解得tanα．
【小问 2 详解】
sin 2π  2α  sin  π α cs  3π α
 2 2
sin2α csα sinα
 
2  cs π  2α  sin2α
2  cs2α sin2α
2sinαcsα sinαcsα
2sin2α 2cs2α cs2α sin2α sin2α
3sinαcsα 
3cs2α 2sin2α
3tanα
3  2tan2α
  45 3 .
131
圆 M 经过三点： A2, 2 ， B 0, 2 ， C 4, 0 .
求圆 M 的方程.
求圆 M 与圆 N :  x  32  y2  25 的公共弦的长.
5
【答案】（1） x2  y2  2x  2 y  8  0 ；（2） 2.
【解析】
【分析】
设圆为 M ： x2  y2  Dx  Ey  F  0 ，代入点坐标求出 D, E, F ，即可求出圆 M 的方程.；（2）
x2  y2  2x  2 y  8  0
联立

(x  3)2  y2  25
，求出交点坐标，即可求出公共弦的长.
【详解】（1）设圆为 M ： x2  y2  Dx  Ey  F  0 ，代入 A2, 2 ， B 0, 2 ， C 4, 0 ，
8  2D  2E  F  0
有4  2E  F  0
D  2
 E  2 ，



16  4D  F  0F  8
∴圆 M 的方程为 x2  y2  2x  2 y  8  0 .
x2  y2  2x  2 y  8  0
联立

，
(x  3)2  y2  25
x2  y2  2x  2 y  8  0
即，
x2  y2  6x 16  0
解得：交点为0, 4 ， 2, 0 ，
22  42
故弦长
 2.
20
5
一高校承办了某届世乒赛志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了 100 名候选者的面试成绩，并分成五
组：第一组45, 55 ，第二组55, 65 ，第三组65, 75 ，第四组75,85 ，第五组85, 95，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为 0.7，第一组和第五组的频率相同.
求 a，b 的值；
（2）（ⅰ）直接写出这 100 名候选者面试成绩的中位数所在的分组区间；
估计这 100 名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取 5 人，然后再从这 5 人中选出 2 人，确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.
若落在第四组的平均成绩是 80，方差是 20，落在第五组的平均成绩为 90，方差是 5，求这两组成绩
的总平均数 z 和总方差 S 2 .
参考公式： S 2 nS 2   z  x 2  mS 2   z  y 2  其中 z 为总样本平均数.
n  m  x
n  m  y
【答案】（1） a  0.005, b  0.025
65, 75 ； 69.5 ； 2
5
82;33
【解析】
【分析】（1）根据第三、四、五组的频率之和为0.7 列方程可解 a ，再根据第一、二组的频率之和为0.3 列方程可解b ；
（2）（ⅰ）根据频率分布直方图，得位于区间45, 65 的频率和位于区间45, 75 的频率，即可判断中位数所
在的分组区间；
根据频率分布直方图得频率，再利用加权平均数公式计算即可；
根据频率确定比例，可得第四组志愿者人数为 4，第五组志愿者人数为 1，利用古典概型计算概率即可；
（3）根据总样本平均数和总方差公式即可求解.
【小问 1 详解】

由题意有0.045  0.02  a10  0.7  a  0.005 ，

a  b10  1 0.7
所以 a  0.005, b  0.025 ；
b  0.025
【小问 2 详解】
（ⅰ）因为位于区间45, 65 的频率为0.005  0.02510  0.3 ，位于区间45, 75 的频率为0.005  0.025  0.04510  0.75 ，所以中位数所在的分组区间为65, 75 ；
（ⅱ）平均数为50  0.05  60  0.25  70  0.45  80  0.2  90  0.05  69.5 ；
（ⅲ）在第四、第五两组志愿者分别有 20 人，5 人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为 4，分别设为 a,b,c, d ，第五组志愿者人数为 1，设为e ．考虑从这 5 人中选出 2 人的试验，其样本空间可记为
Ω  a, b, a, ca, d , a, e, b, cb, d , b, e, c, d , c, ed , e 共 10 种情况；
记事件为“选出的两人来自不同组”，则 A  a, e, b, e, c, e, d , e 共 4 种情况，
所以 P  A  4  2 ；
105
【小问 3 详解】
由题意有：第四、第五两组志愿者分别有 20 人，5 人，
所以 z 20 80 5 90  82 ，
20  520  5
S 2 
20

20  5
 20  82  802  
5
20  5
 5  82  902   33 .

（1）若函数 y  mx2  6mx  m  8 有且仅有一个零点，求m 的值；
（2）若关于 x 的不等式 mx2  6mx  m  8  0 在R 上恒成立，求m 的取值范围．
【答案】（1） m  1；（2） 0  m 1．
【解析】
【分析】（1）讨论 m  0 不成立，当 m  0 时令  0 求解即可；（2）根据恒成立确定最高次项系数和
Δ，解不等式组即可.
【详解】解：（1）当 m  0 时， y  8 无零点；
当 m  0 时， y  mx2  6mx  m  8 有且仅有一个零点，则36m2  4m m  8  0 ，即： m2  m  0 ，解得： m  1或 m  0 （舍），所以 m  1.
（2）当 m  0 ， 8  0 恒成立，所以 m  0 成立；
m  0

当 m  0 时， 36m2  4m m  8  0 ，解得： 0  m  1 .
故0  m  1 .
已知圆C ：  x  a2  y2  1 与直线 y=−x−1交于 M、N 两点，点 P 为线段 MN 的中点， O 为坐标原 点，直线OP 的斜率为 1 .
3
求 a 的值及△MON 的面积；
若圆 C 与 x 轴交于 A、B 两点，点 Q 是圆 C 上异于 A、B 的任意一点，直线QA 、QB 分别交l ：
x  4 于 R、S 两点.当点 Q 变化时，以 RS 为直径的圆是否过圆 C 内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.
【答案】（1） a  2 ， S 1
VMON2
（2）过定点， 4  3, 0
【解析】
【分析】（1） 先确定直线的方程，联立直线方程求得点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得；根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可；
（2）设直线QA 方程，含参表示直线QB 方程，求出 R, S 坐标，从而求出以 RS 为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可.
【小问 1 详解】
由题意可知直线OP 的方程为 y   1 x ，
3
则联立 y=−x−1与 y   1 x 可求出 P 点坐标为  3 , 1  ，
32 2 

又因点 P 为线段 MN 的中点，所以可得 MN  PC ，
1  0
即 KMN · PC  1  1 2 ，所以可得 a  2 ，
 3  a
2
2
2
由 a  2 可知圆心C 2, 0 ，所以C 2, 0 到直线 y=−x−1的距离 d  1  ，
2
1 
2 
2
 2 

2
又因圆C 半径为1，根据勾股定理可求得 MP ，
1 
2 
2
 2 

2
2
所以线段 MN
 2
，
2
又因原点O 到直线 y=−x−1距离为 d12 ，所以线段 MN 上的高为 2 ，
所以 S
 1  d
 MN
 1 
122
2
2  1
VMON21
222
【小问 2 详解】
由圆C 与 x 轴交于 A, B 两点，得 A3, 0, B 1, 0 ，不妨设直线QA 的方程为 y  k  x  3 ，其中 k  0 ，在直线QA 的方程中，令 x  4 ，可得 R 4, k  ，
因为QA  QB ，则直线QB 的方程为 y   1  x 1 ，
k
在直线QB 的方程中，令 x  4 ，可得 y  3 ，即点 S  4, 3  ，
kk 
3  k 2 

 3  k 2 2
则线段 RS 的中点为 F  4, 2k ，圆的半径平方为2k ，

所以以线段 RS 为直径的圆的方程为 x  42
  y 
3  k 2 2

 3  k 2 2
  ，

2k
2k
 x  42  3  0
3
223  k 2
y  0
x  4 
即 x  4  y 
k
y  3  0 ，由

 3  x  1
，解得

，
y  0
因此当点Q 变化时，以 RS 为直径的圆恒过圆内的定点4  3，0.
【点睛】解题的关键是设直线QA 的方程为 y  k  x  3 ，则直线QB 的方程为 y   1  x 1 ，由 k 表示
k
3  k 2 
 3  k 2 2
的 RS 中点为 F  4, 2k ，圆的半径平方为2k ，得以线段 RS 为直径的圆的方程

 x  42
  y 
3  k 2 2

 3  k 2 2
 
，可得以线段 RS 为直径的圆过圆C 内的一定点.

2k
2k