2025年湖北省武汉市硚口区中考数学四模试卷含解析

这是一份2025年湖北省武汉市硚口区中考数学四模试卷含解析，共8页。试卷主要包含了化简-3227的结果是等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，取一张长为、宽为的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边应满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
2．分式方程=1的解为（ ）
A．x=1B．x=0C．x=﹣D．x=﹣1
3．下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在正三角形ABC中，D,E,F分别是BC,AC,AB上的点，DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于（ ）
A．1∶3B．2∶3C．∶2D．∶3
7．已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ）
A．图象经过点（﹣2，1）B．图象在第二、四象限
C．当x＜0时，y随着x的增大而增大D．当x＞﹣1时，y＞2
8．化简-3227的结果是（ ）
A．﹣23 B．﹣23 C．﹣63 D．﹣2
9．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值应是（ ）
A．110B．158C．168D．178
10．据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．25和30B．25和29C．28和30D．28和29
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为_____．
12．如果当a≠0，b≠0，且a≠b时，将直线y=ax+b和直线y=bx+a称为一对“对偶直线”，把它们的公共点称为该对“对偶直线”的“对偶点”，那么请写出“对偶点”为(1，4)的一对“对偶直线”：______．
13．函数的自变量x的取值范围是_____．
14．分解因式：x2﹣1=____．
15．如图，为的直径，与相切于点，弦．若，则______.
16．用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，则第n个图案中正三角形的个数为 （用含n的代数式表示）．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）如图1，点P是平面直角坐标系中第二象限内的一点，过点P作PA⊥y轴于点A，点P绕点A顺时针旋转60°得到点P'，我们称点P'是点P的“旋转对应点”．
（1）若点P（﹣4，2），则点P的“旋转对应点”P'的坐标为 ；若点P的“旋转对应点”P'的坐标为（﹣5，16）则点P的坐标为 ；若点P（a，b），则点P的“旋转对应点”P'的坐标为 ；
（2）如图2，点Q是线段AP'上的一点（不与A、P'重合），点Q的“旋转对应点”是点Q'，连接PP'、QQ'，求证：PP'∥QQ'；
（3）点P与它的“旋转对应点”P'的连线所在的直线经过点（，6），求直线PP'与x轴的交点坐标．
18．（8分）先化简，再求值：先化简÷(﹣x+1)，然后从﹣2＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
19．（8分）已知a2+2a=9，求的值．
20．（8分）佳佳向探究一元三次方程x3+2x2﹣x﹣2=0的解的情况，根据以往的学习经验，他想到了方程与函数的关系，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b（k≠0）的解，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解，如：二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），交点的横坐标﹣1和3即为x2﹣2x﹣3=0的解．
根据以上方程与函数的关系，如果我们直到函数y=x3+2x2﹣x﹣2的图象与x轴交点的横坐标，即可知方程x3+2x2﹣x﹣2=0的解．
佳佳为了解函数y=x3+2x2﹣x﹣2的图象，通过描点法画出函数的图象．
（1）直接写出m的值，并画出函数图象；
（2）根据表格和图象可知，方程的解有 个，分别为 ；
（3）借助函数的图象，直接写出不等式x3+2x2＞x+2的解集．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中∠ABC=90°，AC的垂直平分线交BC于D点，交AC于E点，OC=OD．
（1）若，DC=4，求AB的长；
（2）连接BE，若BE是△DEC的外接圆的切线，求∠C的度数．
22．（10分）如图，已知反比例函数y=（x＞0）的图象与一次函数y=﹣x+4的图象交于A和B（6，n）两点．求k和n的值；若点C（x，y）也在反比例函数y=（x＞0）的图象上，求当2≤x≤6时，函数值y的取值范围．
23．（12分）根据函数学习中积累的知识与经验，李老师要求学生探究函数y=+1的图象．同学们通过列表、描点、画图象，发现它的图象特征，请你补充完整．
（1）函数y=+1的图象可以由我们熟悉的函数 的图象向上平移 个单位得到；
（2）函数y=+1的图象与x轴、y轴交点的情况是： ；
（3）请你构造一个函数，使其图象与x轴的交点为（2，0），且与y轴无交点，这个函数表达式可以是 ．
24．某通讯公司推出了A，B两种上宽带网的收费方式（详情见下表）
设月上网时间为x h（x为非负整数），请根据表中提供的信息回答下列问题
（1）设方案A的收费金额为y1元，方案B的收费金额为y2元，分别写出y1，y2关于x的函数关系式；
（2）当35＜x＜50时，选取哪种方式能节省上网费，请说明理由
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、B
【解析】
由题图可知：得对折两次后得到的小长方形纸片的长为，宽为，然后根据相似多边形的定义，列出比例式即可求出结论．
【详解】
解：由题图可知：得对折两次后得到的小长方形纸片的长为，宽为，
∵小长方形与原长方形相似，
故选B．
此题考查的是相似三角形的性质，根据相似三角形的定义列比例式是解决此题的关键．
2、C
【解析】
首先找出分式的最简公分母，进而去分母，再解分式方程即可．
【详解】
解：去分母得：
x2-x-1=（x+1）2，
整理得：-3x-2=0，
解得：x=-，
检验：当x=-时，（x+1）2≠0，
故x=-是原方程的根．
故选C．
此题主要考查了解分式方程的解法，正确掌握解题方法是解题关键．
3、D
【解析】
利用同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及完全平方公式即可判断．
【详解】
A、，该选项错误；
B、，该选项错误；
C、，该选项错误；
D、，该选项正确；
故选：D．
本题考查了同底数幂的乘法、除法法则，幂的乘方法则以及完全平方公式，正确理解法则是关键．
4、D
【解析】
两个同心圆被均分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，由此计算出黑色区域的面积，利用几何概率的计算方法解答即可．
【详解】
因为两个同心圆等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中黑色区域的面积占了其中的四等份，
所以P(飞镖落在黑色区域)==.
故答案选：D.
本题考查了几何概率，解题的关键是熟练的掌握几何概率的相关知识点.
5、A
【解析】
已知AB∥CD∥EF，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．
【详解】
∵AB∥CD∥EF，
∴．
故选A．
本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．
6、A
【解析】
∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，
∴∠C+∠EDC=90°，∠FDE+∠EDC=90°，
∴∠C=∠FDE，
同理可得：∠B=∠DFE，∠A=DEF，
∴△DEF∽△CAB，
∴△DEF与△ABC的面积之比= ，
又∵△ABC为正三角形，
∴∠B=∠C=∠A=60°
∴△EFD是等边三角形，
∴EF=DE=DF，
又∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，
∴△AEF≌△CDE≌△BFD，
∴BF=AE=CD，AF=BD=EC，
在Rt△DEC中，
DE=DC×sin∠C=DC，EC=cs∠C×DC=DC，
又∵DC+BD=BC=AC=DC，
∴，
∴△DEF与△ABC的面积之比等于：
故选A．
点晴：本题主要通过证出两个三角形是相似三角形，再利用相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于对应边之比的平方，进而将求面积比的问题转化为求边之比的问题，并通过含30度角的直角三角形三边间的关系（锐角三角形函数）即可得出对应边之比，进而得到面积比．
7、D
【解析】
A选项：把（-2，1）代入解析式得：左边=右边，故本选项正确；
B选项：因为-2＜0，图象在第二、四象限，故本选项正确；
C选项：当x＜0，且k＜0，y随x的增大而增大，故本选项正确；
D选项：当x＞0时，y＜0，故本选项错误．
故选D．
8、C
【解析】
试题解析：原式=-32×2727=-63．
故选C.
考点：二次根式的乘除法．
9、B
【解析】
根据排列规律，10下面的数是12，10右面的数是14，
∵8=2×4−0，22=4×6−2，44=6×8−4，
∴m=12×14−10=158.
故选C.
10、D
【解析】
【分析】根据中位数和众数的定义进行求解即可得答案.
【详解】对这组数据重新排列顺序得，25，26，27，28，29，29，30，
处于最中间是数是28，
∴这组数据的中位数是28，
在这组数据中，29出现的次数最多，
∴这组数据的众数是29，
故选D．
【点睛】本题考查了中位数和众数的概念，熟练掌握众数和中位数的概念是解题的关键.一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，一组数据按从小到大（或从大到小）排序后，位于最中间的数（或中间两数的平均数）是这组数据的中位数.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、60°
【解析】
解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠CBD=30°，
∴∠D=60°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠A=∠D=60°（同弧所对的圆周角相等）；
故答案是：60°
12、
【解析】
把（1,4）代入两函数表达式可得：a+b=4,再根据“对偶直线”的定义，即可确定a、b的值.
【详解】
把（1,4）代入得：a+b=4
又因为，，且，
所以当a=1是b=3
所以“对偶点”为（1,4）的一对“对偶直线”可以是：
故答案为
此题为新定义题型，关键是理解新定义，并按照新定义的要求解答.
13、x≠1
【解析】
根据分母不等于2列式计算即可得解．
【详解】
由题意得，x-1≠2，
解得x≠1．
故答案为x≠1．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为2．
14、（x+1）（x﹣1）．
【解析】
试题解析：x2﹣1=（x+1）（x﹣1）．
考点：因式分解﹣运用公式法．
15、1
【解析】
利用切线的性质得，利用直角三角形两锐角互余可得，再根据平行线的性质得到，，然后根据等腰三角形的性质求出的度数即可．
【详解】
∵与相切于点，
∴AC⊥AB，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为1．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
16、4n+1
【解析】
分析可知规律是每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个．
【详解】
解：第一个图案正三角形个数为6=1+4；
第二个图案正三角形个数为1+4+4=1+1×4；
第三个图案正三角形个数为1+1×4+4=1+3×4；
…；
第n个图案正三角形个数为1+（n﹣1）×4+4=1+4n=4n+1．
故答案为4n+1．
考点：规律型：图形的变化类．
三、解答题（共8题，共72分）
17、（1）（﹣2，2+2），（﹣10，16﹣5），（，b﹣a）；（2）见解析；（3）直线PP'与x轴的交点坐标（﹣，0）
【解析】
（1）①当P（-4，2）时，OA=2，PA=4，由旋转知，∠P'AH=30°，进而P'H=P'A=2，AH=P'H=2，即可得出结论；
②当P'（-5，16）时，确定出P'A=10，AH=5，由旋转知，PA=PA'=10，OA=OH-AH=16-5，即可得出结论；
③当P（a，b）时，同①的方法得，即可得出结论；
（2）先判断出∠BQQ'=60°，进而得出∠PAP'=∠PP'A=60°，即可得出∠P'QQ'=∠PAP'=60°，即可得出结论；
（3）先确定出yPP'=x+3，即可得出结论．
【详解】
解:（1）如图1，
①当P（﹣4，2）时，
∵PA⊥y轴，
∴∠PAH=90°，OA=2，PA=4，
由旋转知，P'A=4，∠PAP'=60°，
∴∠P'AH=30°，
在Rt△P'AH中，P'H=P'A=2，
∴AH=P'H=2，
∴OH=OA+AH=2+2，
∴P'（﹣2，2+2），
②当P'（﹣5，16）时，
在Rt△P'AH中，∠P'AH=30°，P'H=5，
∴P'A=10，AH=5，
由旋转知，PA=PA'=10，OA=OH﹣AH=16﹣5，
∴P（﹣10，16﹣5），
③当P（a，b）时，同①的方法得，P'（，b﹣a），
故答案为：（﹣2，2+2），（﹣10，16﹣5），（，b﹣a）；
（2）如图2，过点Q作QB⊥y轴于B，
∴∠BQQ'=60°，
由题意知，△PAP'是等边三角形，
∴∠PAP'=∠PP'A=60°，
∵QB⊥y轴，PA⊥y轴，
∴QB∥PA，
∴∠P'QQ'=∠PAP'=60°，
∴∠P'QQ'=60°=∠PP'A，
∴PP'∥QQ'；
（3）设yPP'=kx+b'，
由题意知，k=，
∵直线经过点（，6），
∴b'=3，
∴yPP'=x+3，
令y=0，
∴x=﹣，
∴直线PP'与x轴的交点坐标（﹣，0）．
此题是几何变换综合题，主要考查了含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，待定系数法，解本题的关键是理解新定义．
18、﹣，﹣．
【解析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后在－2＜ x＜中选取一个使得原分式有意义的整数值代入化简后的式子即可求出最后答案，值得注意的是，本题答案不唯一，x的值可以取－2、2中的任意一个.
【详解】
原式＝＝＝＝，∵－2＜ x＜（x为整数）且分式要有意义，所以x＋1≠0，x－1≠0，x≠0，即x≠－1,1,0，因此可以选取x＝2时，此时原式＝－.
本题主要考查了求代数式的值，解本题的要点在于在化解过程中，求得x的取值范围，从而再选取x＝2得到答案.
19、，．
【解析】
试题分析：原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
试题解析：
= = =，
∵a2+2a=9，
∴（a+1）2=1．
∴原式=．
20、（1）2；（2）3，﹣2，或﹣1或1．（3）﹣2＜x＜﹣1或x＞1．
【解析】
试题分析：（1）求出x=﹣1时的函数值即可解决问题；利用描点法画出图象即可；
（2）利用图象以及表格即可解决问题；
（3）不等式x3+2x2＞x+2的解集，即为函数y=x3+2x2﹣x﹣2的函数值大于2的自变量的取值范围，观察图象即可解决问题.
试题解析：（1）由题意m=﹣1+2+1﹣2=2．
函数图象如图所示．
（2）根据表格和图象可知，方程的解有3个，分别为﹣2，或﹣1或1．
（3）不等式x3+2x2＞x+2的解集，即为函数y=x3+2x2﹣x﹣2的函数值大于2的自变量的取值范围．
观察图象可知，﹣2＜x＜﹣1或x＞1．
21、（1）；（2）30°
【解析】
（1）由于DE垂直平分AC，那么AE=EC，∠DEC=90°，而∠ABC=∠DEC=90°，∠C=∠C，易证，△ABC∽△DEC，∠A=∠CDE，于是sin∠CDE=sinA＝，AB：AC=DE：DC，而DC=4，易求EC，利用勾股定理可求DE，易知AC=6，利用相似三角形中的比例线段可求AB；
（2）连接OE，由于∠DEC=90°，那么∠EDC+∠C=90°，又BE是切线，那么∠BEO=90°，于是∠EOB+∠EBC=90°，而BE是直角三角形斜边上的中线，那么BE=CE，于是∠EBC=∠C，从而有∠EOB=∠EDC，又OE=OD，易证△DEO是等边三角形，那么∠EDC=60°，从而可求∠C．
【详解】
解：（1）∵AC的垂直平分线交BC于D点，交AC于E点，
∴∠DEC=90°，AE=EC，
∵∠ABC=90°，∠C=∠C，
∴∠A=∠CDE，△ABC∽△DEC，
∴sin∠CDE=，AB：AC=DE：DC，
∵DC=4，
∴ED=3，
∴DE=，
∴AC=6，
∴AB：6=：4，
∴AB=；
（2）连接OE，
∵∠DEC=90°，
∴∠EDC+∠C=90°，
∵BE是⊙O的切线，
∴∠BEO=90°，
∴∠EOB+∠EBC=90°，
∵E是AC的中点，∠ABC=90°，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠C，
∴∠EOB=∠EDC，
又∵OE=OD，
∴△DOE是等边三角形，
∴∠EDC=60°，
∴∠C=30°．
考查了切线的性质、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质．解题的关键是连接OE，构造直角三角形．
22、（1）n=1，k=1．（2）当2≤x≤1时，1≤y≤2．
【解析】
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出n值，进而可得出点B的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；
（2）由k=1＞0结合反比例函数的性质，即可求出：当2≤x≤1时，1≤y≤2．
【详解】（1）当x=1时，n=﹣×1+4=1，
∴点B的坐标为（1，1）．
∵反比例函数y=过点B（1，1），
∴k=1×1=1；
（2）∵k=1＞0，
∴当x＞0时，y随x值增大而减小，
∴当2≤x≤1时，1≤y≤2．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的性质，用到了点在函数图象上，则点的坐标就适合所在函数图象的函数解析式，待定系数法等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.
23、（1），1；（2）与x轴交于（﹣1，0），与y轴没交点；（3）答案不唯一，如：y=﹣+1.
【解析】
（1）根据函数图象的平移规律，可得答案；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）根据点的坐标满足函数解析式，可得答案．
【详解】
（1）函数的图象可以由我们熟悉的函数的图象向上平移1个单位得到，
故答案为：，1；
（2）函数的图象与x轴、y轴交点的情况是：与x轴交于（﹣1，0），与y轴没交点，
故答案为：与x轴交于（﹣1，0），与y轴没交点；
（3）请你构造一个函数，使其图象与x轴的交点为（2，0），且与y轴无交点，这个函数表达式可以是：y=﹣+1， 答案不唯一，
故答案为：y=﹣+1．
本题考查了函数图像的平移变换，函数自变量的取值范围，函数图象与坐标轴的交点等知识，利用函数图象的平移规律是解题关键．
24、（1），；（2）当35＜x＜1时，选择B方式能节省上网费，见解析.
【解析】
（1）根据两种方式的收费标准，进行分类讨论即可求解；
（2）当35＜x＜1时，计算出y1-y2的值，即可得出答案．
【详解】
解：（1）由题意得：；
即；
；
即；
（2）选择B方式能节省上网费
当35＜x＜1时，有y1＝3x－45，y2＝1．
:y1-y2=3x－45－1＝3x－2．记y＝3x-2
因为3＞4，有y随x的增大而增大
当x＝35时，y＝3．
所以当35＜x＜1时，有y＞3，即y＞4．
所以当35＜x＜1时，选择B方式能节省上网费
此题考查了一次函数的应用，注意根据图表得出解题需要的信息，难度一般，正确理解收费标准求出函数解析式是解题的关键．
x
…
﹣3
﹣
﹣2
﹣
﹣1
﹣
0
1
2
…
y
…
﹣8
﹣
0
m
﹣
﹣2
﹣
0
12
…