四川省绵阳南山中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

南山中学2023年秋季2022级10月月考数学试题

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 直线的倾斜角为（　 ）

A.  B.  C.  D. 不存在

【答案】C

【解析】

【分析】根据直线的特征结合倾斜角的定义分析求解.

【详解】因为直线与x轴垂直，所以直线的倾斜角为.

故选：C.

2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为点B，则点B的坐标是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据对称即可求解.

【详解】点关于平面的对称点为点B,

故选：B

3. 直线在x轴上的截距是（　）

A.  B.

C.  D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】根据截距的定义分析求解.

【详解】令，则，解得，

所以直线在x轴上的截距是.

故选：C.

4. 已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求，再由投影向量的定义，结合数量积的坐标运算，模的坐标运算公式求解.

【详解】因为，，，

所以，

所以，，

，

所以向量在上的投影向量是，

所以向量在上的投影向量的坐标是，

故选：D.

5. 在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】讨论和，三种情况，判断得到答案.

【详解】直线经过原点．直线的斜率为1，在轴上的截距为．

当，则，只有A符合.

当，则，没有选项满足

当，则，没有选项满足.

故答案选A．

【点睛】本题考查了一次函数的图像问题，讨论法是一个常规方法，需要熟练掌握.

6. 如图与所在平面垂直，且，，则平面ABD与平面CBD的夹角的余弦值为 （    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据线面角的定义，作出平面ABD与平面CBD所成角的平面角，解三角形求出相关线段的长，即可求得答案.

【详解】由题意知平面平面，

作交CB的延长线于O，作于E，连接，

与所在平面垂直，且平面平面，

平面，，故平面，

平面，故，；

平面，故平面，

平面，故，

而平面，平面，则即为平面ABD与平面CBD的夹角，

设，而，

故，，，

在中，，

所以，

故选：D

7. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（     ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据直线斜率范围求倾斜角的取值范围.

【详解】由得直线的斜率为，

因为，故，

因为，
 

所以直线的倾斜角的取值范围.

故选：A

8. 已知正方体的棱长为2，点P为线段上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出一个与都垂直的向量的坐标，根据空间距离的向量求法即可求得答案.

【详解】以A为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，

则，

故，

设，

则；

设为与都垂直的向量，

则，令，则，

因为由题意点P到直线的距离的最小值可认为是异面直线和的之间的长度，

故点P到直线距离的最小值为，

故选：A

二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9. 已知平面，其中点，法向量，则下列各点在平面内的是（     ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】设，根据题意，列出方程，得到，逐个选项代入验证，可得答案.

【详解】设，可得，由，得到

，整理得，，分别代入各个选项，可得A与C选项符合题意.

故选：AC

10. 已知直线：，：，下列命题中正确的是（    ）

A. 若，则

B. 当时，是直线的一个方向向量

C. 若，则或

D. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则实数

【答案】AB

【解析】

【分析】根据两直线垂直可求出m的值判断A；根据方向向量的含义可判断B；根据直线的平行求出m判断C；根据直线的一般式求出在坐标轴上的截距，列式求得m，判断D.

【详解】对于A，，则，A正确；

对于B，当时，直线：，

故是直线的一个方向向量，B正确；

对于C，当时，：，：，不平行；

故，则，可得，即，

则或，

当时，：，：，两直线重合，

当时，：，：，即，符合题意，

故，则，C错误；

对于D，直线在两坐标轴上的截距相等，可知，

对于，令，则，

令，则，则，

解得或，D错误，

故选：AB

11. 已知四面体的所有棱长均为2，M，N分别为棱，的中点，F为棱上异于A，B的动点．下列结论正确的是（     ）

A. 若点G为线段上的动点，则无论点F与G如何运动，直线与直线都是异面直线

B. 线段的长度为

C. 异面直线和所成的角为

D. 的最小值为2

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A，取的中点为F，的中点为E，说明四边形为平行四边形，直线与直线CD相交于E，即可判断；对于B，解三角形求得线段的长度即可判断；对于C，取的中点为H，找到即为异面直线和所成的角或其补角，求得其大小，即可判断；对于D，将面，面展开为一个平面，即可求得的最小值，进行判断，由此可得答案.

【详解】对于A，取的中点为F，的中点为E，连接，，，，

则，，

所以，故四边形为平行四边形，

设与交于点G，故此时直线与直线相交于E，

因此此时直线与直线不是异面直线，故A错误；

对于B，连接，，四面体的所有棱长均为2，

故，因为M为中点，故，

所以，故B正确；

对于C，取的中点为H，连接，，因为M，N分别为棱，的中点，

故，

则即为异面直线和所成的角或其补角，

因为，故为等腰直角三角形，

则，故C正确；

对于D，将平面，平面展开为一个平面，如图示：

当M，F，N三点共线时，最小，因为M，N分别为棱，的中点，

所以此时四边形为平行四边形，故，

即的最小值为2，故D正确，

故选：BCD

12. 如图，正方体的棱长为，点为底面的中心，点为侧面内（不含边界）的动点，则（    ）

A.

B. 存在一点，使得

C. 三棱锥的体积为

D. 若，则面积的最小值为

【答案】ACD

【解析】

【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，利用空间向量数量积可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；利用锥体体积公式可判断C选项；求出点的坐标满足的关系式，利用二次函数的基本性质可求得面积的最小值，可判断D选项的正误.

【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、、，

设点，其中，.

对于A选项，，，则，

所以，，A对；

对于B选项，，若，则，解得，不合乎题意，

所以，不存在点，使得，B错；

对于C选项，，点到平面的距离为，

所以，，C对；

对于D选项，，

若，则，可得，

由可得，

，

当且仅当时，等号成立，

因为平面，平面，，

，D对.

故选：ACD.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）

13. 一条光线从点射出，经直线y轴反射后过点，则反射光线所在的直线方程为_________________．

【答案】

【解析】

【分析】关于y轴的对称点为，反射光线所在的直线即为经过的直线，求的直线方程即可.

【详解】关于y轴的对称点为，

根据光线反射的性质知，反射光线所在的直线即为经过的直线，

由两点式得直线的方程为：，即.

故答案为：

14. 直线和直线分别过定点A和B，则_________．

【答案】

【解析】

【分析】通过直线和直线分别计算定点坐标A和B，从而计算的大小.

【详解】直线经过的定点坐标为，直线经过的定点坐标为，

从而计算.

故答案为：.

15. 二面角的棱上有两个点,,线段与分别在这个二面角的两个面内,并且垂直于棱,若,,,,则平面与平面的夹角为________.

【答案】60°##

【解析】

【分析】先设平面与平面的夹角为,因为,,所以,,根据空间向量得,两边平方代入数值即可求出答案.

【详解】设平面与平面的夹角为,因为,,

所以,,

由题意得,

所以

,

所以,即,

所以,即平面与平面的夹角为.

故答案为:.

16. 若空间两个单位向量、与的夹角都等于θ，则当θ取最小值时，______．

【答案】##0.5

【解析】

【分析】由题设，结合空间向量模长、夹角的坐标公式列方程组，结合不等式求解最值，再由即可求结果．

【详解】由题意可得，则，

由，

故，当且仅当或时等号成立，

故，由于，故当时，此时θ取最小值时，

故，

故答案为：

四．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知平面直角坐标系内三点．

（1）求直线的斜率和倾斜角；

（2）若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标及CD所在直线方程；

（3）若是线段上一动点，求的取值范围．

【答案】（1）1，   

（2），   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据直线的斜率公式以及倾斜角的定义即可求得答案;

（2）根据平行四边形性质结合直线的斜率公式即可求得答案；

（3）根据的几何意义结合斜率公式即可求得答案.

【小问1详解】

由题意得直线的斜率为，所以直线的倾斜角为；

【小问2详解】

点在第一象限时，.

设，则，解得，

故点的坐标为；

故CD所在直线方程为：，即；

【小问3详解】

由题意得为直线的斜率，

当点与点重合时，直线的斜率最小，；

当点与点A重合时，直线的斜率最大，；

故直线的斜率的取值范围为，

即的取值范围为.

18. 已知空间三点、、，设，．

（1）设，//，求．

（2）若与互相垂直，求．

【答案】（1）或   

（2）或．

【解析】

【分析】（1）利用向量共线定理，结合即可得出；

（2）利用向量的坐标运算、向量垂直与数量积的关系即可得出.

【小问1详解】

由于，，则，

由于//，设，由，则，即有，

则或．

【小问2详解】

与互相垂直，则，

则，由（1），，即有，

解得或．

19. 已知的顶点，边上的高所在的直线方程为．

（1）求直线的方程；

（2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．

①角A的平分线所在直线方程为；

②边上的中线所在的直线方程为．

若________________，求直线的方程．

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据直线垂直，求得斜率，利用点斜式方程，可得答案；

（2）联立直线方程，求得点的坐标，分别利用角平分线的对称或中线的对称，可得答案.

【小问1详解】

因为边上的高所在的直线方程为，

所以直线的斜率，又因为的顶点，

所以直线的方程为：，即；

【小问2详解】

若选①，角的平分线所在直线方程为，

由，解得，所以点A坐标为，

设点B关于的对称点为，

则，解得，即坐标为，

又点在直线上，所以的斜率，

所以直线的方程为，即．

若选②：边上的中线所在的直线方程为，

由，解得，所以点，

设点，则的中点在直线上，

所以，即，又点在直线上，所以，

所以的斜率，所以直线的方程为，

即直线的方程为．

20. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（轴、轴､轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作．

（1）若，，求的斜60°坐标；

（2）在平行六面体中，，，N为线段D1C1的中点．如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．

①求的斜60°坐标；

②若，求与夹角余弦值．

【答案】（1）   

（2）①；②

【解析】

【分析】对于小问（1），因为，，可以通过“空间斜60°坐标系”的定义，化简为，，再计算的斜60°坐标.

对于小问（2），设，，分别为与，，同方向的单位向量，则，，，①中，通过平行六面体得到，从而得到的斜60°坐标；

②中，因为，所以，结合①中的的斜60°坐标，并通过，计算与夹角的余弦值.

【小问1详解】

由，，

知，，

所以，所以；

【小问2详解】

设，，分别为与，，同方向的单位向量，

则，，，

①，

.                                      

②因为，所以，

则，

∵，                               .

∴，

，

所以与的夹角的余弦值为

21. 如图，在四棱锥中，面，，，，．E为的中点，点F在棱上，且，点G在棱上，且．

（1）求证：面；

（2）当时，求点G到平面的距离；

（3）是否存实数，使得A，E，F，G四点共面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）证明见解析   

（2）   

（3）存在，

【解析】

【分析】（1）由，得面；

（2）求出面的一个法向量为，点G到平面AEF的距离为；

（3）若A，E，F，G四点共面，则，由此求得.

【小问1详解】

由面面，则，

又且，面，

可得：面.

【小问2详解】

以A为原点，面内与垂直的直线为x轴，方向为y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

易知：，

由可得：，

由可得：，则，

设平面的法向量为：，则，

令得，

∴面的一个法向量为，       

因为，则，，

∴点G到平面的距离为：，

即点G到平面AEF的距离为．

【小问3详解】

存在这样的.

由可得：，

则，

若A，E，F，G四点共面，则在面内，

又面的一个法向量为，

∴，即，可得.

∴存在这样的，使得四点共面.

22. 如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，B为底面圆周上异于A，C的点．

（1）若P是线段BC的中点，求证：平面；

（2）设平面平面，与平面QAC所成角为，当四棱锥的体积最大时，求的最大值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论；

（2）作出平面和平面的交线，确定四棱锥的体积最大时B点位置，从而建立空间直角坐标系，利用空间角的向量求法求出与平面QAC所成角的正弦值，利用换元法结合二次函数性质即可求得其最大值.

【小问1详解】

取中点H，连接，因P为中点，

则有，

在等腰梯形中，，故有，

则四边形为平行四边形，

即有，又平面，平面，

所以平面.

【小问2详解】

延长交于点O，作直线，则直线即为直线，如图，

过点B作于，

因为平面平面，平面平面，平面，

因此平面，

即为四棱锥的高，在中，，

，

当且仅当时取等号，此时点与重合，

又梯形的面积S为定值，四棱锥的体积，

于是当最大，即点与重合时四棱锥的体积最大，

此时，

以为原点，射线分别为轴的非负半轴建立空间直角坐标系，

在等腰梯形中，，

此梯形的高，

因为,故为的中位线，

则，

，

设，

则，

设平面的一个法向量，则，

令，得，

则有，

令，则，

当时，；

当时，，

在时取到最小值，此时取到最大值

即当，即时取到最大值，

所以的最大值为.

【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于与平面QAC所成角的正弦值的最大值，解答时要确定四棱锥的体积最大时B点位置，从而建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值.