四川省成都市嘉祥外国语高级中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

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本卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
5.考试结束后，只将答题卡交回.
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1. 已知两条直线 和 ，若 ，则 （ ）
A. 12 B. C. 3 D.
2. 利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法，用此方法可以快速进行大量重复试验，进而用频率估
计概率.袋子中有四张卡片，分别写有“山”“城”“重”“庆”四个字，有放回地每次从中任取一张卡片，共取三次
.将三次抽取后“重”“庆”两个字都取到记为事件 ，用随机模拟的方法估计事件 发生的概率.由计算机产生
1，2，3，4 四个随机数，分别代表“山”“城”“重”“庆”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的
结果，经随机模拟产生了以下 20 组随机数：121
､112､433､142､234､111､243､132､422､134､131､441､412､233､143､231､332､341､211､221，由此可以估计事件
发生的概率为（ ）
A 0.5 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2
3. 已知随机事件 A，B，C 中， 与 相互独立， 与 对立，且 ， ，则
（ ）
A 0.4 B. 0.58 C. 0.7 D. 0.72
4. 如图，空间四边形 中， ，点 在 上，且满足 ，点 为
的中点，则 （ ）
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A. B.
C. D.
5. 已知向量 ， ，则 在 方向上 投影向量是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知甲、乙两名同学在高三的 6 次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试
成绩），则下列说法不正确的是（ ）
A. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差
B. 甲成绩 第 25 百分位数大于乙成绩的第 75 百分位数
C. 甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数
D. 甲成绩的方差小于乙成绩的方差
7. 点 到直线 （ 为任意实数）的距离的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
8. 如图，在直三棱柱 中， ， ， 是线段 的中点，在
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内有一动点 （包括边界），则 的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则事件 A 与 B 是对立事件
B. 设 A，B 是两个随机事件，且 ， ，若 ，则 A，B 是相互独立事件
C. A，B 同时发生的概率一定比 A，B 中恰有一个发生的概率小
D. 若 ， ，则“事件 A，B 相互独立”与“事件 A，B 互斥”一定不能同时成立
10. 下列说法正确的是（ ）
A. ＝k 不能表示过点 M（x1，y1）且斜率为 k 的直线方程
B. 在 x 轴，y 轴上的截距分别为 a，b 的直线方程为
C. 直线 y＝kx+b 与 y 轴的交点到原点的距离为 b
D. 过两点 A（x1，y1）B（x2，y2）的直线方程为
11. 如图，圆柱 的底面半径和母线长均为 是底面直径，点 在圆 上且 ，点 在母线
，点 是上底面的一个动点，则（ ）
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A. 存在唯一的点 ，使得
B. 若 ，则点 的轨迹长为 4
C. 若 ，则四面体 的外接球的表面积为
D. 若 ，则点 的轨迹长为
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 设直线 l 的斜率为 k，且 ，则直线的倾斜角 的取值范围是_________.
13. 如图，已知 ABC-A1B1C1 是侧棱长和底面边长均等于 a 的直三棱柱，D 是侧棱 CC1 的中点，则点 C 到平
面 AB1D 的距离为____.
14. 甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀)，规定每局中：①三人
出现同一种手势，每人各得 1 分；②三人出现两种手势，赢者得 2 分，输者负 1 分；③三人出现三种手势
均得 0 分.当有人累计得 3 分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响.
则甲在一局中得 2 分的概率 __________；游戏经过两局后甲恰得 3 分且为唯一获胜者的概率
____________.
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知向量 ， ， .
（Ⅰ）当 时，若向量 与 垂直，求实数 和 的值；
（Ⅱ）若向量 与向量 ， 共面，求实数 的值.
16. 某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频
率分布直方图．
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（1）试估计全市参赛者成绩的第 40 百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）；
（2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从 ， ， 三层中抽取一个容量为 6 的
样本，再从这 6 人中随机抽取两人．求抽取的两人都及格（大于等于 60 分为及格）的概率．
17. 如图所示的几何体中， 垂直于梯形 所在的平面， 为 的中点，
，四边形 为矩形，线段 交 于点 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值；
（3）在线段 上是否存在一点 ，使得 与平面 所成角的大小为 ？若存在，求出 的长；
若不存在，请说明理由.
18. 如图，已知 ， ， ，直线 ．
（1）证明直线 经过某一定点，并求此定点坐标；
（2）若直线 等分 的面积，求直线 的一般式方程；
（3）若 ，李老师站在点 用激光笔照出一束光线，依次由 （反射点为 ）、 （反射点为
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）反射后，光斑落在 点，求入射光线 的直线方程．
19. 在空间直角坐标系 中，过点 且以 为方向向量的直线方程可表示为
，过点 且以 为法向量的平面方程可表示为
．
（1）若直线 与 都在平面 内，求平面 的方程；
（2）在三棱柱 中，点 与坐标原点 重合，点 在平面 内，平面 以
为法向量，平面 的方程为 ，求点 的坐标；
（3）若集合 中所有的点构成了多面体 的各个面，求 的体积和相邻两
个面所在平面的夹角的余弦值．
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