四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2024-2025学年高二上学期十月月考数学试题

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考试时间150分钟，满分150分
注意事项
1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号和准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3．考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：
1．直线的一个方向向量是
A．B．C．D．
2．已知直线，，若且，则的值为
A．B．C．D．2
3．总体由编号为01，02，…，30的30个个体组成.利用所给的随机数表选取6个个体，选取的方法是从随机数表第1行的第3列开始，由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为
（第一行）1712 1340 3320 3826 1389 5103 7417 7637
（第二行）1304 0774 2119 3056 6218 3735 9683 5087
A．20B．26C．17D．03
4．已知，若不能构成空间的一个基底，则
A．3B．1C．5D．7
5．某次乒乓球单打比赛在甲、乙两人之间进行.比赛采取三局两胜制，即先胜两局的一方获得比赛的胜利，比赛结束.根据以往的数据分析，每局比赛甲胜出的概率都为，比赛不设平局，各局比赛的胜负互不影响.这次比赛甲获胜的概率为
A．B．C．D．
6．在长方体中，为的中点，点为线段的中点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
7．已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是
A．B．C．D．
8．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值（ ）
A．B．C．3D．6
二、多选题：
9. 已知甲､乙两位同学在高一年级六次考试中的数学成绩的统计如图所示，下列说法正确的是
A．若甲､乙两组数据的平均数分别为，则
B．若甲､乙两组数据的方差分别为，则
C．甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数
D．甲成绩的极差小于乙成绩的极差
10．关于空间向量，以下说法正确的是
A．若，则向量，的夹角是锐角
B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
C．若对空间中任意一点O，有，则四点共面
D．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面
11．已知正四面体的棱长为2，点，分别为△ABC和的重心，为线段上一点，则下列结论正确的是
A．直线到平面的距离为
B．若，则平面
C．若平面，则三棱锥外接球的表面积为
D．若取得最小值，则
三、填空题：
12．若连续抛两次骰子得到的点数分别为a，b，则点在直线上的概率为 .
13．在等腰直角三角形中，，点是边上异于A，B的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过△ABC的重心，则的长度为 .
14．已知四面体中，，且与平面所成的角为，则当时，的最小值是 .
四、解答题：
15．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与、的夹角都等于60°，M在棱上，，设，，．
（1）试用，，表示出向量；
（2）求．
16．已知直线经过点.
（1）若原点到直线的距离为2，求直线l的方程；
（2）若直线被两条相交直线：和：所截得的线段恰被点平分，求直线的方程.
17．某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；
（2）成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；
（3）已知落在60,70内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差.
18．如图，在三棱台中，和△ABC都为等腰直角三角形，，，，G为线段AC的中点，为线段上的点.
（1）若点为线段的中点，求证：平面；
（2）若平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，求二面角的正弦值.
19．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．
（1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
（2）如图，已知在三棱锥中，平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．
①求直线PC与直线AB所成角的余弦值；
②若点Q在棱PB上运动，求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值．