专题04函数的图象与性质解答题模型构建（3大函数5大模型）-2025年中考数学答题技巧与模板构建练习 含答案

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模型01 一次函数的性质与应用
一次函数y=kx+b(k≠0)当b=0时为正比例函数，正比例函数是一次函数是一次函数的特殊形式，k>0时，图象过一三象限，k0），矩形OEDC与△AOB重合部分的面积为S．根据上述条件，回答下列问题：
(1)当矩形OEDC的顶点D在直线AB上时，t= ；
(2)当t=4时，S的值为 ；
(3)求出S与t的函数关系式．
4．（24-25九年级下·安徽安庆·开学考试）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=6，P是线段AD上一动点（点P不与A、D重合），PE⊥BP，PE交直线DC于点E．
(1)设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由．
5．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，AB=8，BC=6，D是AC中点，动点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发，沿折线D→B→C方向运动．设运动时间为x秒，点P到直线AB的距离与点P到点B的距离之和记为y1．
(1)请直接写出y1关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y1的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出y1的图象与函数y2=x+m的图象有两个公共点时m的取值范围．
模型02 反比例函数与一次函数综合问题
考｜向｜预｜测
反比例函数与一次函数问题在中考中经常出现，难度不大，常考的有根据反比例函数与一次函数图象交点构造产生的几何图形或线段的数量关系，求图形面积或反比例函数系数k的值，根据交点结合函数图象比较函数值大小
答｜题｜技｜巧
反比例函数与一次函数求交点坐标：联立反比例函数与一次函数图象的解析式进行求解，特别地，反比例函数与正比例函数图象的两个交点关于原点对称；
求反比例函数与一次函数的解析式：待定系数法，把所给的点的坐标代入，联立方程、方程组
结合图象比较函数值的大小
求相关图形的面积问题
（2025·贵州·一模）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mxx>0的图象交于A1,5，Bm,a两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)点Pn,mn为第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作PC⊥x轴于点C，交一次函数图象于点D，若CP≤CD，请直接写出n的取值范围．
1．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，反比例函数y=mx的图像与一次函数y=kx+b的图像交于A2,5,Bn,1两点．
(1)求反比例函数的关系式与n的值；
(2)根据图像直接写出不等式kx+b−mx>0时x的取值范围．
2．（2025·河南周口·一模）如图，一次函数y=3x与反比例函数 y=kxx>0的图象交于点A1,a，点 B 在 x 轴正半轴上．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)请在∠AOB的内部作出满足下列条件的点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
①点P到∠AOB两边的距离相等；② PA∥OB．
(3)在第（2）问的条件下，直接写出点P的坐标．
3．（2025·河南·一模）如图，反比例函数y=kxx>0的图像经过点A2,3，一次函数y=mx+n的图象与反比例函数的图象交于A，D两点，与y轴交于点B0,4，与x轴交于点C．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式．
(2)现有一个直角三角板，让它的直角顶点P在反比例函数图象上的A，D两点之间滑动（不与点A，D重合），两直角边始终分别平行于x轴、y轴，且与线段AD交于M，N两点，试判断点P在滑动过程中，△PMN与△OBC是否总相似，并说明理由．
4．（2025·河南商丘·一模）如图，反比例函数 y=−6x的图象与经过原点的直线y=kx+a交于Ab,2，B 两点．
(1)填空：a= ，b= ，点B 的坐标为____ ．
(2)直接写出不等式−6x>kx+a的解集．
(3)以AB为边在AB上方作等边三角形ABC，求点C的坐标．
模型03 反比例函数与几何问题
考｜向｜预｜测
反比例函数与几何综合问题在中考的综合性比较大，涉及的内容会比较多，反比例函数中的K值和三角形、平行四边形、特殊的平行四边形的综合是考查的重点，也是高频考点、必考点.从题型角度看，以解答题为主，需要理解加以灵活应用！
答｜题｜技｜巧
反比例函数的k值及面积问题
如图，已知反比例函数y=mx与一次函数y=kx+b的图象交于A2,4，Ba,−1两点，直线AB分别与x轴、y轴交于点C，D．
(1)m=______，k=______，b=______．
(2)若Pt,0t≠2是x轴的正半轴上一动点，过点P作x轴的垂线，分别与一次函数和反比例函数的图象交于点M，N，设MN的长为d，求d与t之间的函数关系式．
(3)在第二象限内是否存在点Q，使得△CDQ是等腰直角三角形，且点Q不是直角顶点？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
1．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD,BC=8，点A、B在y轴的正半轴上，边BC与AD分别与反比例函数y=kx(x>0,k>0)的图象相交于E、F两点．且点E的坐标为2,m，点F的坐标为m+3,1．点P在反比例函数y=kx(x>0)的图象上（点P不与点E、F重合），其横坐标为n．
(1)求k的值；
(2)连接PA、PB、PC、PD，当△PBC与△PAD的面积和为矩形ABCD面积的一半时，直接写出n的取值范围；
(3)连接PE、PC，当△PEC的面积是该矩形面积的一半时，求点P的坐标．
2．如图，一次函数y=−x的图象与反比例函数 y=kx的图象交于A，B 两点，其中点A 的坐标为−3,a．以点O为圆心，OA长为半径作弧，分别交y 轴正半轴、x轴正半轴 于点G，H．在扇形AOG中作正方形CDEF，使点C 在圆弧上，点D 在OA上，点E，F 在OG上．同样，在第 四象限的扇形内作正方形MNPQ，使点P 在圆弧上，点N在OB上，点M，Q 在
OH上．
(1)求a，k 的值；
(2)判断点B是否在圆弧上，并说明理由；
(3)直接写出图中阴影部分的面积之和
3．如图，已知反比例函数y=kx（x>0，k是常数）的图像经过点A1,4，在双曲线上有一动点Bm,n，作AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．
(1)若m=n时，求证：△ACB∽△NOM；
(2)若Bm,n是反比例函数上任意一点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
(3)若△ACB与△NOM的相似比为3:1，在x轴上找一个点P，使得△BOP
是等腰三角形，并求出点P的坐标．
4．如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y=9x的图象上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD．
(1)求∠P的度数及点P的坐标；
(2)△AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．
5．如图，直线y=2x+2与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点A2,a，过点A作反比例函数y=kxx>0的图象．
(1)求a的值及反比例函数的表达式；
(2)点P为反比例函数y=kxx>0图象上的一点，若S△POB=2S△AOB，求点P的坐标．
(3)在x轴存在点Q，使得∠BOA=∠OAQ，请求出点Q的坐标．
模型04二次函数的图象与性质
考｜向｜预｜测
二次函数的图象与性质是中考的常见的内容，涉及到的内容主要是二次函数的解析式、二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数的平移、与一元二次方程和不等式相结合。二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
答｜题｜技｜巧
1.二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
2.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）之间的关系
（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
（3）b2–4ac0时，该函数的图像开口向上；②该函数的图像的对称轴是直线x=−3；③该函数的图像一定经过0,4，6,4两点其中，正确结论的序号是___________．
(2)若点A−1,a，B3,b，C4,c在该函数图像上，当abc0的图象经过点2,c．
(1)求此二次函数图象的对称轴；
(2)若二次函数y=ax2+bx+ca>0的图象上存在两点Ax1,y1，Bx2,y2，其中m−1k2x的解集．
6．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y=−49(x−1)2+4的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)一个二次函数的图像经过B、C、M(t,4)三点，其中t≠1，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线段OB上（与点O、B不重合）．
①若D点的坐标为(3,0)，则t=_________；
②求t的取值范围：
③求OD⋅DB的最大值．
7．（2024·云南·中考真题）已知抛物线y=x2+bx−1的对称轴是直线x=32．设m是抛物线y=x2+bx−1与x轴交点的横坐标，记M=m5−33109．
(1)求b的值；
(2)比较M与132的大小．
8．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，Mx1,y1，Nx2,y2是抛物线y=ax2+bx+ca>0上任意两点，设抛物线的对称轴为x=t．
(1)若对于x1=1，x2=2有y1=y2，求t的值；
(2)若对于0