中考数学专题冲刺高分狙击【专题分析＋解题方法＋知识结构＋典例精选＋能力评估检测】：专题三　函数及其图象

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本专题在中考中的常考点有点的坐标的特征，对称变换和平移变换中坐标的特征；求函数自变量的取值范围，函数图象的信息；一次函数解析式的确定，一次函数的图象与性质，一次函数的应用；反比例函数的图象和性质，反比例函数中k的几何意义；确定抛物线的顶点坐标及对称轴，二次函数解析式的确定，二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程、不等式的关系，二次函数的应用等．
函数及其图象在中考中一般以客观题进行考查，根据函数的性质写出函数解析式一般以开放题形式进行考查；函数及其图象在中考中考查题型多样，对图象与性质的考查一般以选择题、填空题进行考查，函数的应用一般以解答题进行考查，特别是对二次函数的考查常以压轴题的形式出现；本专题在中考中所占比重约为18%～25%.
【解题方法】
解决函数及其图象问题常用的数学思想有数形结合思想，转化思想和分类讨论思想等；常用的方法有待定系数法，特殊值法，观察法，比较法，分析法和综合法等.
【知识结构】
【典例精选】：
已知点P(a＋1,2a－3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是( B )
A. a<－1 B. －1C. －eq \f(3,2)eq \f(3,2)
【思路点拨】由题意得出点P所在的象限，然后根据每个象限内点的坐标特征，求出a的范围．
规律方法：
根据点所在的位置与平面内点的特征可得关于未知字母的不等式或不等式组，解不等式组即可得出参数的取值范围.
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝eq \f(c,x)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
【思路点拨】先由二次函数的图象判断出a，b，c的符号，然后根据反比例函数图象与一次函数图象的特征得出答案．
答案：C
规律方法：
解决此类问题，首先要根据已知函数的图象确定各系数的范围，然后根据相关系数的范围确定未知函数的图象所在的位置.
如图，A、B是双曲线y＝eq \f(k,x)上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C.若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为( )
A. eq \f(4,3) B. eq \f(8,3) C．3 D．4
【思路点拨】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合应用．过点B作BE⊥x轴于点E，根据D为OB的中点可知CD是△OBE的中位线，即CD＝eq \f(1,2)BE，设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，\f(k,x)))，则Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x，\f(k,2x)))，故CD＝eq \f(k,4x)，AD＝eq \f(k,x)－eq \f(k,4x)，再由△ADO的面积为1求出k的值即可得出结论．
【解析】如图，过点B作BE⊥x轴于E，∵D为OB的中点，∴CD是△OBE的中位线，即CD＝eq \f(1,2)BE.
设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，\f(k,x)))，则Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x，\f(k,2x)))，CD＝eq \f(k,4x)，AD＝eq \f(k,x)－eq \f(k,4x).
∵△ADO的面积为1，
∴eq \f(1,2)AD·OC＝1，eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,x)－\f(k,4x)))·x＝1，解得k＝eq \f(8,3)，
故选B.
答案：B
复习课中，教师给出关于x的函数y＝2kx2－ (4k＋1)x－k＋1(k是实数)．
教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论(性质)写到黑板上．
学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：
①存在函数，其图象经过(1,0)点；
②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；
③当x>1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；
④若函数有最大值，则最大值必为正数；若函数有最小值，则最小值必为负数．
教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．
【思路点拨】本题考查一次函数、二次函数的图象及性质，注意举反例、综合配方、数形结合及分类讨论思想的应用．
【自主解答】
解：①正确．当x＝1时，y＝－3k，取k＝0，得y＝0，即存在函数y＝－x＋1，其图象经过(1,0)点．
②错误．取k＝1，函数y＝2x2－5x的图象与坐标轴的交点仅有(0,0)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，0))两点．或取k＝0，函数y＝－x＋1的图象与坐标轴的交点仅有(0,1)和(1,0)两点．所以结论②错误．
③错误．当k>0时，抛物线开口向上，且对称轴是直线x＝1＋eq \f(1,4k).因为1＋eq \f(1,4k)>1，所以当11＋eq \f(1,4k)时，y随x的增大而增大．所以结论③错误．
④正确．当k≠0时，函数有最大或最小值，此时y＝2keq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,4k)))))2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3k＋\f(1,8k))).若k>0，则抛物线开口向上，当x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,4k)))时，y最小值＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3k＋\f(1,8k))).因为－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3k＋\f(1,8k)))<0，所以y最小值<0.若k<0，则抛物线开口向下，当x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,4k)))时，y最大值＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3k＋\f(1,8k))).因为－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3k＋\f(1,8k)))>0，所以y最大值>0.解题时用到的数学方法有分类讨论和数形结合．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－eq \f(2,3)x2＋bx＋c，经过A(0，－4)，B(x1,0)，C(x2,0)三点，且|x2－x1|＝5.
(1)求b，c的值；
(2)在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；
(3)在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．
【思路点拨】(1)把A(0，－4)代入可求c，运用两根关系及|x2－x1|＝5，对式子合理变形，求b；(2)因为菱形的对角线互相垂直平分，故菱形的另外一条对角线必在抛物线的对称轴上，满足条件的D点，就是抛物线的顶点； (3)由四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中点坐标，代入抛物线解析式即可，再根据所求点的坐标与线段OB的长度关系，判断是否为正方形即可．
【自主解答】
解：(1)∵抛物线y＝－eq \f(2,3)x2＋bx＋c经过点A(0，－4)，
∴c＝－4.又由题意可知，x1，x2是方程－eq \f(2,3)x2＋bx－4＝0的两个根，∴x1＋x2＝eq \f(3,2)b(b<0)，x1x2＝6. 由已知得(x2－x1)2＝25，又∵(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝eq \f(9,4)b2－24，∴eq \f(9,4)b2－24＝25，解得b＝－eq \f(14,3).
(2)∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，
又∵y＝－eq \f(2,3)x2－eq \f(14,3)x－4＝－eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(7,2)))2＋eq \f(25,6)，
∴抛物线的顶点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,2)，\f(25,6)))即为所求的点D.
(3)∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为(－6,0)，根据菱形的性质，点P必是直线x＝－3与抛物线y＝－eq \f(2,3)x2－eq \f(14,3)x－4的交点，
∴当x＝－3时，y＝－eq \f(2,3)×(－3)2－eq \f(14,3)×(－3)－4＝4.
∴在抛物线上存在一点P(－3,4)，使得四边形BPOH为菱形．
四边形BPOH不能成为正方形，∵如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是(－3,3)，但这一点不在抛物线上．
规律方法：
解决存在性问题的一般思路：先对结论作出肯定的假设，然后由肯定假设出发，结合已知条件和隐含条件进行计算、推理，再对所得出的结论进行分析检验，判断是否与题设、公理、定理等吻合；若无矛盾，说明假设正确；否则，说明不存在.
【能力评估检测】
一、选择题
1．函数y＝eq \r(5－x)＋eq \f(1,x－3)的自变量x的取值范围是( D )
A．x≤5 B．x≠3
C．x≥5 D．x≤5或x≠3
2．把抛物线y＝eq \f(1,2)x2－1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为( B )
A．y＝eq \f(1,2)(x＋1)2－3 B．y＝eq \f(1,2)(x－1)2－3
C．y＝eq \f(1,2)(x＋1)2＋1 D．y＝eq \f(1,2)(x－1)2＋1
3．设点A(x1，y1)和B(x2，y2)是反比例函数y＝eq \f(k,x)图象上的两个点，当x1A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/时，小汽车的速度为90千米/时，
则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y(千米)与各自行驶时间t(小时)之间的函数图象是( )
【解析】由题意得出发前都距离乙地180千米，出发2小时小汽车到达乙地距离变为0，再经过2小时小汽车又返回甲地距离又为180千米，经过3小时，货车到达乙地距离变为0，故C符合题意．故选C.
答案: C
5．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能为( )
【解析】由一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象有两个交点，且都在第一象限，可知一元二次方程ax2＋bx＋c＝x，即ax2＋(b－1)x＋c＝0有两个不相等的正实数根，所以函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象与x轴正半轴有两个不同的交点，故选项A符合题意．
答案: A
6．如图，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，设∠APB＝y(单位：度)，那么y与点P运动的时间x(单位：秒)的关系图是( )
【解析】当点P由点O向点C运动时，∠APB的度数由90°匀速减小到45°；当点P在eq \x\t(CD)上运动时，∠APB的度数一直等于45°，保持不变；当点P由点D向点O运动时，∠APB的度数由45°匀速增大到90°.故选项B符合题意．
答案: B
7．将抛物线y＝－x2＋2x＋3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那么直线y＝x＋b与此新图象的交点个数的情况有( )
A．6种 B．5种
C．4种 D．3种
【解析】如图，由题意画出函数图象，依次移动直线y＝x＋b，即可得直线与新图象交点个数的情况．故选B.
答案: B
8．如图，点A(a,1)， B(－1，b)都在双曲线y＝－eq \f(3,x)(x<0)上，点P，Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是( )
A．y＝x
B．y＝x＋1
C．y＝x＋2
D．y＝x＋3
【解析】分别把点A(a,1)，B(－1，b)代入双曲线y＝－eq \f(3,x)(x＜0)，得a＝－3，b＝3，则点A的坐标为(－3,1)，点B的坐标为(－1,3)，如图，作点A关于x轴的对称点C，作点B关于y轴的对称点D，所以点C的坐标为(－3，－1)，点D的坐标为(1,3)．
连结CD分别交x轴、y轴于点P，Q，此时四边形PABQ的周长最小，设直线CD的解析式为y＝kx＋b，把C(－3，－1)，D(1,3)分别代入，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3k＋b＝－1，,k＋b＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝1，,b＝2，))所以直线CD的解析式为y＝x＋2.故选C.
答案: C
9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，记m＝|a－b＋c|＋|2a＋b＋c|，n＝|a＋b＋c|＋ |2a－b－c|，则下列选项正确的是( )
A．mB．m>n
C．m＝n
D．m，n的大小关系不能确定
【解析】由图象知，a<0，b>0，c＝0.当x＝1时，y>0，即a＋b＋c>0，∴a＋b>0；当x＝2时，y>0，即4a＋2b＋c>0，∴2a＋b>0；当x＝－1时，y<0，即a－b＋c<0，∴a－b<0；当x＝－2时，y<0，即4a－2b＋c<0，∴2a－b<0.
∴m－n＝|a－b＋c|＋|2a＋b＋c|－|a＋b＋c|－|2a－b－c|＝|a－b|＋|2a＋b|－|a＋b|－|2a－b|＝－a＋b＋2a＋b－a－b＋2a－b＝2a<0，∴m答案: A
10．方程x2＋3x－1＝0的根可视为函数y＝x＋3的图象与函数y＝eq \f(1,x)的图象交点的横坐标，则方程x3＋2x－1＝0的实根x0所在的范围是( )
A．0C. eq \f(1,3)【解析】依题意得方程x3＋2x－1＝0的实根是函数y＝x2＋2与y＝eq \f(1,x)的图象交点的横坐标，这两个函数的大致图象如图所示，它们的交点在第一象限，当x＝eq \f(1,4)时， y＝x2＋2＝2eq \f(1,16)，y＝eq \f(1,x)＝4，此时抛物线的图象在反比例函数图象的下方；当x＝eq \f(1,3)时，y＝x2＋2＝2eq \f(1,9)，y＝eq \f(1,x)＝3，此时抛物线的图象在反比例函数图象的下方；
当x＝eq \f(1,2)时，y＝x2＋2＝2eq \f(1,4)，y＝eq \f(1,x)＝2，此时抛物线的图象在反比例函数图象的上方；当x＝1时，y＝x2＋2＝3，y＝eq \f(1,x) ＝1，此时抛物线的图象在反比例函数图象的上方；故方程x3＋2x－1＝0的实根x所在范围为eq \f(1,3)＜x0＜eq \f(1,2).故选C.
答案: C
二、填空题
11．如图，在平面直角坐标系中，过点 M(－3,2)分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y＝eq \f(4,x)的图象交于A，B两点，则四边形MAOB的面积为 .
【解析】设MA，MB与x轴、y轴的交点分别为E，F.∵点M的坐标为(－3,2)，∴设点B的坐标为(x,2)，点A的坐标为(－3，y)．∵点A，B在反比例函数y＝eq \f(4,x)的图象上，∴2x＝4，－3y＝4，∴S△AOE＝eq \f(1,2)OE·AE＝eq \f(1,2)·|－3y|＝2.同理S△BOF＝2.又∵四边形MEOF的面积为6，∴四边形MAOB的面积为10.
答案: 10
12．如图，正比例函数y1＝mx(m>0)的图象与反比例函数y2＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象交于点A(n,4)和点B，AM⊥y轴，垂足为M，若△AMB的面积为8，则满足y1>y2的实数x的取值范围是 .
【解析】根据题意，点A，B关于原点O对称，
∴OA＝OB，∴S△ABM＝2S△AOM＝8，∴S△AOM＝4.
又∵A(n,4)，∴eq \f(1,2)×4n＝4，∴n＝2，∴A(2,4)．
根据对称性知点B的坐标为(－2，－4)，根据图象可知满足y1>y2的实数x的取值范围是－22.
答案: －22
13．若根式eq \r(\f(1,2－2k))有意义，则双曲线y＝eq \f(2k－2,x)与抛物线y＝x2＋2x＋2－2k的交点在第二象限．
三、解答题
14．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4 m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝－eq \f(1,6)x2＋bx＋c表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为eq \f(17,2) m.
(1)求该抛物线的函数解析式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
解：(1)根据题意，得B(0,4)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(17,2)))，把B(0,4)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(17,2)))代入y＝－eq \f(1,6)x2＋bx＋c，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝4，,－\f(1,6)×32＋3b＋c＝\f(17,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝2，,c＝4.))∴该抛物线的函数解析式为y＝－eq \f(1,6)x2＋2x＋4(0≤x≤12)，则y＝－eq \f(1,6)(x－6)2＋10.∴点D的坐标为(6,10)．
∴拱顶D到地面OA的距离为10 m.
(2)由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2,0)或(10,0)，当x＝2或x＝10时，y＝eq \f(22,3)＞6，
∴这辆货车能安全通过．
(3)令y＝8，则－eq \f(1,6)(x－6)2＋10＝8，解得x1＝6＋2eq \r(3)，x2＝6－2eq \r(3)，则x1－x2＝4eq \r(3)，
∴两排灯的水平距离最小是4eq \r(3) m.
15．如图①，在平面直角坐标系xOy中，点M为抛物线y＝－x2＋2nx－n2＋2n的顶点．过点(0,4)作x轴的平行线，交抛物线于点P，Q(点P在点Q
的左侧)，PQ＝4.
(1)求抛物线的函数解析式，并写出点P的坐标；
(2)小丽发现：将抛物线y＝－x2＋2nx－n2＋2n绕着点P旋转180°，所得新抛物线的顶点恰为坐标原点O.你认为正确吗？请说明理由；
(3)如图②，已知点A(1,0)，以PA为边作矩形PABC(点P，A，B，C按顺时针的方向排列)，eq \f(PA,AB)＝eq \f(1,t).
①写出C点的坐标：C ( , )
(坐标用含有t的代数式表示)；
②若点C在题(2)中旋转后
的新抛物线上，求t的值．
解：(1)∵y＝－x2＋2nx－n2＋2n＝－(x－n)2＋2n，
∴点M(n,2n)．
根据抛物线的对称性可设P(n－2,4)，Q(n＋2,4)，
把点P(n－2,4)代入抛物线y＝－(x－n)2＋2n，
得－(n－2－n)2＋2n＝4，解得n＝4.
∴抛物线的函数解析式为y＝－x2＋8x－8，
∴点P(2,4)．
(2)小丽的发现是正确的．理由如下：
∵抛物线的函数关系式为y＝－x2＋8x－8，
∴点M(4,8)，∴直线OM的解析式为y＝2x.
把点P(2,4)代入y＝2x，可知点P在直线OM上．
∵M(4,8)，P(2,4)，
∴由勾股定理，得OM＝4eq \r(5)，OP＝2eq \r(5)，
∴OM＝2OP，∴点P是线段OM的中点，
∴将抛物线y＝－x2＋8x－8绕着点P旋转180°，所得新抛物线的顶点恰为坐标原点O.
(3)①如图，过点C作CD⊥x轴于点D，过点P作PE⊥ x轴于点E，PF⊥CD于点F，易证△PAE∽△PCF.
∵eq \f(PA,AB)＝eq \f(1,t)，AB＝PC，∴eq \f(PA,PC)＝eq \f(1,t).∴eq \f(PA,PC)＝eq \f(PE,PF)＝eq \f(AE,CF)＝eq \f(1,t).设点C(x，y)，则PF＝2－x，CF＝y－4，∴eq \f(4,2－x)＝eq \f(1,y－4)＝eq \f(1,t)，
∴x＝2－4t，y＝4＋t，∴点C(2－4t,4＋t)．
②旋转后的新抛物线的顶点为原点，且过点P(2,4)，
∴新抛物线的解析式为y＝x2.
把点C(2－4t,4＋t)代入y＝x2，得4＋t＝(2－4t)2，解得t＝0(舍去)或t＝eq \f(17,16).∴t的值为eq \f(17,16).