湖南省涟源市部分学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

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1.D
2.D
3．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据空间向量平行、垂直的坐标表示判断即可.
【详解】设，即，则，此方程组无解，故不平行，故A错误；
设，即，则，此方程组无解，故不平行，故B错误；
，则，故C正确；
，则不垂直，故D错误.
故选：C.
4．两平面的法向量分别为，若，则的值是（ ）
A．－3B．6
C．－6D．－12
【答案】B
【分析】由，可得，则，从而可求得结果.
【详解】因为两平面的法向量分别为，且，
所以，所以，
故选：B
5．学校开展学生对食堂满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生550人，高二年级有学生500人，高三年级有学生450人.现从全校学生中用分层抽样的方法抽取60人调查，则抽取的高二年级学生人数为（ ）
A．18B．20C．22D．24
【答案】B
【分析】
根据分层抽样的方法，高二学生人数占总体的，所以被抽取的人数也应占，即20人.
【详解】
根据分层抽样的方法，应抽取高二年级学生人数为人.
故选：B.
6．如图：在平行六面体中，M为，的交点．若，，，则向量（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据空间向量基本定理结合平行六面体的性质求解
【详解】因为在平行六面体中，M为，的交点，，，，
所以
,
故选：B
7．已知空间中两条不同的直线，其方向向量分别为，则“”是“直线相交”的（ ）
A．.充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】两条不同的直线的方向向量不共线，两条不同的直线可能相交，可能异面；两条直线相交，则两条直线的方向向量一定不共线.
【详解】由可知，与不共线，所以两条不同的直线不平行，可能相交，也可能异面，所以“”不是“直线相交”的充分条件；
由两条不同的直线相交可知，与不共线，所以，所以“”是“直线相交”的必要条件，
综上所述：“”是“直线相交”的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】本题考查了空间两条直线的位置关系，考查了空间直线的方向向量，考查了必要不充分条件，属于基础题.
8．已知二面角中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则二面角的平面角满足（ ）
A．余弦值为B．正弦值为
C．大小为D．大小为或
【答案】B
【分析】设所求二面角的平面角的大小为，利用二面角的向量求法即可求得答案.
【详解】设所求二面角的平面角的大小为，
则，
所以或，故CD错误，
又因为，故A错误，B正确，
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9. 下列命题是真命题的有（ ）
A. A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
B. 直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直
C. 直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α
D. 平面α经过三点是平面α的法向量，则
解：对于A，若不能构成空间的一个基底，则共面，可得A，B，M，N共面，A正确；
对于B，，故，可得l与m垂直，B正确；
对于C，，故，可得l在α内或，C错误；
对于D，，易知，故，故，D正确.
10. 在空间直角坐标系Oxyz中，，，，则（ ）
A.
B.
C. 异面直线OB与AC所成角的余弦值为
D. 点O到直线BC的距离是
解：对于A，，，，
依题意，，，故A正确；
对于B，，，故B错误；
对于C，，,因为，
则异面直线OB与AC所成角的余弦值为，故C正确；
对于D，因为，，在上的投影为，
所以点O到直线BC距离是，故D错误.
11. 如图，正方体的棱长为2，E为的中点，P为棱BC上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（ ）

A. 存在点P，使
B. 存在点P，使
C. 四面体的体积为定值
D. 二面角的余弦值的取值范围是
解：
建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，，，，则，，，
当时，即点与点重合时，，故A正确.
由知，解得，此时点与点重合，
故B正确.
为定值，故C错误.
又，，设平面法向量，
由，令则，， ，
又平面的法向量，
，
又，，故D错误.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
12.18 13.(2,2,2) 14.23
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，.
解：（1）∵，，
；a+b=（3，3，3）a-b=（1，-5，1）│2 a│=6
（2）设与的夹角为，则，
，，，，
∴，
∴向量与夹角的余弦值为.
16.（1）55 （2）平面A1BD的法向量为（-1，1，1）平面BDF的法向量为（1，-1，2）数量积为0，所以垂直
17．已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长．
【解答】解：（1）因为，
由正弦定理可得，
整理可得，
而由正弦定理可得，
所以，，
解得；
（2）由（1）及，可得，
由余弦定理可得，
，
所以，
所以，
即三角形的周长为．
所以的周长为6．
18．在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.

(1)求证：平面；
(2)求直线PB与平面所成角的正弦值；
(3)求点到PD的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）构造平面，由面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质可得线面平行；
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果；
（3）根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）如图，取中点，连接

因为为中点，，，，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为为中点，为中点，则，
又平面，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
又平面，故平面．
（2）
根据题意，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
由条件可得，，
则，
设平面的法向量为，
则，解得，
取，则，所以平面的一个法向量为，
设直线PB与平面所成角为，
则.
所以直线PB与平面所成角的正弦值为.
（3）由（2）可知，，
所以点到PD的距离为.
19．如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．

(1)证明：平面；
(2)若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在；是上靠近的三等分点
【分析】（1）过点作于点，由面面垂直性质定理可得平面，由此证明，再证明，根据线面垂直判定定理证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求平面，平面的法向量，利用向量夹角公式求法向量夹角，由条件列方程确定点的位置；
【详解】（1）过点作于点，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又平面，平面，
所以，
又因为，，平面，
所以平面．

（2）假设在线段上（不含端点），存在点，使得二面角的余弦值为，
以为原点，分别以、为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
即取，，，
所以为平面的一个法向量，
因为在线段上（不含端点），所以可设，，
所以，
设平面的一个法向量为，
即，
取，，，
所以为平面的一个法向量，
，又，
由已知可得
解得或（舍去），
所以，存在点，使得二面角的余弦值为，
此时是上靠近的三等分点．