湖南省娄底市涟源市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

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一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．B（此题为教材《必修第二册》P80T3（3）改编）
2．C（此题为教材《必修第一册》P159T1（1））
3．B（此题为教材《选择性必修第三册》P30 例2（2）改编）
解：的展开式的通项是，依题意，
，因此，的系数,故选B.
4．B（此题为教材《必修第二册》P60 T2（2））
5．A（此题为教材《选择性必修第三册》P91T4改编)
6．C（此题为教材《选择性必修第三册》P139 T3)
7．C（此题为教材《必修第一册》P241T5改编)
,故选C.
8．B（此题为教材《选择性必修第三册》P91 T7)
解法1：令“玩手机超过1h的学生”，“玩手机不超过1h的学生”，“任意调查一人，此人近视”,则,且互斥；
依题意，,；
由全概率公式；
即：； ，故选B.
解法2：设该校有100名学生，整理得到如下列联表：
依题意有：
故选B.
二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．ABC
10．ABD
解：对于A项，两个变量的相关系数为，越小, 与之间的相关性越弱, 故A正确 ；
对于 B，残差=观测值减去预测值=，故B正确；
对于，在回归分析中, 越接近于1 , 模型的拟合效果越好,
∴为 0.98 的模型比为 0.89 的模型拟合的更好,故 C错误；
对于, 某人在10次答题中, 答对题数为, 则数学期望 , 故D正确.
11．AB（此题为教材《必修第一册》P160 T6改编)
解:对于A，,是偶函数 ，故A正确；
对于 B，，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. （此题为教材《必修第二册》P236例9改编）
13. 75（此题由教材《选择性必修第三册》P91 T12改编）
14. 答案： .（此题为教材《选择性必修第三册》P91 T10改编）
解法1：记第次传球后球在甲手中的概率为，则第次传球后球在甲手中的概率为，开始时球在甲手中，则．
若第次传球后球在甲手中，则第次传球后球不在甲手中，即第次传球后球在乙或丙手中，所以第次传球后球不在甲手中的概率为；
又乙或丙在第次把球传到甲手上的概率为，于是有，，
即，，于是数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以.
解法2：画出树状图（略），逐一算出，，，，.
四、解答题：（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15.解：（1）原式------------------------------3分
;--------------------------------------6分
（2）原式------------------------9分
-------------------------------13分
16.（此题由教材《必修第二册》P54 T22改编）
解：（1）解:（1），
，--------------------------------------------2分
，-----------------------------5分
为三角形内角，.-------------------------------------------------7分
（2），，
由余弦定理得；--------------------------9分
，即；-----------------------------------------11分
，----------------------------------------14分
所以面积的最大值为.----------------------------------------------15分
17．（此题为教材《选择性必修第三册》P134 T4改编）
解：（1）记事件“选到同学数学成绩优秀”，记事件“选到同学语文成绩优秀”，
则与相互独立，---------------------------------------------------------2分
①，-----------------------------------------------------------5分
②.------------------------------------------------------7分
（2）表2整理如下：
-----------------------------------------9分
零假设：数学成绩与语文成绩无关联，根据表2中的数据可得：
-----14分
依据的独立性检验，我们可以推断不成立；
即认为数学成绩与语文成绩有关联，该推断犯错误的概率不超过.--------------15分
18．（此题为教材《必修第二册》P171 T14改编）
解：（1）设是的中点，连接；
又侧面是正三角形,是的中点,
----------------------------------------------------------------1分
又因为侧面底面，；
---------------------------------------------------------2分
是与底面所成角；-----------------------------------------3分
在中，.---------------------4分
（2）又因为在菱形中，，所以为等边三角形，
又为的中点，所以，-------------------------------------------5分
由（1）知，
所以平面，则，-------------------------------------------7分
是侧面与底面所成二面角的平面角；--------------------------8分
而在中，，所以；
所以侧面与底面所成二面角大小为.-------------------------------9分
（3）连结交于点，连结，如右图所示：
因为底面为菱形，且平面.
所以，
又因为在中，为中点，
所以为中点.-----------------------------------------------------------11分
又平面，所以故点到平面的距离等于点到平面的距离，
即.-----------------------------------------------------13分
(或者：由为中点，得)-----------------------13分
由（1）知，平面平面，所以底面，
因为等边的边长为2，所以.
又因为为中点，所以点到底面的距离为，----------------15分
因为为边长为2的等边三角形，所以三棱锥的体积为：
.-----------------------------17分
19.（此题由教材《必修第二册》P37 T15和P54 T19改编）
解：(1)-----------------------------------------------1分
-----------------------------------3分
---------------------------------------------------------------4分
(2)，,
，，;
;(或者说明)
所以四边形是平行四边形.-----------------------------------------------5分
-----------------------------------------------------------6分
是的中点, ；
；-------------------------------------------------------------8分
；
;-------------------------------------------------------------10分
（3）设；
因为三点共线，则设；------------------------11分
；
；
；
，；---------------------------------------------------13分
------------------------------------------------15分
，此时.
所以的最小值为.-------------------------------------------------17分
或者：由，得：，---------------15分
由得：，
此时.
所以的最小值为.-------------------------------------------------17分
数学成绩
语文成绩
合计
优秀
不优秀
优秀
8
6
14
不优秀
6
20
26
合计
14
26
40