辽宁省大连市第二十四中学2026届高三上学期期中Ⅰ考试数学试题（Word版附解析）

这是一份辽宁省大连市第二十四中学2026届高三上学期期中Ⅰ考试数学试题（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由已知，，所以.
故选：D
2. 已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点不可能位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【详解】设，由得，
可得在复平面上对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，（如图）.
由图可知圆显然不经过第三象限，
故复数在复平面上不可能位于第三象限.
故选：C.
3. 已知命题，则是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【详解】由存在量词命题否定是全称量词命题可知：是.
故选：B
4. 已知平面向量，若，则（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】B
【详解】因为平面向量，且，
所以，解得.
故选：B
5. 已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
如图：三角形中，，，
则有两解的充要条件为：，
即.
故选：D.
6. 已知平面向量和单位向量，，且对任意实数恒成立，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】，，
又，，，
即对任意实数恒成立，
，解得：.
故选：B.
7. 已知连续函数在定义域上的导函数为，若方程无解，且，当在上与在上的单调性相反时，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】因为无解，所以在上为单调函数.
又因为，所以为定值，
设，所以，故在上为单调增函数.
因为当在上与在上的单调性相反时，
所以恒成立，
即恒成立，
因为最大值为，故．
故选：D.
8. 设为两个不同的正数，我们称为的对数平均值，且已知恒有成立，该不等式也称为对数均值不等式，它在各个领域都有着重要应用．已知，且，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由，取、，则，即；
由，取、，则，即；
则有；
，
，又定义域为，故为偶函数，
当时，，
故在上单调递增，
由为偶函数，则，
由，则，即.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数（，）的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）

A.
B. 图象的一个对称中心为
C. 是偶函数
D. 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象
【答案】ABD
【详解】对于A，由图象可得，故，
可得，解得，故A错误；
对于B，由已知得，而，
故，，解得，，
而，可得，故，
则，故B错误；
对于C，由题意得，
由余弦函数性质得是偶函数，故C正确；
对于D，将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），
得到的图象，故D错误.
故选：ABD.
10. 已知等差数列的前项和为，且．若不等式对于任意的实数恒成立，当时，取得最大值，则的最小值可能为（ ）
A. 2023B. 2024C. 2025D. 2026
【答案】AB
【详解】设，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，即，当且仅当时等号成立；
则，即，
当且仅当，时等号成立；
所以可得不等式，当且仅当时等号成立；
所以对于，当且仅当时才能成立；
由于等差数列，可得，
，
所以时，，时，，
所以当和2025时，最大，
所以或，
而，当且仅当时等号成立，
所以最小值为2023或2024.
故选：AB.
11. 已知定义在R上的函数满足：对任意实数x，y，恒有，若，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 函数的最小值为
C. 为R上的增函数
D. 关于x的不等式的解集为
【答案】ACD
【详解】对于A，令，则，而，解得，A正确；
对于B，令，则，，假设存在使得，
对任意实数x，有，
此时常数函数，与矛盾，即不存在使得，则，B错误；
对于C，由，得，
，且，则，又当时，，则，
又恒成立，因此
，
即，因此为R上的增函数，C正确；
对于D，，则，
，不等式
，令，由，即，
解得或，即或，而为R上增函数，，
于是或，不等式的解集为，D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知为虚数单位，复数是纯虚数，则实数__________.
【答案】1
【详解】因为复数是纯虚数，
所以，解得.
故答案为：1.
13. 已知在中，，若的最小值是，则对于内的任意一点，的最小值是___________．
【答案】.
【详解】，
，的最小值为，
的最小值为到的距离，到的距离为，
取的中点，连接， ，，，

，，，
取中点，则，，，，
， 是内的任意一点，，，的最小值为.
故答案为：.
14. 已知定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，设，其中分别为奇函数和偶函数，则___________；若正项数列满足，且，则___________．
【答案】 ①. ②. ##
【详解】因为，
所以，
可得，
所以；
因为，所以，
注意到，设，则，
因为，所以，由为偶函数，
不妨设，因为，当时，，故，
所以在上单调递增，可知，
所以由等比数列通项公式可得，故，
则.
故答案为：；
四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列是等差数列，其前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，且时，恒成立，试求实数的最小值．
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
因为，所以，
因为，所以公差，，
故；
【小问2详解】
因为，且时，恒成立，
所以，
因为时，，所以，所以，
所以，所以实数的最小值为.
16. 已知在中，为边中点．
（1）若，试求边的长；
（2）若为锐角，过点分别作的平分线和边的垂线，与边分别交于点和点．是否存在，使得成立？若存在，试求出的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
因，，
则在中由余弦定理得，,
则;
【小问2详解】
设，，
因，则，
因，则，
则，
因为边中点，则，则，
即，
则，
若存在，使得，
则，
因为锐角，则，即，故，则，
在中由余弦定理得，
则，，
则，得，
则，，
则的面积.

17. 已知函数，，其中，设为的极小值点，为的极值点，，并且，将点，，依次记为．
（1）求的值；
（2）若四边形为梯形且面积为1，试求实数的值．
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
，
因，则，
故得或；得，
则在，上单调递增，在上单调递减，
则在处取极小值，故；
【小问2详解】
，可知，
，
令得或，
因，并且，，则，
因，故,,,
因，则，则直线与直线不平行，
因四边形为梯形，则，则，即
因梯形面积为1，则
，
解得.
18. 已知在数列中，，其前项和为，且．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列的公比为，若数列满足．
①若用表示不大于的最大整数，试求的值；
②设数列的前项和为，若存在正整数，使得成等比数列，试求出所有的的值．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）①；②
【小问1详解】
因为，
所以，
两式相减，得，
在中，令，得
，
显然，
所以数列是等比数列.
【小问2详解】
由（1）可知：，
，
所以数列是公差为的等差数列，；
①：
，
所以
②：，
，
当成等比数列时，，
因为，
所以，，
所以存在正整数，使得成等比数列.
19. 牛顿法是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：设是函数的零点，即．选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线的方程为，若，则直线与轴的交点的横坐标记为，再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点的横坐标记为，重复以上过程，得的近似值序列，也称为牛顿数列，根据已有精确度，当时，则为近似解．设．
（1）当时，试用牛顿法求方程满足精确度的近似解．（参考数据；，结果保留两位小数）；
（2）牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，若.
①证明：；
②若关于方程的两个根分别为，证明：．
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②证明见解析
【小问1详解】
，则，又，
则在点处的切线方程为，
令，解得，
即，由，则，
，不满足题意；
，
则，满足题意，
故方程满足精确度的近似解为；
【小问2详解】
①，
，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
则，
则，
即，化简得；
②由，
则当时，，则，
当时，，则，
又关于的方程有两个根，
则，且有，，
当时，有，则，
当时，过点与点的直线，
令，则，
令，解得，由，则，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
又，
，
故，即恒成立，
则，化简得，