辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题

这是一份辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若全集，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
4．“，关于的不等式恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
5．函数的图像为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知是定义在上的函数，，则“为增函数”是“为增函数”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
7．“若，恒成立”是真命题，则实数可能取值是（ ）
A．B．C．4D．5
8．设函数，若是奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（ ）
A．
B． ，
C．
D．
10．已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数是定义在上的增函数，且其图像是连续不断的曲线.若，（，），那么对上述常数，下列选项正确的是（ ）
A．一定存在，使得
B．一定存在，使得
C．不一定存在，使得
D．不一定存在，使得
12．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．为奇函数
B．值域为
C．若，且，则
D．当时，恒有成立
三、填空题
13．设，，若，则实数的值为 .
14．若函数在上为单调函数，则实数的取值范围为 .
15．已知正数满足，则的最小值为 .
16．若定义在上的函数同时满足：①为偶函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为 .
四、解答题
17．已知全集为，．
(1)求集合；
(2)设不等式的解集为，若且“”是“”的充分不必要条件，试求实数的取值范围.
18．设．
(1)若不等式有实数解，试求实数的取值范围；
(2)当时，试解关于的不等式.
19．已知函数.
(1)若，判断的奇偶性并加以证明.
(2)若时，不等式恒成立，试求实数的取值范围.
20．已知函数，，
(1)若的解集为，求a的值；
(2)试问是否存在实数，使得对于时，不等式恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
21．已知函数，.
(1)若函数在上为偶函数，试求实数的值；
(2)在（1）的条件下，当的定义域为时，解答以下两个问题：
①判断函数在定义域上的单调性并加以证明；
②若，试求实数的取值范围.
22．设函数的定义域为，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称为的一个“美好区间”.性质①：对任意，有；性质②：对任意，有.
(1)判断并证明区间是否为函数的“美好区间”；
(2)若（）是函数的“美好区间”，试求实数的取值范围；
(3)已知定义在上，且图像连续不断的函数满足：对任意（），有.求证：存在“美好区间”，且存在，使得不属于的任意一个“美好区间”.
参考答案：
1．C2．B3．A4．B5．D6．D7．A8．C
9．ACD10．AC11．AB12．AC
13．或14．15．16．
17．【详解】（1）由，得，
由，得，解得，
故.
（2）因为且“”是“”的充分不必要条件，
所以的解集非空且是的真子集，
设，
则，即，解得或，
当时不等式的解集为，符合题意；
当时不等式的解集为，符合题意；
综上，实数的取值范围为．
18．【详解】（1）依题意，有实数解，即不等式有实数解，
当时，有实数解，则符合题意.
当时，取，则成立，符合题意.
当时，二次函数的图像开口向下，
要有解，当且仅当，所以.
综上，实数的取值范围是.
（2）不等式，
因为，所以不等式可化为，
当，即时，不等式无解；
当，即时，；
当，即时，；
综上， 当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为．
19.【详解】（1）为奇函数，证明如下：
因为，所以，
则的定义域为，且，
所以为奇函数.
（2）时，不等式恒成立，
对恒成立.
设（）， 则只需即可.
当时，则在单调递增，
所以，解得，所以；
当时，因为在单调递减，单调递增.
①当，即时，在单调递减，
所以，解得，舍去；
②当，即时，在单调递增，
所以，解得，所以此时；
③当，即时，
，解得，所以此时；
综上，实数的取值范围为.
20．【详解】（1），即，
整理得到，不等式的解集为，
故为方程的根，即，解得，
故，解得，则.
（2）对，，恒成立，只需.
在上单调递增，因此；
的对称轴为.
当，即时，，故，即，
无解，舍；
当，即时，，故，
解得，舍.
综上所述：不存在实数符合题意.
21．【详解】（1）在上为偶函数，故，
，即，解得或，
由区间定义可知，即，不满足，所以.
（2）①函数在上单调递增；
证明如下：，，任取满足，
，
由于，故，，
于是，则，
则在上单调递增.
②函数的定义域为，关于原点对称，
，则为奇函数，
由，即，
又因为在上单调递增，则，解得，
所以实数的取值范围是.
22．【详解】（1）函数，当时，可得，所以区间是函数的一个“美好区间”.
（2）记，，可得，故若为的“美好区间”，
则不满足性质②，必满足性质①，即；
由，
当时，在上单调递增，且，
即，所以不包含于，不合题意；
当时，，符合题意；
当时，，所以，不合题意；
综上可知，，即实数的取值范围是.
（3）对于任意区间，记，
由已知得在上单调递减，故，
因为，即的长度大于的长度，故不满足性质①，
所以若为的“美好区间”，必满足性质②，这只需，
即只需或，
由显然不恒成立，所以存在常数使得.
如，取，区间满足性质②；
如，取，区间满足性质②；
综上，函数一定存在“美好区间”；
记，则图象连续不断，下证明有零点：
因为在R上是减函数，所以在R上是减函数，记；
若，则是的零点，
若，则，即，，
由零点存在性定理，可知存在，使得，
若，则，即，，
由零点存在性定理，可知存在，使得，
综上，有零点，即，
因为的所有“美好区间”都满足性质②，故.（否则，与性质②不符），
即不属于的任意一个“美好区间”，证毕.