辽宁省大连市第二十四中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份辽宁省大连市第二十四中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．向量，，，，1，，，0，，若，，共面，则等于（ ）
A．B．1C．2D．0
2．点可以向圆引两条切线，则k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．平行六面体，其中，，，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
4．正四面体中，点满足，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（ ）
A．5B．10C．D．
6．已知矩形，，，分别为边的中点.沿直线将翻折成，在点从至的运动过程中，的中点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
7．已知是圆上一动点，则点到直线的距离的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．空间直角坐标系中，点，，定义.如图，正方体的棱长为3，E为棱的中点，点P，M是平面内两个动点，，，则线段长的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知集合，集合，且，则（ ）
A．2B．C．D．
10．已知过点的直线与圆交于A，B两点，为坐标原点，则（ ）
A．的最大值为4B．的最小值为
C．点到直线的距离的最大值为D．的面积为3
11．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题
12．已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为 ．
13．已知在矩形ABCD中，，，其对角线的交点E在第一象限内且到y轴的距离为1，动点沿矩形的一边BC运动，则的取值范围是 ．
14．若实数、、、，满足，，，则的最大值为
四、解答题
15．已知圆经过点，和直线相切，且圆心在直线上，直线经过坐标原点，并且被圆截得的弦长为2.
(1)求直线的方程.
(2)求圆关于直线对称的圆的方程.
16．如图，在长方体中，，和交于点E，F为AB的中点．

(1)求证：平面；
(2)已知与平面所成角为，求点A到平面CEF的距离．
17．已知直线，.
(1)若，求实数的值；
(2)当与相交于点时，证明：点一定在某定直线上，并求出直线的方程.
18．正方形的边长为2，E，F分别为边AD，BC的中点，是线段的中点，现把正方形沿折起，折起后如图所示.设.

(1)求证：无论取何值，与不可能垂直；
(2)设平面与平面的夹角为，时，求的值.
19．已知圆和圆.
(1)若圆与圆相交，求的取值范围；
(2)若直线与圆交于，两点，且，求实数的值；
(3)若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标.
参考答案
1．B
【详解】向量，，，，1，，，0，，，，共面，
，，，，，，，，
，解得，．
故选：B．
2．C
【详解】由题意可知：表示圆，
可得：，
解得：，
又在圆外，所以，得：，
所以k的取值范围为，
故选：C
3．A
【详解】解：如图，
可得，
故
．
．
故选：A
4．C
【详解】不妨设正四面体的棱长是，，
则，，
由正四面体的性质，两两夹角是，
则，
于是，
中，由余弦定理，，则，
设直线与所成角为，则.
故选：C
5．A
【详解】容易知道动直线过定点为，
由可得，所过定点为，
由可知两条动直线互相垂直，即，因为，
所以，
所以，当且仅当时等号成立.
故选：A
6．B
【详解】设与相交于点，如下图所示：
由于在矩形中，分别为边的中点，且，
所以四边形是正方形.
沿直线将翻折成，在点从至的运动过程中不变；
故点的轨迹是以为圆心，半径为的半圆.
设为的中点，
由于的中点为，所以是的中位线，因此，；
由于在翻折过程中，两点的位置关系不变，所以点的位置不变，
因此点的轨迹是以为圆心，半径为的半圆，
即可得的轨迹长度为.
故选：B
7．B
【详解】可得，，
令，解得，即直线过定点，
该定点到圆心距离是，
圆的半径是，于是到圆上一点的最大距离是.
由于直线过的定点在圆外，该直线有可能和圆相切，
和切点重合时，最小距离是
故到直线的距离的取值范围是.
故选：B
8．C
【详解】由题意得，设，，，
点P在平面内，
故当时，，即；
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即，
点的运动轨迹是以为顶点的正方形，
又，设，，则，
又，，故，化简可得，
点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，
圆心到正方形中心的距离为，
正方形的顶点到圆心的最大距离：正方形顶点到的距离为；
正方形顶点到的最小距离：圆心到直线的距离为，
故，，
线段长的取值范围为.
故选：.
9．AD
【详解】解：因为集合，集合，且，
所以直线与直线平行或交于点，
当两线平行时，；
当两线交于点时，，解得．
综上得a等于或2．
故选：AD．
10．ACD
【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径为，
因为，所以点在圆内部，
因为过点的直线与圆交于两点，
所以的最大值为，所以A正确；
因为，
当直线与垂直时，此时弦取得最小值，
最小值为，所以B错误；
当直线与垂直时，点到直线的距离有最大值，
且最大值为，所以C正确；
由，可得，即，
所以的面积为，所以D正确.
故选：ACD.
11．ABD
【详解】A项，如图，连接.
，，，
且平面，
平面，平面，
，同理，，
，且平面，
直线平面，故A正确；
B项，，且，
四边形是平行四边形.
，平面，平面，
平面，点P在线段上运动，
到平面的距离，即点到平面的距离，其为定值，
又的面积是定值，
三棱锥的体积为定值.
不妨设正方体的棱长为1，
则，
即三棱锥的体积为定值，故B正确；
如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
点P在线段上运动，则可设，
则.
C项，，．
所以，
，
因为，则，，
，因为异面直线与所成角为锐角或直角，
故与所成角的取值范围为，故C错误；
D项， ，．
由A选项正确，可知是平面的一个法向量，
∴直线与平面所成角的正弦值为
，
∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确．
故选：ABD.
12．
【详解】因为．
由题意得，所以．
故答案为：.
13．
【详解】解：如图所示，设．
点E是线段AC的中点， ，则．
，，解得，．
为矩形， ，即 ，
，所以B点坐标为，
因为点P在边BC上运动，所以，
由题图可知，或，则或．
故答案为：．
14．
【详解】设,
因为实数，
所以两点在圆上，且,
所以，所以是等边三角形，，
点到直线的距离为，
点到直线的距离为，
在第三象限，所在直线与直线平行，
可设，
由圆心到直线的距离为，可得，解得，
即有两平行线之间的距离为，
所以，
所以，
所以的最大值为。
故答案为：。
15．(1)或；
(2)
【详解】（1）圆心在直线上，设圆心的坐标为，
又圆经过点，和直线相切，而在直线上，是切点，
故圆心到直线的距离等于圆心到点的距离，，解得，
圆，半径，故圆的方程为，
直线经过坐标原点，①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时直线被圆截得的弦长为2，满足条件；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由直线被圆截得的弦长为2且圆的半径为，故圆心到直线的距离为1，
，解得，则直线的方程为，
综上所述，直线的方程为或.
（2）由（1）可知圆的方程为，直线的解析式为，
圆关于直线对称的圆半径不变，只需求圆的圆心关于直线对称的圆的圆心即可，
设关于直线对称的点为，则，
解得，，故圆的方程为.
16．(1)证明见解析
(2)1
【详解】（1）由题意证明如下，
连接，，．

在长方体中，且，
∴四边形为平行四边形．
∴E为的中点，
在中， E，F分别为和AB的中点，
∴．
∵平面，平面，
∴平面．
（2）由题意，
与平面所成角为．连接．

∵长方体中，所以．所以．
∵长方体中，平面，平面，
∴．
∴为直线与平面所成角，即．故
∴为等腰直角三角形，则．
在中，
知．
在中，
，，
∴，
∴，
设点A到平面CEF的距离为h．
由知，，得．
∴点A到平面CEF的距离为1．
17．(1)
(2)，证明见解析
【详解】（1）因为，所以，解得，
又当时，：，：，此时两直线重合，
当时，：，：，此时两直线平行，
故.
（2）由（1）知，当与相交时，
联立解得，
即．
因为（且），
即（且），
所以点A一定在某一条定直线上，直线的方程．
18．(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）由题可知，
以E为原点，和过点且垂直平面的直线为轴，如图，

则由题意可得，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以，所以与不可能垂直，即与不可能垂直；
（2）设平面与平面的一个法向量分别为，
则，，
所以，，
因为，所以，
故可取，得，
所以，
，，
所以
，
所以，
所以，
因为，所以.
19．(1)
(2)
(3)或
【详解】（1）圆的标准方程为，则圆心，，
圆的标准方程为，则圆心，
，
圆与圆相交，，即，解得，
的取值范围.
（2）已知直线与圆交于，两点，设，，
联立，得，
所以，得
，
解得，因为，所以.
（3）
设点坐标为，直线、的方程分别为：，，
即：，，
因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等且两圆半径相等，
由垂径定理得，圆心到直线与直线的距离相等．
故有：，
化简得：或，
因为存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，
所以关于的方程有无穷多解，从而有或，
解得或，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
C
A
B
B
C
AD
ACD
题号
11









答案
ABD