湖北省鄂州市2026届高三第三届普通高中教师专业能力测试（解题大赛）数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知集合，且，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（ ）
A. B. 2C. D.
4. 在中，已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（ ）
A. 轻风B. 微风C. 和风D. 劲风
7. 若对任意实数，函数在上最少有三个不同的零点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 设，则“”是“”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在正三棱柱中，D为中点，则（ ）
A. B. 平面
C D. 平面
10. 已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数是的一个零点，下列结论正确的是（ ）
A. 是奇函数
B. 的最大值为2
C. 若，则的最小值为
D. 若，则的最大值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若直线是曲线一条切线，则_________.
13. 若一个等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为_________.
14. 在平面直角坐标系中，斜率为2的直线与圆交于两点，且点对应的角分别为，则____________ .
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知数列是等比数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
16. 已知椭圆的离心率为，短轴长为.
（1）求C的方程；
（2）若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值.
17. 如图,在四棱锥中，底面，．
（1）证明：平面平面；
（2）设，且点，，，均在球的球面上．
（i）证明：点在平面内；
（ⅱ）求直线与所成角的余弦值．
18. 已知函数.
（1）求的极值.
（2）已知函数
①若没有零点，求的取值范围；
②若有两个不同零点，证明：.
19. 一个不透明的袋子中装有编号分别为的4个小球，每次从袋中随机摸出1个小球并记录编号后放回袋中，当连续两次摸出的小球编号相同时，停止摸球，设停止摸球时已摸球的次数为.记第次摸到的小球编号为.
（1）求与；
（2）设，求与；
（3）当时，为随机变量，若是奇数，则，若是偶数，则，求.
等级
风速大小m/s
名称
2
1.1~3.3
轻风
3
3.4~5.4
微风
4
5.5~7.9
和风
5
8.0~10.1
劲风