湖北省鄂州市2026届高三第三届普通高中教师专业能力测试（解题大赛）数学试卷（含答案）

这是一份湖北省鄂州市2026届高三第三届普通高中教师专业能力测试（解题大赛）数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合M={a,a2}，N={1,2}，且M∩N={1}，则M∪N=( )
A. {1,2}B. {−1,1,2}C. {−2,1,2}D. {−2,−1,1,2}
2.在复平面内，复数(4−3i)(2−i)对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知双曲线C的虚轴长为实轴长的 7倍，则C的离心率为( )
A. 2B. 2C. 7D. 2 2
4.在▵ABC中，已知sin2C+ 2sinBsinC=−csA+csBcsA−csB，则A=( )
A. π4B. π3C. 2π3D. 3π4
5.节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为( )
A. 16B. 25C. 12D. 23
6.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2(风速的大小和向量的大小相同)，单位(m/s)，则真风为( )

A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风
7.若对任意实数a，函数f(x)=sin(ωx+π12)(ω>0)在[a,a+4]上最少有三个不同的零点，则ω的最小值为( )
A. πB. 3π4C. π2D. π4
8.设a∈R，则“a3=3a”是“a13=31a”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，D为BC中点，则( )
A. AD⊥A1CB. BC⊥平面AA1D
C. AD//A1B1D. CC1//平面AA1D
10.已知抛物线C:y2=6x的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线l:x=−32的垂线，垂足为D，过F且与直线AB垂直的直线交l于点E，则( )
A. |AD|=|AF|B. |AE|=|AB|C. |AB|≥6D. |AE|⋅|BE|≥18
11.已知函数f(x)=sinx+sin1x，x0是f(x)的一个零点，下列结论正确的是( )
A. f(x)是奇函数
B. f(x)的最大值为2
C. 若x0>1，则x0的最小值为π+ π2+42
D. 若x0b>0)的离心率为 22，短轴长为2 3．
(1)求C的方程；
(2)若直线l:y=x+t与C交于M,N两点，O为坐标原点，▵OMN的面积为43，求t的值．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD,BC//AD．
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)设PA=AB= 2,BC=2,AD=1+ 3，且点P，B，C，D均在球O的球面上．
(i)证明：点O在平面ABCD内；
(ⅱ)求直线AC与PO所成角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=lnxx2．
(1)求f(x)的极值．
(2)已知函数g(x)=f(x)+f(1x)−a．
①若g(x)没有零点，求a的取值范围；
②若g(x)有两个不同的零点x1,x2，证明：x1+x2>2．
19.(本小题17分)
一个不透明的袋子中装有编号分别为1，2，3，4的4个小球(大小、质地均相同)，每次从袋中随机摸出1个小球并记录编号后放回袋中，当连续两次摸出的小球的编号相同时，停止摸球.设停止摸球时已摸球的次数为X，第k次摸到的小球编号为Yk．
(1)求P(X=2)与P(X=3);
(2)设P(X=n)=an，求a2+a3+⋯+an+4an+1与a2−a3+a4−⋯+(−1)nan;
(3)当X=n时，Sn为随机变量，若Y1+Y2+⋯+Yn是奇数，则Sn=1，若Y1+Y2+⋯+Yn是偶数，则Sn=0，求P(Sn=0)．
参考答案
1.B
2.D
3.D
4.D
5.B
6.A
7.B
8.B
9.BD
10.ACD
11.ACD
12.4
13.±2
14.−45/−0.8
15.解：(1)由a1=2，a4=34，得a1−2+1=1，a4−8+1=27，
因为{an−2n+1}是等比数列，
设{an−2n+1}的公比为q，
所以q3=271=27，得q=3，
则an−2n+1=1×3n−1，
则an=3n−1+2n−1；
(2)记{an}的前n项和为Sn，
则Sn=30+1+31+3+⋯+3n−1+2n−1
=30+31+⋯+3n−1+1+3+⋯+2n−1
=30(1−3n)1−3+(1+2n−1)n2=3n+2n2−12．
16.【详解】(1)由题意，得e=ca= 222b=2 3a2=b2+c2，解得a2=6,b2=3,c2=3，
则椭圆C的方程为x26+y23=1．
(2)设Mx1,y1,Nx2,y2，
联立y=x+tx26+y23=1，得3x2+4tx+2t2−6=0，
则Δ=16t2−122t2−6>0，解得−3