安徽省联考2025-2026学年高二上学期10月联考数学试题（Word版附解析）

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考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】借助正弦函数周期性计算即可得.
【详解】最小正周期.
故选：C.
2. 已知为直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据方向向量与直线的倾斜角的关系进行求解即可.
【详解】因为为直线的一个方向向量，
所以直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为.
故选：C.
3. 若表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆焦点在轴上列不等式计算求解.
【详解】因为表示焦点在轴上的椭圆，
所以，解得.
故选：B.
4. 若以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆性质列式求离心率.
【详解】设椭圆的长轴长和短轴长分别为，焦距为，其中，
由题意知，所以，故椭圆的离心率.
故选：C
5. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用二倍角公式以及同角三角函数的基本关系求值.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：A
6. 已知点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助圆的一般方程定义及点与圆的位置关系计算即可得.
【详解】因为曲线表示圆，点在圆的外部，
所以，整理得，
由可得，
由可得或，
故.
故选：D.
7. 已知直线的倾斜角为，且圆上恰有3个点到直线的距离为2，则在轴上的截距为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】可设的方程为，由题意可知圆心到直线的距离，代入运算即可.
【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，
因为直线的倾斜角为，则直线的斜率为，
可设的方程为，即，
若圆上恰有3个点到直线的距离为2，
则圆心到直线的距离，解得.
故选：D
8. 已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量关系找到相关点的坐标关系，再代入相关点坐标即可得动点轨迹方程.
【详解】设，，由，得：
，则有，
因为为圆上任意一点，
所以，代入可得：
，整理得：，
即方程就是动点的轨迹方程.
故选：A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线：，：，，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 与过同一个定点
C. 若，则与关于y轴对称D. 若与交于点M，则为定值
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A，直接根据两直线垂直的充要条件即可判断；对B，变形直线方程即可得到其所过定点，对C，代入观察两直线形式即可判断；对D，法一：直接联立求解即可，法二：利用几何意义，找到交点轨迹即可判断.
【详解】对于A，两条直线的一般式系数满足，所以，故A正确；
对于B，：，则过定点，过定点，故B错误；
对于C，若，则：，：，所以与关于y轴对称，故C正确；
对于D，法一：联立方程组得，解得，
所以，为定值，
法二：综合选项A、B的结论可知且过定点，过定点，
则其交点的轨迹为以为直径的圆，且去掉点，则其直径长为4，则，故D正确.
故选：ACD
10. 在中，内角的对边分别为，已知，且，，则（ ）
A.
B.
C.
D. 的面积为
【答案】AD
【解析】
【分析】由同角三角函数关系，求出，判断A的正误；代入已知条件，求出，判断B的正误；根据正余弦定理，解三角形，判断C的正误；根据正弦定理面积公式，求出三角形面积，判断D的正误.
【详解】因为，，所以，所以A正确；
由代入，得，解得，
因为，所以，所以B错误；
由，得，因为，所以，
由正弦定理得，代入得，解得，
由余弦定理，代入得，解得或（舍），所以C错误；
由正弦定理面积公式得，所以D正确；
故选：AD
11. 已知点，圆，动点满足为坐标原点，记点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ）
A. 若过点的直线与圆相切于点，且，则
B. 若过点的直线与圆相切于点，则面积的最大值为
C. 若与圆仅有一个公共点，则
D. 若与圆有两个公共点，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据相切列式计算求参判断A，应用基本不等式计算面积最值判断B，先求出轨迹的方程再根据交点个数判断圆和圆的位置关系进而列式求解判断C，D.
【详解】对于A，由相切知，代入可得，故A正确；
对于B，因为的面积，
由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，则面积的最大值为，故B正确；
设，因为，即，所以，得轨迹的方程为1）.
对于C，若与圆仅有一个公共点，则圆与外切或内切，若与圆外切，则，此时无解；
若与圆内切，则，解得或，故C错误.
对于D，若与圆有两个公共点，则，解得，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数，则_______.
【答案】2
【解析】
【分析】直接根据复数的乘法运算和复数模公式即可得到答案.
【详解】，则.
故答案为：2.
13. 已知椭圆的左焦点为和是椭圆上关于轴对称的两个动点，当的周长最大时，的面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设椭圆的右焦点为，根据题意结合椭圆的定义分析可得当且仅当直线经过点时取等号，进而可得面积.
【详解】由题意可知：，
设椭圆的右焦点为，则，
如图，

的周长为，
当且仅当直线经过点时取等号，此时的方程为，
可得，所以.
故答案为：.
14. “直线系”是具有某一共同性质的直线的集合，通常用含参数的直线方程来表示，当参数取不同值时，方程表示该直线系中的某一条直线.已知，是直线系中的两条直线，若，则，之间的距离为_____.
【答案】4
【解析】
【分析】设，，根据直线平行列方程，然后利用两角差的正弦公式和正弦函数性质得或，从而，最后代入平行直线距离公式求解即可.
【详解】不妨设，，
因为，所以，所以，由题意，所以或，
不妨设，此时，即，由于常数项为，而，故两直线不重合，
所以，之间的距离为.
故答案为：4
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知点，直线经过点.
（1）若与直线垂直，求的方程；
（2）若与线段有交点，求的倾斜角的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由两点的斜率公式求出，进而得到直线的斜率，利用斜截式方程表示出直线，得解；
（2）求出，数形结合得到直线的斜率范围，根据斜率与倾斜角关系得解.
【小问1详解】
因为，所以直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
【小问2详解】
，，如图，设直线的斜率为，
要使得直线与线段有交点，则或，
所以直线的倾斜角的范围为.
16. 已知点，点在轴负半轴上，直线在两坐标轴上的截距相等.
（1）求直线的方程；
（2）已知点和，点在直线上运动，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设出直线的截距式方程，代入点的坐标可得答案；
（2）求出点关于直线的对称点，利用两点间直线段最短可求最小值.
【小问1详解】
因为点在轴的负半轴上，所以设直线的方程为，
将点的坐标代入，得，解得，
所以直线的方程为.
【小问2详解】
设点关于直线对称点为，
则，故只需求出即可.
由（1）知直线的方程为，其斜率为，
则，解得，即.
所以，
所以的最小值为10.

17. 已知椭圆的离心率为，且过点，点是上任意一点.
（1）求的方程.
（2）设的左、右顶点分别为、，当点与不重合时，证明：与的斜率之积为定值.
（3）设的左、右焦点分别为、，是否存在点，使得?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用离心率公式与所过点计算即可得；
（2）设，则有，再借助斜率公式计算即可得；
（3）法一：设，结合向量数量积公式计算可得，即可得解；法二：求出使得的点的轨迹方程后联立曲线，可得该方程组无解，即可得.
【小问1详解】
设的半焦距为，离心率，所以，
又过点，所以，则有，可得，从而，
所以的方程为；
【小问2详解】
由（1）可得，设，
则，所以，
故，
即与的斜率之积为定值；
【小问3详解】
方法一：由（1）可得，
设，则，
又，且，
所以，
故不存在满足的点.
方法二：由（1）可得，
满足的点的轨迹是以为直径的圆，
联立得，化简得，故此方程组无解，
所以椭圆与圆没有交点，即不存在满足的点.
18. 已知过点且斜率为的直线与圆交于，两点.
（1）求的最小值，并求取最小值时的方程；
（2）若为锐角，为坐标原点，求的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）先把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心和半径，当与垂直时，最小，进而可求出其值，再根据点斜式求出直线的方程.
（2）设出直线的方程为，与圆的方程联立，化为关于的一元二次方程，由为锐角，可得，再结合根与系数的关系可求出的取值范围.
【小问1详解】
圆的标准方程为，圆心为，半径.
因为，所以点在圆内，
则当与垂直时，取最小值.
此时点到的距离，所以.
因为，所以此时的方程为，即.
【小问2详解】
设，.
由题可知的方程为.
联立得整理得，
则
所以.
因为为锐角，所以，
即，解得.
又因为点在圆内，和不可能同向，
所以的取值范围是.
19. 已知圆，过直线上一动点作圆的两条切线，切点分别为.
（1）若直线的斜率为，求两条切线的斜率；
（2）当取最小值时，求四边形的周长；
（3）证明：直线过定点.
【答案】（1）和0
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）首先得，显然过点且与圆相切切线斜率存在，故可设切线方程为，结合直线与圆的相切可列方程求解；
（2）分析知，，即要求的最小值，则需取，进一步即可求解；
（3）设，从而以线段为直径的圆的方程为，可以看成以线段为直径的圆与圆的公共弦，两圆方程相减即可得到的方程，进一步即可得证.
【小问1详解】
由已知得圆的圆心为，半径为1，
则直线方程为，令，得，所以.
设切线方程为，即.
圆心到切线的距离，解得或，
所以两条切线的斜率分别为和0.
【小问2详解】
由题意知与全等，所以，
又，所以.
所以当且仅当取最小值时，取最小值.
而，即要求的最小值.
当取时，取最小值3，此时，
此时四边形的周长为.
【小问3详解】
因为，所以四点都在以线段为直径的圆上.
设，因为，
所以以线段为直径的圆的方程为.
即，又圆，
两式作差，得直线的方程为.
令，得，
即直线经过定点.