浙江省杭州市临平区名校2025-2026学年九年级上学期10月月考 数学试卷（解析版）

这是一份浙江省杭州市临平区名校2025-2026学年九年级上学期10月月考 数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 已知的直径为，若点到圆心O的距离为，则点（ ）
A. 在内B. 在上
C. 在外D. 无法确定
【答案】C
【解析】已知的直径为，则半径为．
点A到圆心O的距离为，因为 ，所以点A在外．
故选：C．
2. 抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）
A. （1，3）B. （﹣1，3）
C. （1，﹣3）D. （3，﹣1）
【答案】A
【解析】抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标是（1，3）．
故选：A．
3. 若气象部门预报明天下雨的概率是，下列说法正确的是（ ）
A. 明天一定不会下雨B. 明天下雨的可能性比较小
C. 明天下雨的可能性比较大D. 明天一定会下雨
【答案】C
【解析】若气象部门预报明天下雨的概率是，说明明天下雨的可能性比较大；
故选C．
4. 如图，在中，，的度数是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，
故选：C．
5. 已知，，是二次函数图象上的点，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵的对称轴为直线，开口向下，
点，，均在二次函数图象上，
且
∵抛物线开口向下，
∴抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越小，
∴，
故选：D．
6. 抛物线的函数表达式为，若将抛物线先向上平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，则平移后该抛物线的函数表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意，平移后解析式为：；
故选D．
7. 杭温高铁的开通，进一步完善了区域铁路网布局，便利沿线人民群众出行，带动旅游资源开发，有力地服务长三角一体化高质量发展．如图是其中一个隧道的横截面示意图，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，若是弦的中点，经过圆心交优弧于点，且，则的半径为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如图所示，连接，
设此圆的半径为，则，
∵是弦的中点，经过圆心，
∴，
∵，
∴，，
在中，，
即，
解得：，
即的半径长为．
故选：A．
8. 设一元二次方程的两实根分别为，，且，则，满足（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵的两根分别为1、2，
∴抛物线与x轴交于点．
∴将抛物线往下平移m个单位可得到新抛物线，且一元二次方程的两实根分别为，，如图所示，
∴由图象可知：．
故选：C．
9. 如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB=3∠ADB，则（ ）
A. DE=EBB. DE=EB
C. DE=DOD. DE=OB
【答案】D
【解析】连接EO.
∴∠B=∠OEB，
∵∠OEB=∠D+∠DOE，∠AOB=3∠D，
∴∠B+∠D=3∠D，
∴∠D+∠DOE+∠D=3∠D，
∴∠DOE=∠D，
∴ED=EO=OB，
故选D.
10. 某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“星”（分别记作点，，，）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，，，如图2所示，则点到的距离为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系．
由题意可得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为，
故设抛物线的解析式为，
将点的坐标代入上式，得，
解得：，
抛物线的解析式为．
点的横坐标为2，
点的纵坐标为，
点到的距离为．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 请写一个二次函数，满足以下两个条件：（1）函数图象的开口向上；（2）函数图象经过点．该二次函数的表达式为 ______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】设，
将代入，
∴，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
12. 如图所示，为的直径，点、在圆上，，则 ___________．
【答案】
【解析】连接，
∵为的直径，，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 已知二次函数中的和满足如表：
根据表格内容，则的值为______．
【答案】0
【解析】当和时，值均为3，
抛物线的对称轴为直线，
又，且当时，，
当时，．
故答案为：0．
14. 如图，四边形是的内接四边形，，则________
【答案】
【解析】∵，，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 对于二次函数，当时，随的增大而增大．则的取值范围为______．
【答案】
【解析】由二次函数，可知：开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵当时，随的增大而增大，
∴，即；
故答案为．
16. 如图，已知在中，，，，以为直径向外作圆O，P是半圆O上的一个动点，M是的中点，当点P沿半圆O从点A运动至点B时，点M的运动路径长为______．
【答案】
【解析】连接，取的中点D，连接，
在中，，，，
则由勾股定理得，
∴，
∵点M是的中点，点D是的中点，
∴，
∴点M在以D为圆心，为半径的圆上运动，
∴点M的运动路径长为 ，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共72分）
17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）的外接圆的半径为________；
（2）将绕点B顺时针旋转后得到，请在图中画出；
（3）在（2）的条件下，求出点C经过的路径长．
【答案】（1） （2）见解析 （3）
【解析】（1）∵，
∴，
设外接圆的半径为，则有：，
故答案为：
（2）如图，即为所作，
（3）∵，
∴点C经过的路径长
18. 如图，在中，.
（1）求证:平分.
（2）若，试求的度数.
【答案】（1）证明见解析；（2）45°
【解析】解：（1）延长半径交于,
∴.
∵,
∴.
∴.
∴.
（2）∵，,
∴,
∴.
19. 一个不透明的布袋中装有4个只有颜色不同的球，其中1个黄球、1个白球、2个红球．
（1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球．求两次摸出的球恰好都是红球的概率；
（2）现再将个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求的值．
【答案】（1）两次摸出的球恰好都是红球的概率
（2）
【解析】解：（1）根据题意，画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好都是红球的占2种，
所以两次摸出的球恰好都是红球的概率；
（2）根据题意得：，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
故．
20. 已知二次函数的图象经过，两点．
（1）求二次函数解析式并试判断点是否在此函数图象上．
（2）当时，求取值范围．
【答案】（1）；点不在此函数图象上． （2）
【解析】解：（1）∵二次函数的图象经过，两点，
∴
解：
∴，
当时，，
∴点不在此函数图象上．
（2）∵，
∴对称轴，
∴当时，；
当时，；
∴．
21. 如图所示，在中，以为直径的分别交于点，交于点，连接，若．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】解：（1）∵，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）连接，如图所示：
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴设，则有，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴．
22. 如图，用长为24米的篱笆靠一道长为米的墙围一个矩形养鸡场（靠墙一面不用篱笆）．
（1）当时，求养鸡场的面积的最大值；
（2）若可围成的矩形养鸡场的面积的最大值为67.5平方米，求的值．
【答案】（1）养鸡场的面积的最大值为72平方米
（2）
【解析】解：（1）设矩形的长为x米，则宽为米，由题意可知，
∴设矩形的面积为S，则，
∵，抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，即，面积S的最大值为72；
即养鸡场的面积的最大值为72平方米．
（2）令得：，
解得：或，
由可知，当时，，
由（1）知，此时矩形面积的最大值在时取得，面积最大值为72平方米，故舍去．
∴．
23. 二次函数（，，是常数，），当时，函数有最小值．
（1）若该函数图象的对称轴为直线，并且经过点，求该函数的表达式；
（2）若一次函数的图象经过二次函数图象的顶点．
①求该二次函数图象的顶点坐标；
②若、是该二次函数图象上的两点，若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】解：（1）由题意得函数图象的顶点坐标为，
所以可设函数表达式为，
把代入，解得，
所求函数的表达式为．
（2）①由题意，将顶点代入，得到
化简，得．
又因为，
∴
所以，．所以，
所以顶点坐标为．
②由①可知，函数顶点坐标为，，
所以可设函数表达式为．
所以．
．
∵，
∴
∵二次函数有最小值，所以，
∴，
∴．
24. 如图1，是的直径，弦于点，是上一点，，的延长线交于点，作于点．
（1）求证：；
（2）若，平分，请在图2中补全图形并求出的值；
（3）猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析 （2）补全图形见解析，4
（3）．见解析
【解析】解：（1）连接，如图，
∵四边形为圆的内接四边形，
∴，
∵是的直径，弦于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）由题意补全图形如下：
∵平分，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为圆的直径，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
设的半径为，则，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）线段之间的数量关系为．理由：
在的延长线上截取，连接，如图，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵是的直径，弦，
∴，∴，∴，
∵，∴，
∴．
…
0
1
…
…
0
3
4
3
m
…