江苏省扬州中学2025-2026学年高三上学期10月阶段性测试-数学试题（含解析）

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2025.10
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数值域和对数函数定义域求出集合A，B，然后由交集运算可得.
【详解】由指数函数性质可知，，
由得，所以，
所以.
故选：D
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由共轭复数的概念与复数的四则运算法则求解即可
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：A
3. 已知函数的定义域为，当时，；当时，；当时，，则（ ）
A. －6B. －1C. 0D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】先利用函数在时的周期性将转化为求，再利用函数在的奇函数性质转化为求，最后直接代入上的解析式计算即可.
【详解】由题，当时，
等价于当时，
即在上是周期为1的周期函数
则
又当时，
所以
而当时，
所以
则
故选：D.
4. 某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有4位男生，6位女生进入决赛．现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则下列选项错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用概率的乘法公式计算可判断A；利用条件概率公式计算可判断B；事件B可分为两种情况：第一位出场的是男生且第二位出场的是女生；第一位出场的是女生且第二位出场的是女生，利用概率的乘法公式计算可判断C；利用概率的加法公式求解可判断D.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，，故B正确；
对于C，事件B可分为两种情况：
第一位出场的是男生且第二位出场的是女生；第一位出场的是女生且第二位出场的是女生，
，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：A
5. 已知菱形的边长为2，，是菱形内一点， 若，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】易得为等边三角形，设点为的中点，根据，可得点为的重心，从而可求得的长度，再根据数量积的定义即可得解.
【详解】解：在菱形，，则为等边三角形，
因为，
所以，
设点为的中点，
则，所以，
所以三点共线，所以为的中线，
同理可得点的中线过点，
所以点为的重心，
故，
在等边中，为的中点，则，
所以.
故选：D.
6. 已知不等式 的解集 若对，不等式 成立，则实数m的最大值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合三个二次之间的关系列式求参数，恒成立问题结合二次函数的性质列式求的取值范围，即可得结果.
【详解】不等式的解集为，则方程的两根为，，且，
所以，解得，
不等式，即为，
故不等式对恒成立，
∵二次函数的对称轴为，则有：
①，解得；或②，无解；
综上所述：，所以实数的最大值为．
故选：
7. 已知，则的值为（ ）
A. －B. －C. －D. －
【答案】B
【解析】
【分析】利用两角和的正切得tan（α），由此能求出tanα,再利用二倍角公式和同角三角函数关系式求解即可．
【详解】∵tan（α），
解得tanα．


．
故选B
【点睛】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
8. 已知实数满足，则的值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过不等式构造两个函数，分别分析两个函数的最值情况即可得答案.
【详解】由，变形为.
令，，.则不等式变为.
因，当，；当，.
所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数.
又，当时，，；当，，.
所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数.
又因为成立，且，.
所以只能是，所以，解得，所以.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数的最小正周期为，且对于恒成立，则（ ）
A. 在区间单调递减
B. 在区间有两个零点
C. 是曲线的一个对称中心
D. 当时，函数取得极值
【答案】AB
【解析】
【分析】先通过周期和最值点求出解析式，
对于A，通过的范围，求出的范围，可得单调性；
对于B, 通过的范围，求出的范围，可得零点个数；
对于C，将代入计算可得答案；
对于D，将代入计算可得答案.
【详解】，
，
对于 恒成立
，解得，
对于A，，，在上单调递减，故在区间单调递减，A正确；
对于B，，，在上有两个零点，故在区间有两个零点，B正确；
对于C，，故不是曲线的对称中心，C错误；
对于D，，故当时，函数不取极值，D错误；
故选：AB.
10. 已知函数，则（ ）
A. 当时，在R上单调递增
B. 当时，有两个极值
C. 过点且与曲线相切的直线恰有两条
D. 恒成立
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，求导，利用导数确定单调性即可；对于B，时，易知有2个零点，再根据单调性可确定极值点个数；对于C，设切点，根据导数的几何意义写出切线方程，再代入点，得到方程，再确定方程解的个数即可判断；对于D，代入计算即可判断.
【详解】对于A，，，
，所以在R上单调递增，故A正确；
对于B，，，，
则有两个零点，不妨设为，，
所以当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以有两个极值，故B正确；
对于C，不妨设切点为，则 ，
切线方程为，
整理得，又过，
所以，即，
又，所以无根，
即只有一个解，
所以过点且与曲线相切的直线只有一条，故C错误；
对于D，
，故D正确.
故选：ABD.
11. 如图，棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，点在棱上，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，且，则三棱锥体积为定值
B. 若，则动点所围成的图形的面积为
C. 若，则的最小值为3
D. 若动点满足，则的轨迹的长度为
【答案】ABD
【解析】
【分析】运用向量运算、线面垂直性质、正弦定理、空间直角坐标系相关知识，通过对向量关系判断点的轨迹，利用线面垂直确定点的轨迹图形，由正弦定理和坐标运算求点的轨迹方程及轨迹长度.
【详解】对于A，因为动点在正方体内及其边界上运动，
且，，则动点的运动轨迹为线段.
由于，平面，所以平面.
故三棱锥的体积为定值，A正确.
对于B，在正方形中，.
在正方体中，因为平面，又平面，所以.
因为，，，且，平面，所以平面.
动点在正方体内及其边界上运动，且，
所以动点围成的图形是矩形，其面积为，故B正确.
对于C，设边上的高为，则.
由正弦定理可得，所以，故.
以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系.
则，，.
设，，，，则，.
又，则有，整理得，
所以动点的轨迹是以为球心，为半径且位于正方体内的部分球面.
又，所以，故C错误.
对于D，由，设，，，则，
即，化简得，表示以为球心，半径为的球.
又，，则，即，
化简得，表示以为球心，半径为的球.
两个球的交线轨迹是一段圆弧，计算其长度，两球心距离为，半径均为，
则交线圆弧对应的圆心角为，长度为，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则满足的实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，由奇函数的定义可得函数为奇函数，由函数单调性的性质可得函数在上为减函数；据此可得，解可得的取值范围，即可得答案．
【详解】解：根据题意，函数，，即函数为奇函数，
又由在上为减函数，在上增函数与，则函数在上为减函数，
则
，
解可得：，
即的取值范围为；
故答案为：
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是得到关于的不等式，属于基础题．
13. 在中，，点在线段上且与端点不重合，若，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据，利用平面向量基本定理可得，利用基本不等式可求得，结合对数运算可得结果.
【详解】，，

在线段上且与端点不重合，，且，，
（当且仅当时取等号），，
.
故答案为：.
14. 若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足恒成立，则称直线为和的“媒介直线”.已知函数，，若和之间存在“媒介直线”，则实数的范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】结合函数图像，利用临界情况，同时与和均相切求解即可.
【详解】恒成立，即的图像一直在和之间，
，
当同时与和均相切时，方程和方程均只有一个解，
即和均只有一个解，
故或，解得或，
结合图像可知，“媒介直线”的截距.
故答案为：
【点睛】思路点睛：本题考查函数新定义，注意理解新定义，然后数形结合，利用临界情况求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A；
（2）若边上的中线的长度为，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用诱导公式和两角和的正弦公式化简得，再利用辅助角公式求角即可；
（2）由是中点可得，两边平方结合数量积公式和运算律可得，再利用均值不等式求出的最大值，代入三角形的面积公式即可.
【小问1详解】
在中，，
代入整理得，
又因为，，所以，
所以，解得，
因为，所以，解得.
【小问2详解】
因为是中点，所以，
两边平方得，
所以，即，
又由均值不等式可得，
当且仅当时等号成立，所以，
所以，即面积的最大值为.
16. 已知函数，函数在区间上的最大值为4，.
（1）求的解析式；
（2）设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）判断在上的单调性，结合其最大值和求得，即得答案；
（2）结合（1）求出的表达式，继而将在上有解，转化为在上有解，利用换元结合二次函数性质即可求得答案.
【小问1详解】
，其图象对称轴为，
，在单调递增，
即，.
又，则有即，所以，，
所以的解析式为.
【小问2详解】
由（1）得，
则在上有解，即在上有解，.
令，则在上有解，
所以，
又，，故当时，取到最大值1，
即，所以，
所以实数k的取值范围是.
17. 红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.

（1）根据散点图判断，与（其中…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1）
附：回归方程中，，
（3）根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择.
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由.
方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；
方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万；
方案3：不采取防虫害措施.
【答案】（1）更适宜
（2）
（3）选择方案1最佳，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据散点图的形状，可判断更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型；
（2）将两边同时取自然对数，转化为线性回归方程，即可得到答案；
（3）求出三种方案的收益的均值，根据均值越大作为判断标准.
【小问1详解】
由散点图可以判断，更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型.
【小问2详解】
将两边同时取自然对数，可得，
由题中的数据可得，，，
所以，
则，
所以z关于x的线性回归方程为，
故y关于x的回归方程为；
【小问3详解】
用，和分别表示选择三种方案的收益.
采用第1种方案，无论气温如何，产值不受影响，收益为万，即
采用第2种方案，不发生28℃以上的红蜘蛛虫害，收益为万，
如果发生，则收益为万，即，
同样，采用第3种方案，有
所以，，
，
.
显然，最大，所以选择方案1最佳.
18. 如图，在三棱锥中，，，是线段上的点.

（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长；
（3）若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接、，推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量可得出关于的方程，解出的值，即可求得的长；
（3）设，设，根据空间向量的坐标运算求出点的坐标，将三棱锥的体积表示为关于的函数关系式，
利用基本不等式求出三棱锥体积的最大值，利用等号成立的条件求出的值，可得出点、的坐标，求出平面的法向量，
设，求出的坐标，根据求出的值，即可得解.
【小问1详解】
取的中点，连接、，
因为，，则，
所以，所以，所以，
又因为，所以，则，
又因为，所以，
又因为，，、平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
【小问2详解】
因为平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，所以，，
因为为棱上的点，设，其中，
所以，，且，
设平面的法向量为，
则，
不妨取，可得，
因为线与平面所成角的正弦值为，
所以，
则，化简可得：，
解得：或（舍去）.
所以.
【小问3详解】
设，因为，其中，
所以，，可得，即点，
因为平面，则点，，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故当点为线段的中点时，三棱锥的体积取最大值，
此时，点，

由（2）可知，此时，平面的一个法向量为，
设，其中，
则，
因为平面，则，
所以，，解得，
所以，，
所以.即的长为.
【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.
19. 函数的定义域为，，，为处的切线.
（1）的最大值；
（2）证明：，除点外，曲线均在上方；
（3）若，证明：对任意的，有.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）构建，利用导数判断的单调性和最值，即可得结果；
（2）根据导数的几何意义求的方程，构建，利用导数判断的单调性，进而证明不等式；
（3）构建，分析可知在上单调递增，构建，根据单调性分析证明.
【小问1详解】
构建，可知函数的定义域为，
且，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，
则，所以的最大值为.
【小问2详解】
因为，则切线的斜率为，
可知直线的方程为，即，
构建，则，
由（1）可知：在上单调递增，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得；
当时，则，且，可得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，当且仅当时，等号成立，
所以除点外，曲线均在上方.
【小问3详解】
由题意可知：，则，
构建，则，
构建，则，
可知在上单调递增，则，
即在上恒成立，可知在上单调递增，
原不等式等价于，
构建，即证，
因为，
则，
因为在上单调递增，则，可得，
可知在上单调递增，且，可得，
所以对任意的，有.
参考数据（）
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