浙江省杭州学军中学2025-2026学年高一上学月考卷1（10月）数学试卷（Word版附解析）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 设集合，．若，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】∵ 集合，，
∴是方程的解，即
∴
∴，故选C
2. 设，是实数，则“”是“”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【详解】本题采用特殊值法：当时，，但，故是不充分条件；当时，，但，故是不必要条件.所以“”是“”既不充分也不必要条件.故选D.
考点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质.
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求得，然后根据子集的概念判断出正确选项.
【详解】由于，所以，其它选项不正确.故选C.
【点睛】本小题主要考查补集概念和运算，考查子集的概念和识别，属于基础题.
4. 已知命题 ，那么命题 的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得出答案.
【详解】解：根据存在量词命题的否定为全称量词命题，
可得命题 的否定为.
故选：C.
5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数的定义域为，知，可得，解不等式即可求解.
【详解】由函数的定义域为，知，
所以在函数中，，解得：
所以函数的定义域为
故选：C
【点睛】方法点睛：本题考查求抽象函数的定义域，求抽象函数的定义域的方法：
（1）已知的定义域为，求的定义域：求不等式的解x的范围，即为的定义域；
（2）已知的定义域为，求的定义域：由确定的取值范围，即为的定义域.
（3）已知的定义域，求的定义域：先由的定义域，求得的定义域，再由的定义域，求得的定义域.
6. 已知正数，满足，那么的最小值是（ ）
A. 1B. C. 9D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值.
【详解】因为正数，满足，
所以，即.
所以（当且仅当，即时等号成立）.
所以的最小值是.
故选：B
7. 已知函数的值域是，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可知函数的值域包含，分与两种情况讨论，可得出关于实数的不等式，进而可求得实数的取值范围.
【详解】由于函数的值域是，
则函数的值域包含.
当时，，此时函数的值域为，合乎题意；
当时，，要使得二次函数的值域包含.
则，解得或.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】本题考查复合型二次函数的值域求参数，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于中等题.
8. 已知函数是定义在上的单调函数，且，则的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，设，代入原式可得，再令，代入原式可得，结合函数的单调性列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】设，由题意可知，因为，
令，则，即，所以，
因为函数的定义域为，所以，即，
令，则，
即，所以，
又是定义在上的单调函数，所以，
整理得，解得或（舍）.
故选：B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 函数性质描述正确的是（ ）
A. 奇函数B. 偶函数C. 在上单调递减D. 在上单调递增
【答案】BC
【解析】
【分析】利用奇偶函数的定义、二次函数的单调性判断作答.
【详解】函数定义域为R，，函数是偶函数，A错误，B正确；
当时，，即函数在上单调递减，C正确；
当时，，显然函数在上单调递增，由选项C知在上不单调，D错误.
故选：BC
10. 定义集合A、B的一种运算：，若，，则（ ）
A. 的子集个数为15
B. 中的所有元素之积为120
C. 中的所有元素之和为14
D. 中的元素个数为5
【答案】BC
【解析】
【分析】我们先根据定义求出，然后根据选项逐项判断.
【详解】当时，分别为，；
当时，分别为，；
当时，分别为，.
所以.
选项A：一个集合有个元素，其子集个数为，有个元素，子集个数为，不是，故A错误；
选项B：中所有元素之积为，故B正确；
选项C：中所有元素之和为，故C正确；
选项D：的元素个数为，不是，故D错误.
故选： BC
11. 已知实数，满足，，，则的可能取值是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据基本不等式的概念，对已知条件进行换元，再根据一元二次不等式，求出参数范围，判断结果.
【详解】由题意得，解得，
由不等式性质可知，即，
两边同时平方，化简得，解得，
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分.
12. 设函数，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】将自变量依次代入对应解析式即可求得结果.
【详解】，.
故答案为：.
13. 已知集合，，若，，则________.
【答案】19
【解析】
【分析】由题意可得，所以5和6是方程的两个根，代入解方程可求出，即可求出的值.
【详解】因为，，
，，所以，
所以5和6是方程的两个根，
所以，解得，，
所以.
故答案为：19.
14 设，若对任意，都有，则___________.
【答案】－3
【解析】
【分析】记，分类讨论，首先分析或者时不合题意，然后确定的解，结合三次函数的性质，及不等式的形式，得出解之间的关系，再根据求得结果．
【详解】记，
若，则，时，不可能恒成立，
若，则，，时，也不可能恒成立，
且时，若，则恒成立，因此在时恒成立，不可能，
因此，因此由得或，
由三次函数的性质，，且，
因为，所以，．
．
故答案为：－3．
四、解答题：本小题共4小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，集合，集合.
（1）求，；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由反比例函数值域可求得集合，根据交集、并集和补集定义可直接求得结果；
（2）根据集合包含关系，结合二次函数图象分析可构造不等式组求得结果.
【小问1详解】
，，
；.
【小问2详解】
，，
令，则，解得：，
即的取值范围为.
16. 已知函数
（1）求的值及函数的解析式；
（2）求关于x的不等式解集.（其中）
【答案】（1），
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）代入求值，换元求解析式；
（2）将不等式写出因式乘积的形式，讨论两个因式的根的大小求出不等式解集.
【小问1详解】
令，可得
由题意，函数，令，所以，
则，所以.
【小问2详解】
由（1）知，
即不等式转化为，则，
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
综上所述，当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为.
17. 济南市地铁项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为500人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为.
（1）求的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量；
（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.
【答案】（1）；
（2）发车时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元.
【解析】
【分析】（1）由题设，有且，求k值，进而写出其分段函数的形式即可.
（2）由（1）写出解析式，讨论、求最大值即可.
【小问1详解】
由题设，当时，令，
又发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，
∴，解得.
∴，
故时，，
所以当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量为人.
【小问2详解】
由（1）知：，
∵时，当且仅当等号成立，
∴上，
而上，单调递减，则，
综上，时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元.
18. 设函数.
（1）当a=8时，求f(x)在区间[3，5]上的值域；
（2）若，使f(xi)=g(t)，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求得函数，根据函数的单调性，求解函数的值域；
（2）首先求解函数，并判断两个函数的单调性，讨论时，，列式求的取值范围，以及当时的情况；另解，，分，，讨论两个函数的单调性，利用值域关系，求实数的取值范围.
【小问1详解】
当时， ，
所以函数在上递减，在上递增，
又，，，
所以函数在上的值域是，
【小问2详解】
，
因为，所以在上递增，在上递减，在上递增，
所以符合题意的必须满足或，即或，
（ⅰ）当时，
函数在上递减，在上递增，
在上递增，
由题意得，关于的方程在至少有两个不同的解，等价于，
即 ，解得：
所以
（ⅱ）当时，
，而当时，，
所以方程无解，
综上，实数的取值范围是，
另解：，
，
因为，所以在上递增，在上递减，在上递增，
（ⅰ）当时，
在上递增，因，所以在上递增，，
当在上递增，所以不存在，使得，
（ⅱ）当时，
在上递增，，
①若，在上递增，所以不存在，使得，
②若，在上递减，在上递增，
由题意，关于的方程在至少有两个不同的解
所以 ，解得：
所以；
③若，
而当时，，所以不存在，使得，
综上，实数的取值范围是
【点睛】本题考查分段函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，本题的关键是将任意，存在问题转化为求函数的值域，难点是根据分段函数的单调性，讨论的取值，分情况讨论函数的值域.