浙江省杭州学军中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试卷（Word版附解析）

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命题人：张希特 审题人：黄黎蓉
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. (0，2] B. (0，2) C. (1，2) D. (1，2]
【答案】C
【解析】
【分析】化简集合 ，根据集合的交集运算的定义求 .
【详解】不等式 的解集为 ，
不等式 的解集为 ，
故 ， ，
所以 ，
故选：C.
2. 已知点 满足 ，则 的最小值为（ ）
A. 2 B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点 的轨迹为抛物线，进而可得其方程为 ，设 ，
再利用两点间的距离公式，即可求解.
【详解】因为 表示点 到点 的距离； 表示点 到直线 的距离，
又 ，所以点 到点 的距离等于点 到直线 的距离，
由抛物线的定义知，点 的轨迹为抛物线，抛物线方程为 ，
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设 ，则 ，
当且仅当 时，等号成立，
故选：C.
3. 如图，正方形 的边长为 ，取正方形 各边的中点 ， ， ， ，作第 2 个正方形
，然后再取正方形 各边的中点 ， ， ， ，作第 3 个正方形 ，依此方法一直继
续下去.则所有的正方形面积和将趋近于（ ）
A. B. 8 C. D. 以上 A，B，C 都不正确
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，将各正方形面积依次排成一列可得一等比数列，再利用等比数列前 项和公式计
算判断即得.
【详解】依题意，正方形 的面积为 ，正方形 的面积为 ，正方形 的面积为
，
将各正方形面积从大到小依次排成一列得等比数列 ，首项 ，公比 ，
其前 项和 ，当 趋近于正无穷大时， 趋近于 0， 趋近于 8，
所以所有的正方形面积和将趋近于 8.
故选：B
4. 将 项数列 重新排序为 的操作称为一次“洗牌”，即
排序后的新数列以 为首项，将 排在 之后，将 排在 之后．例如，当 时，数列
经过一次“洗牌”后变为 ．则数列 经过 3 次“洗牌”后得到的新
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数列是（ ）
A. 8，7，6，5，4，3，2，1 B. 1，2，3，4，5，6，7，8
C. 2，4，6，8，1，3，5，7 D. 1，3，5，7，2，4，6，8
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定操作，依次写出每次“洗牌”后的新数列即可.
【详解】数列 经过一次“洗牌”变为 ，
再经过一次“洗牌”变为 ，第三次“洗牌”后变为 ，
所以所得新数列是 .
故选：A
5. 如图，已知平行六面体 中，底面 是边长为 1 的正方形， ，
，则线段 的长为（ ）
A. B. 1 C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】由 ，两边平方，利用数量积的运算法则及数量积公式能求出 的值，
从而可得结果.
【详解】 平行六面体 中，
底面 是边长为 1 的正方形， ，
，
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，
线段 的长为 ，故选 A.
【点睛】本题主要考查利用空间向量求线段的长，考查向量数量积的运算法则，属于中档题.向量数量积的
运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式 ；二是向量的平方等于向量模的平方
.
6. 已知数列 的首项为 ，对于任意的 都有 ，则“ 为单调递增的数列”是
“ ”的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据题设易得数列 的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为 1，进而结合充分、必要
条件的定义判断即可.
【详解】由 ，则数列 的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为 1，
若 为单调递增 数列，则 ；
若 ，
则 ， ，
， ，
所以 ， ，
则“ 为单调递增的数列”.
综上所述，“ 为单调递增的数列”是“ ”的充要条件.
故选：C
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7. 已知圆 与直线 ，过 上任意一点 向圆 引切线，切点为
和 ，若线段 长度的最小值为 ，则实数 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 ，则 ，则由题意可求得 的范围，从而可得 ，
而 的最小值是圆心到直线的距离，然后列方程可求出实数 m 的值
【详解】圆 的方程可化为 ，
设 ，则 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，
而 的最小值是圆心到直线的距离，
所以 ， 又 ，所以 ．
故选：B．
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8. 已知 面积为 1，边 上的中线为 ，边 上的中线为 ，且 ，则边 的最
小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 ， ， ，由三角形面积公式得到 ，再由余弦定
理得到 ，令 ，得到 ，
再利用正弦函数的性质，即可求解.
【详解】设 ，易知 为 的重心，
又 ，结合重心性质可得： ，
同时 ，
设 ， ，
则 ，
则 ，
所以 ，
由余弦定理可得： ，
令 ，整理得到 ，
又 ，其中 ，得到 ，
也即 ，当且仅当 时取得等号，又 ，则 ，
所以 ，
故选：B.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
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要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知抛物线 C： 的准线为 ，直线 与 C 相交于 A、B 两点，M 为 AB 的中点，则（
）
A. 当 时，以 AB 为直径的圆与 相交
B. 当 时，以 AB 为直径的圆经过原点 O
C. 当 时，点 M 到 的距离的最小值为 2
D. 当 时，点 M 到 的距离无最小值
【答案】BC
【解析】
【分析】将直线 代入 ，结合韦达定理求得 坐标、点 到准线 的距离 及
．当 时，由 可判断 A；当 时，由 可判断 B；当 时，得 的
关系式，代入 表达式，利用基本不等式可判断 C；当 时，得 的关系式，代入 表达式，利
用对勾函数的性质可判断 D．
【详解】抛物线 ，准线 方程是 ，
直线 代入 ，可得 ， ，
设 ，则 ，
，
，
设 ，则 ，
点 到准线 距离 ，
，
当 时， ，点 到准线 的距离 ，则以 AB 为直径
的圆与 相切，故 A 错误；
当 时， ，则 ，则以 AB 为直径的圆经过原点 O，故 B
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正确；
当 时，即 ，得 ，
则 ，当且仅当 时等号成立，故 C 正确；
当 时，即 ，得 ，
所以 ，令 ，
则 ，由对勾函数的性质得，当 时， 单调递增，
故当 时， 取最小值 ，故 D 错误．
故选：BC．
10. 已知数列 中， ， .记 ， 则正
确的结论是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据配方判断 A；利用作差法可判断 B；根据 、 求出 ，
结合 可求出 的范围判断 CD.
【详解】因为 ，所以 A 正确；
由题意得， ，
若存在 ，则 ，得 或 （舍），则与 矛盾，
故 ，故 ，即 ，故 B 正确；
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因为 ，所以 ，
则 ，故 ，
所以
，
因为 ，所以 ，
所以 ，
故 ，
所以 ，
因为 ， ，所以 ， ，故 ，
所以 ，故 ，故 C 正确，D 错误.
故选：ABC
11. 在直角坐标系 中， 是曲线 上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线 C 关于原点对称
B. 任意 ，直线 与曲线 C 都没有公共点
C. O 为坐标原点，
D. 曲线的离心率
【答案】AB
【解析】
【分析】A 若点 在曲线 上，判断点 是否在曲线 上；B 联立方程组求解；C 利用消元法
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结合基本不等式即可；D 找出其渐近线，根据渐近线的夹角和 的关系可求.
【详解】若点 在曲线 上，则点 也在曲线 上，
故曲线 C 关于原点对称，故 A 正确；
联立 ，得 ，
因为 ，则 ，故方程 无解，故 B 正确；
因为 是曲线 上任意一点，所以 ，
若 ，则方程无解，则 ，所以 ，
故 ，
等号成立时 ，
又 ，故 C 错误；
因为 ，所以 ，可知其渐近线为 ， ，
如图，设两条渐近线的角平分线为 ，则双曲线的实轴和虚轴分别落在直线 上，
设 和 轴的夹角为 ， 与 轴的夹角为 ， 和 轴的夹角为 ，
则 ， ， ，则 ，
则 ，即 ，
得 （负值舍去），即 ，
故双曲线的离心率为 ，故 D 错误.
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故选：AB
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知锐角 满足 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据同角三角函数的基本关系求出 ，再根据两角和的正切公式求解即可.
【详解】由 ， 为锐角，
则 ，
所以 ，
则 .
故答案为： .
13. 已知圆 ，过点 的直线 l 交圆 C 于 A，B 两点，点 P 在圆 C 上，若
， ，则 ________
【答案】
【解析】
【 分 析 】 根 据 向 量 的 加 减 法 运 算 可 得 ， 再 根 据 圆 的 性 质 可 得
即可求解.
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【详解】
易知圆心 ，半径 ，取 中点 D，则 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，则 ，
又 ，
所以 即 ，
故 .
故答案为: .
14. 已知点 是椭圆 上异于左右顶点的一点，设 ，则
的取值范围为______
【答案】
【解析】
【分析】设 ，根据条件及椭圆的定义得 ， ，在 中，利用余弦定理
得 ，即可求解.
【详解】因 椭圆方程为 ，则 ，设 ，则 ，
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又点 是椭圆 上异于左右顶点的一点，则 ，
在 中，由余弦定理知，
，
，
所以 ，
因为 ，则 ，所以 ，即 ，
所以 的取值范围为 ，
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 欧拉函数 (n∈ )的函数值等于所有不超过正整数 n，且与 n 互质的正整数的个数.例如：
， ， ， ，两个正整数互质：除了 1 以外没有公因数，如：2 和 3，2
的 因 数 1 和 2，3 的 因 数 1 和 3，所以 2 和 3 互质；5 和 7 也是互质的.
（1）求 ， ；
（2）猜测 的值（不要求证明）；
（3）令 ，求数列 的前 n 项和．
【答案】（1）
（2）
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（3）
【解析】
【分析】（1）根据欧拉函数的定义，采用枚举法即可求解；
（2）根据任意相邻的三个正整数均有两个数与 互为质数可求出 ；
（3）先求得 的通项公式，根据通项公式的特征，采用错位相减法即可求出其前 n 项和.
【小问 1 详解】
不超过 ，且与其互质的数即为 中排除掉 剩下的正整数，则 ，
不超过 ，且与其互质的数即为 中排除掉 剩下的正整数，则
.
【小问 2 详解】
表示相邻的三个正整数，其中与 互质的为 与 两个，
故分别取 可得 中与 互质的正整数个数为 ，
所以 .
【小问 3 详解】
由以上可得 ， ，
设数列 的前 n 项和为 ，
，
，
两式相减得：
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，
则 .
16. 如图，矩形 中， ， . 、 、 、 分别是矩形四条边的中点，设
， .
（1）证明：直线 与 的交点 在椭圆 ： 上；
（2）已知 为过椭圆 的右焦点 的弦，直线 与椭圆 的另一交点为 ，若 ，试判断
、 、 是否成等比数列，请说明理由.
【答案】（1）见解析 （2） 、 、 成等比数列，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）设 ，分别表示出直线 的方程和直线 的方程，两式相乘化简即可得出答案；
（2）设直线 的方程为 ，直线 MO 的方程为 分别与椭圆的方程联立由韦达定理求
出 ，可证得 即可判断 、 、 成等比数列.
【小问 1 详解】
设 ，依题意， ， ， ， ，
则直线 的方程为 ，①
直线 的方程为 ，②
①×②得： 即
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故直线 与 的交点 M 在椭圆 上；
【小问 2 详解】
依题意，直线 的斜率均不为零，故设直线 PO 的方程为 ，
直线 MO 的方程为
由 得：
由 得
即 成等比数列.
17. 已知点 在抛物线 上，按照如下方法依次构造点 ，过点 作斜
率为 的直线与抛物线 交于另一点 ，令 为 关于 轴的对称点，记 的坐标为 ．
（1）求 的值；
（2）求证：数列 等差数列，并求 ；
（3）求 的面积．
【答案】（1）1 （2）证明见解析， ，
（3）16
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的概念，直接求出参数值即可；
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（2）根据题干中点的构造方法，以及抛物线方程，列出方程组，求出 和 之间的关系，根据等差数列
定义，直接写出通项公式，进而根据抛物线方程求出 ；
（3）根据（2）的结论，写出点的坐标，根据几何图像的性质，计算梯形面积，进而求出三角形面积即可.
【小问 1 详解】
由题意可得 ，化简得 ，解得 .
【小问 2 详解】
如图所示， ，即 ，
设 ， ， ，
由抛物线方程 ，可得 ，作差可得 ，
化简得 ，
由 ，可得 ，化简得 ，
则 ，可知数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
则 ，则 .
【小问 3 详解】
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如图所示，过 作 垂直于 轴于 ，过 作 垂直于 轴于 ，过 作 垂直于 轴
于 ，
由（2）可知 ，
则 ，
则 ，
，
，
可知 ，
即 .
18. 如图，在 中， ， ， ， ，将点 A 沿 BD 折起
到点 P 的位置，点 E 为 PC 的中点，点 G 为 的重心．
（1）求证：EG 不平行于平面 PBD；
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（2）若 ，平面 平面 BCD，求二面角 B-PC-D 的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，交 于点 ，则点 F 为 BC 中点，结合点 E 为 PC 的中点，连接 EF 可证明
，进而推导 平面 PBD.再假设 平面 ，可得平面 EFG 平面 PBD，再根据面面
平行的性质推导假设不成立即可；
（2）由已知可得 ，进而根据三角形中的关系可得 即可得 ，再建立合
适的空间直角坐标系求解二面角 B-PC-D 的正弦值即可.
【小问 1 详解】
如图，连接 DG 并延长，交 BC 于点 F，则点 F 为 BC 的中点，
连接 EF，∵点 E 为 PC 的中点，∴ ，
又 平面 PBD， 平面 PBD，∴ 平面 PBD．（提示：线面平行的判定定理）
假设 平面 PBD，
∵ ，∴平面 平面 PBD，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ ，（提示：面面平行的性质定理）
与 矛盾，故假设不成立，
∴EG 不平行于平面 PBD．
【小问 2 详解】
第一步：找到图形中的垂直关系
在 中， ， ，∴由余弦定理可得 ，
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当 时， ，
又 ， ，∴在 中，由余弦定理得 ，
∴ ，故 ，
又 ，∴ ，即 ．
第二步：建立空间直角坐标系，并求相关平面的法向量
∵平面 平面 BCD，
∴以 B 为坐标原点，BC，BD 所在直线分别为 x，y 轴，在平面 PBD 中过点 B 作平面 BCD 的垂线为 z 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
∴ ， ， ．
设平面 PBC 的法向量为 ，
则 即
不妨取 ．
设平面 PDC 的法向量为 ，
则 即
不妨取 ．
第三步：求二面角的正弦值
设二面角 B-PC-D 的平面角为 ，
则 ，
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∴ ，（二面角的取值范围是 ）
故二面角 B-PC-D 的正弦值为 ．
【点睛】解决翻折问题的关键是确定翻折前后各量之间的关系，准确把握平面图形翻折前后的两个“不变关
系”：①与折痕垂直的线段，翻折前后垂直关系不变；②与折痕平行的线段，翻折前后平行关系不变．
19. 已知双曲线 的虚轴长为 2，其中一条渐近线方程为 .且 ， 分别是双曲线的左、右顶点.
（1）求双曲线 的方程；
（2）设过点 的动直线 交双曲线 右支于 ， 两点，若直线 ， 的斜率分别为 ， .
①试探究 与 的比值 是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
②设 ， ， ，若 ， （ ），求 的面积
.
【答案】（1）
（2）①定值 ，②
【解析】
【分析】（1）设出双曲线方程，结合渐近线方程及虚轴长求解即可.
（2）①设直线 的方程，联立其与双曲线方程，结合韦达定理可得 ，代入 中计
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算 即 可 ； ② 设 直 线 的 斜 率 为 可 得 ， 结 合 可 得 ， 进 而 可 得
，再结合 可得 ，从而求得直线 的方程，联立直线 的
方程与双曲线方程可求得 点的纵坐标，进而可求得 的面积.
【小问 1 详解】
由题意可设双曲线 ： （ ， ），
则 解得 ，
所以双曲线 的方程为 .
【小问 2 详解】
如图所示，
① 为定值.理由如下：
由题意知， ， ，
设 ， ，直线 的方程为 ，
由 消元得 ，
则 ， ，且 ，
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所以 ，
所以 ，
故 为定值.
②由①知， ，设直线 的斜率为 ，则 ，
又 ，所以 ，
所以 .
又 ， ，所以 ，
由 可得 ，即 ，
又 ，所以 （舍）， .
所以直线 的方程为 .
由 可得： ，即 点的纵坐标为 ，
所以 .
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的定值问题的方法：
（1）求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．
（2）求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形
求得．
（3）求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
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