浙江省杭州学军中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷（Word版附解析）

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一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据真数要大于 0 和集合交集的运算法则即可求解．
【详解】 ，
故 ．
故选：D．
2 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用三角函数同角基本关系式求得 ，然后利用诱导公式求解.
【详解】解：因 ，
所以 ， ，
所以 ，
故选：B
3. 下列四个命题，其中为真命题的是（ ）
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A. 若函数 在 上是增函数，在 上也是增函数，则 是增函数
B. 和 表示同一函数
C. 函数 的单调增区间为
D. 若函数 的值域是 ，则实数 或
【答案】D
【解析】
【分析】对 A，取 进行说明，即判断正误；对 B，利用相同函数的判断方法，即可求解；对 C，
直接求出 的增区间，即可判断正误；对 D，利用二次函数的性质，结合条件得
.
【详解】对于 A，取 ，易知 在 上是增函数，在 上也是增函数，
但 在 上不具有单调性，即 不是增函数，所以 A 错误，
对于 B，因为 的值域为 ， 的值域为 ，所以 和 不表示
同一函数，故 B 错误，
对于 C，因为 ，
当 时， ，对称轴为 ，图象开口向上，在区间 上单调递减，在区间
上单调递增，
当 时， ，对称轴为 ，图象开口向上，在区间 上单调递增，在区间
上单调递减，
所以 的单调增区间为 ， ，故 C 错误，
对于 D，函数 的值域是 ，又 的对称轴为 ，图
象开口向上，
则 ，解得 或 ，所以 D 正确，
故选：D.
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4. 已知函数 ，记 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判断函数 为偶函数，且在 上单调递增，运用对数的运算，将三个自变量化简到
内，最后利用单调性、奇偶性比较大小.
【详解】因为函数 ，定义域为 ，而且
所以 为偶函数，
因为 时， 在 上单调递增；
，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故选：C.
5. 已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数的单调性列不等式计算求解.
【详解】二次函数 的对称轴为 ，
若二次函数在区间 上单调递增，有 ，可得 .
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若函数 单调递增，有 .
若函数 在 上单调递增，
有 ，可得
故选：A.
6. 某工厂建造一个无盖贮水池，其容积为 ，深度为 .池底每平方米的造价为 元，池壁每平方
米的造价为 元，设计水池的最低总造价约为（ ）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
【答案】C
【解析】
【分析】设无盖贮水池的底面长为 ，宽为 ，列出总造价关于 的关系式，利用基本不等式即可
求解.
【详解】设无盖贮水池的底面长为 ，宽为 ，
又其深度为 ，容积为 ，所以 ，化简得 ，
令池底面积为 ，则 ，解得 ，
又池底每平方米的造价为 元，则池底总造价为 元，
池壁由四个侧面组成，面积为 ，
又池壁每平方米的造价为 元，则池壁总造价为 元，
综上所述，水池的总造价为 元，
令 ，又 ，
所以 ，
根据基本不等式，可得 ，
当且仅当 ，即 时，取得最小值 .
故选：C
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7. 已知正实数 ， ，满足 ，则 取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 ，将条件化为关于 的方程 有解，利用判
别式求 的范围.
【详解】设 ，则 ，
所以关于 的方程 在 上有解，
对于 ，其图象开口向上且对称轴 ，
所以，只需 ，则 ，
所以 .
故选：B
8. 已知定义在 上的单调函数 满足 ．若对
，使得 成立，则 的最小
值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得 ， 为常数，则 ，从而（c） ，
可求得 及 的解析式，由条件可知 ，利用 的单调
性求解即可．
【详解】 ，且 在 上单调，
， 为常数， ，
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， ，
在 上单调递增，
对 ， ，使得 成立，
，
又当 时， ，
当 时， ，则 ，
， ，又 ， ．
故选：C．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列各组函数的图象，通过平移后能重合的是（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】ACD
【解析】
【分析】考查图像的平移变换和指对运算，依次分析求解即可.
【详解】对于 A，因为 ， ，所以 向左平移 2
个单位可以得到 ，所以选项 A 正确；
对于 B，假设 ，变形可得 不存在 a，b 的值满
足该式，所以选项 B 错误；
对于 C， ，所以 可以由 向左平移 个单位长度得到，
所以选项 C 正确；
对于 D， ，将 的图象向上平移 lg3 个单位，可得 的图象，所以
选项 D 正确；
故选:ACD
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10. 已知 ， 且 ，则（ ）
A. 的最小值为
B. 的最大值为 2
C. 的最小值为
D. 的最小值为 4
【答案】BC
【解析】
【分析】利用基本不等式可判断 A、B；妙用“1”可判断 C；取特值可判断 D.
【详解】对于 A， ， ， ，则 ，
当且仅当 时等号成立，即 的最大值为 ，故 错误；
对于 B， ， ，因 ，
则 ，可得 ，
当且仅当 时等号成立，即 的最大值为 2，故 B 正确；
对于 C， ， ， ，
当且仅当 时等号成立，即 的最小值为 ，故 C 正确；
对于 D，令 ，显然满足 ，而 ，
所以 的最小值不是 4，D 错误.
故选：BC.
11. 设函数 满足 ， ，且 ，则下列结论
正确的是（ ）
A.
B. 的图象关于 中心对称
C. 是函数 的图象的一条对称轴
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D.
【答案】AD
【解析】
【分析】围绕函数 ，依据给定的等式关系，通过对不同变量赋值，来判断函数的奇偶性、周期性、对
称中心以及计算函数值的和等性质.
【详解】对于 A，令 ，代入等式可得 .得到 ，开方后解得 ，
所以 A 选项正确.
对于 B，令 ，则原等式变为 .
因为前面已求得 ，所以 ，即 ，移项可得 .
根据偶函数的定义，可知函数 是偶函数，所以 B 选项错误.
对于 C，令 ，原等式变为 .
由于 ，则 ，即 .
令 ，则 ，那么 .
根据周期函数的定义，所以 是函数 的一个周期.
当 ， 时，可得 ，
可得 ，①；
当 时，可得 ②.
由①+②可得 ，由于 ，
所以 ，
代入②式得到 ，由于 ，进而解得 .
令 ，原等式变为 .
因为 ，所以 ，移项可得 .
又因为 ，所以 .
根据函数对称中心的性质可知 是函数 图象的一个对称中心.
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因为 是函数 的一个周期， ，所以 也是函数 图象的一个对称中
心，所以 C 选项错误.
对于 D，根据前面的分析，有 ， ， ， ，且 是函数 的一个
周期，所以 .
因为 ，所以
，所以 D
选项正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 （ 且 ），则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】把 变形为 ，然后对 和 讨论，得出结果
【详解】因为 ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
所以 的取值范围是 ，
故答案为：
13. 已知 ，则 的值为______．
【答案】
【解析】
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【分析】先根据 与 的关系列式求得 或 ，然后再利用辅助角
公式和正弦函数值域得 ，即可求解.
【详解】因为 ，
且 ，
所以 ，解得 或 ，
又 ，所以 .
故答案为：
14. 若函数 的定义域为 ，值域为 ，则实数 的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】结合函数单调性可得 、 是关于 的方程 的两不同根，再利用根的判
别式与韦达定理计算即可得.
【详解】由 ，则有 ，故 ，
且有 在定义域内单调递增，
则 ， ，
即 ， ，
令 ， ，则 ， ，
则 ， ，
故 是关于 的方程 的两不同非负根，
则有 ，解得 .
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故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 .
（1）求 ， 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1） ， .
（2）3
【解析】
【分析】（1）直接根据三角函数的定义即可得解；
（2）根据诱导公式将（1）中的结论代入即可.
【小问 1 详解】
由三角函数定义，得 ， .
【小问 2 详解】
由诱导公式，得原式 .
16. 已知函数 ，其中 .
（1）求函数 的单调区间和值域；
（2）解关于 的不等式 .
【答案】（1）增区间为 ，减区间为 ，值域为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对数型复合函数的单调性求单调区间，利用单调性求值域；
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（2）根据单调性转化为 ，分类讨论去掉绝对值号求解即可.
【小问 1 详解】
由 ，有 ，可得函数 的定义域为 ，
又由二次函数 的增区间为 ，减区间为 ，
当 时，函数 在 上单调递增，
可得函数 的增区间为 ，减区间为 .
当 时， ，有 ，
故函数 的值域为 .
【小问 2 详解】
当 时，关于 的不等式可为 ，
可化为 或 .
可得 或 ，
故关于 的不等式 的解集为 .
17. 某企业生产的一款新产品，在市场上经过一段时间的销售后，得到销售单价 x（单位：元）与销量 Q（单
位：万件）的数据如下：
元 1 2 3 4
万件 3 2 1.5 1.2
为了描述销售单价与销量的关系，现有以下三种模型供选择： ．
（1）选择你认为最合适 一种函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）已知每生产一件该产品，需要的成本 （单位：元）与销量 Q（单位：万件）的关系为
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，不考虑其他因素，结合（1）中所选的函数模型，若要使生产的产品可以获得利润，问该
产品的销售单价应该高于多少元？
【答案】（1） 最合适，
（2） 元．
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合给定的函数模型，代入验证，即可求解；
（2）由成本 与销量 Q 的关系为 ，列出不等式，结合不等式的解法，即可求解.
【小问 1 详解】
解：若选择模型 ，将 代入可得 ，即 ，
经验证， 均不满足，故模型 不合适．
若选择模型 ，因为 过点 ，所以模型 不合适．
若选择模型 ，将 代入可得 ，即 ，
经验证， ， 均满足，故模型 最合适，且 ．
【小问 2 详解】
解：由成本 与销量 Q 的关系为 ．
要使生产的产品可以获得利润，则 ．
因为 ，所以 ，即 ．
因为 ，所以 ．
故该产品的销售单价应该高于 元．
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18. 已知函数 ．
（1）写出函数 的单调区间；
（2）若函数 有两个不同零点，求实数 的取值范围；
（3）若 ，且 ，求 的取值范围．
【答案】（1）单调递增区间是 ，单调递减区间是
（2） 或
（3）
【解析】
【分析】（1）由 求解；
（2）作出函数图象，利用数形结合法，由 或 求解；
（3）易得 ，再由 ，得到 ，从而
，然后由 求解．
【小问 1 详解】
则 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ，
【小问 2 详解】
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函数 在 单调递减，在 单调递增，
故 在 的最小值为 ，
同理， 在 的最小值为 ，
故结合图象可得，函数 有两个零点时需满足
解得： ．
或
解得： ．
综上所述： 或 ．
【小问 3 详解】
由题意得： ，
则 ．
且 ，
则
因为 ，所以 ，
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故 ．
所以 ．
又 ，则 ，
故 单调递增，
所以 单调递增，
故 ．
因此 的取值范围为 ．
19. 已知函数 ，记 （ ）.
（1）若 ，解不等式： ；
（2）设 为实数，当 时，若存在实数 ，使得 成立，求 的取值范围；
（3）记 （其中 、 均为实数），若对于任意的 ，均有
，求正数 的最小值及此时 、 的值.
【答案】（1）
（2）
（3） 的最小值为 ， ，
【解析】
【分析】（1）由题意将不等式转化为 ，因式分解后即可得解；
（2）将原方程有解转化 在 上有解，利用层层函数的单调性求得
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在 上的值域，从而得解；
（3）原不等式恒成立等价于 在 上恒成立，取特殊值后利用绝对值不等式求得 的
最小值为 ，从而关于 的不等式组，从而可得它们的值，再进行检验即可得解.
【小问 1 详解】
因为 ， ，
当 时， ，
由 ，得 ，整理得 ，
即 ，所以 ，即 ，
故不等式 解集为 .
【小问 2 详解】
当 时， ，
则 ，
因为存在实数 ，使得 成立，
所以 在 上有解，
整理得到 在 上有解，
因为 在 上为增函数，则 ，
而 为增函数，则 ，
而 为减函数，则 ，
所以 的值域为 ，
故 .
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【小问 3 详解】
因为 ，
所以 ，
令 ， ，则 ，
因为对于任意的 ，均有 ，
所以 对任意的 恒成立，
分别取 ，得 ，
故
，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，即 的最小值为 ，
此时 ，整理得 ，
故 ，故 ，从而 ，所以 .
下证： 在 上恒成立.
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设 ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
故 ，故 在 上恒成立.
综上， ， .
【点睛】思路点睛：已知含参数的不等式恒成立，要求其中参数的具体值，一般通过特例得到关于参数的
不等式组，利用两边夹的方法得到参数的取值.
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