云南省昭通市镇雄县三校2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷（PDF版附解析）

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第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
【解析】
1．由，，，，则，，所以，故选B．
2．因为，则，所以，故其虚部为，故选D．
3．因为，则，又因为，即，所以，即，故选C．
如图1所示，在三棱柱中，，，依题意
，故选A．
由题设，所以53%分位数在区间内，设为，则，所以，故选C．
6．当时，不等式，解得，显然解集不是，不符合题意；当，由不等式的解集为，则，，解得，即的取值范围为，故选B．
7．对于A：因为在中，，由空间向量共面定理，可知P，A，B，C四点不共面，故A错误；对于B：当共线同向时，，但与夹角不是锐角，故B错误；对于C：因，即，故，即C正确；对于D：在方向上的投影向量为，故D错误，故选C．
图2
8．由题意画出几何体的图形，把三棱锥扩展为三棱柱，如图2所示，上下底面中心连线的中点O为外接球球心，O与A的距离是为球的半径， ，，是正三角形，由正弦定理，，，即球的半径为，则所求球的表面积为，故选D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
【解析】
9．对于A：，故A正确；对于B：的最小正周期，B错误；对于C：由得，所以图象的对称中心为，C正确；对于D：由得，所以，解得，故D正确，故选ACD．
10．对于A：由题意得，，故A正确；对于B：，所以，，故B不正确；对于C：由题意得，，，，所以，，设是平面的法向量，则令，则，，则，故C正确；对于D：，则点到平面的距离为，故D不正确，故选AC．
图3
11．作出函数的图象， 如图3：对于A：由图象可得无最大值，无最小值，故A错误； 对于B：由图象可得，当时，的最大值为，故B正确；对于C：由， 解得， 由图象可得，不等式的解集为， 故C正确；对于D： 由图象可得，的单调递增区间为，故D错误，故选BC．
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
【解析】
12．根据题意，因为，设，则有，可得，所以．
13．因为，，，所以，所以，所以点到的距离．
图4
14．当时，由可得，依题意，时，有1个零点，即方程在上有一个实根，也即直线与在上有一个交点，如图4，作出函数的图象．因在上单调递增，由图可知，此时．综上，实数的取值范围是．
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
解：（1）因为
，
所以，函数的最小正周期为，
由可得，
所以，函数的单调递减区间为．……………（8分）
（2）当时，，则，
因此，函数在区间上的值域为．
……………………………………………（13分）
16．（本小题满分15分）
解：（1）记“他得分不低于10分”为事件，
则
，即得分不低于10分的概率为．
……………………………………………………（7分）
（2）记“小红通过考试”为事件，
则，
即小红通过考试的概率为．……………………………………………………（15分）
17．（本小题满分15分）
解：（1）因为，
所以，
又，所以，所以，
又，所以，
所以． …………………………………………………（7分）
图5
（2）由余弦定理，所以，所以，所以，即，如图5，在中，．
………………………………………（15分）
18．（本小题满分17分）
解：（1）因为函数是定义域为的奇函数，所以，得，
又，即，解得，
则，经检验符合题意． …………………………………………………（4分）
（2）由已知得，则，
任取，且令，则
，
得到，故，则是减函数．
………………………………………（10分）
（3）由题意得在时恒成立，
因为是单调递减的奇函数，所以，即在时恒成立，
得到，且令，即恒成立，
又，当且仅当时等号成立，得到，得到，
即．……………………………………………………………（17分）
19．（本小题满分17分）
（1）证明：取的中点，连接则，
又，所以，则四边形为平行四边形，
所以 因为平面所以平面．………………（4分）
（2）证明：由（1）知，又平面
平面，
由，即及为的中点，可得为等边三角形，
又，，即
又平面．………………………………………………（9分）
（3）解：为直线与所成的角，
由（2）可得，，
设则，
取的中点，连接，
易知平面，过作的平行线，
可建立如图6所示的空间直角坐标系，
则所以
设为平面的法向量，
则即，取，
图6
则为平面的一个法向量，
又平面的法向量，
则，
由图易知二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为．………………………………（17分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
C
A
C
B
C
D
题号
9
10
11
答案
ACD
AC
BC
题号
12
13
14
答案