期末学业质量评价 2025-2026学年 人教版（2024）八年级数学上册试卷 含答案

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一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x≠2B. x≠﹣2C. x≠4D. x≠﹣4
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件可得2x+4≠0，据此进行求解即可．
【详解】解：由题意得：2x+4≠0，
解得：x≠-2，
故选B．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分母不为0时分式有意义是解题的关键．
2. 诸葛亮的《诫子书》中有言“非淡泊无以明志，非宁静无以致远”，下面是“宁静致远”四个字的首字母，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A. 不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意；
B. 不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意；
C. 不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意；
D.能找到这样一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3. 成人每天维生素的摄入量约为克，数据“”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.0000046=4.6×10-6．
故选：B．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4. 下列运算中正确是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是幂的乘方运算、完全平方和公式、同底数幂的乘法运算及同底数幂的除法运算等知识，根据幂的乘方运算、完全平方和公式、同底数幂的乘法运算及同底数幂的除法运算逐项验证即可得到答案，熟练掌握整式相关运算法则是解决问题的关键．
【详解】解：A、，计算错误，此选项不符合题意；
B、，计算错误，此选项不符合题意；
C、，计算正确，此选项符合题意；
D、，计算错误，此选项不符合题意；
故选：C．
5. 一木工师傅有两根长分别为的木条，他要找第三根木条，将它们钉成一个三角形框架，以下4根木条，他选择（ ）根木条合适．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，理解三角形三边关系是解题关键．三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，据此可得第三边的取值范围，进而可得答案．
【详解】解：设三角形框架的第三边长为，
根据题意，可得 ，
∴，
故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意．
故选：C．
6. 如图，点F，A，D，C在同一直线上，，且，，已知，，则的长为（ ）
A. 5B. 6C. 6.5D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】根据、，可得∠F=∠C，∠EDF=∠BAC，且EF=BC，可证， 从而得AC=DF，DC=AF，再根据，，求出DC，从而求出AC的长．
【详解】∵、，
∴∠F=∠C，∠EDF=∠BAC，
在和中，∠F=∠C，∠EDF=∠BAC，EF=BC，
∴，
∴AC=DF，可得DC=AF
又DC=(FC-AD)÷2=(10-3)÷2=3.5
∴AC=AD+DC=6.5
故选C．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，平行线的性质．熟练掌握三角形的全等判定及性质是解决问题的关键，同时对于线段长度的转换是比较关键的．
7. 下列命题的逆命题，正确的是（ ）
A. 全等三角形的对应角相等B. 相等两个数的平方也相等
C. 两个无理数的积也是无理数D. 等腰三角形两腰上的高相等
【答案】D
【解析】
【分析】首先确定逆命题，再判断逆命题的真假，即可一一判定．
【详解】A.全等三角形的对应角相等，逆命题为：对应角相等的三角形全等，不正确；
B.相等两个数的平方也相等，逆命题为：平方相等的两个数也相等，不正确，如；
C.两个无理数的积也是无理数，逆命题为：积是无理数的两个数也是无理数，不正确，如；
D.等腰三角形两腰上的高相等，逆命题为：两边上高相等的三角形是等腰三角形，正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与逆命题，判断命题的真假，解题的关键是正确写出一个命题的逆命题并判断其真假．
8. 下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）
A. x2+1B. x2+2x﹣1
C. x2+x+1D. x2+4x+4
【答案】D
【解析】
【详解】根据完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2可得，选项A、B、C都不能用完全平方公式进行分解因式，D、x2+4x+4=（x+2）2．
9. 如图，点在内部的一条射线上，于点，且．已知点到射线的最小距离为4，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，由题意得出点到两边的距离相等，从而得出射线是的角平分线，即，求出，即可得出答案，熟练掌握角平分线的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：于点，且，到射线的最小距离为4，
点到两边距离相等，
射线是的角平分线，
，
，
，
，
故选：C．
10. 某特快列车在最近一次的铁路大提速后，时速提高了30千米小时，则该列车行驶350千米所用的时间比原来少用1小时，若该列车提速前的速度是x千米小时，下列所列方程正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得等量关系为原来走350千米所用的时间提速后走350千米所用的时间，根据等量关系列式即可判断．
【详解】解：原来走350千米所用的时间为，现在走350千米所用的时间为：，
所以可列方程为：.
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的实际应用，根据题意找到提速前和提速后所用时间的等量关系是解决本题的关键．
11. 如图，的外角的平分线CE与内角的平分线BE交于点E，若，则的度数为（ ）
A. 65°B. 60°C. 55°D. 50°
【答案】D
【解析】
【分析】过点E作EF ⊥BA交BA延长线于点F，EM⊥AC于点M，EN⊥BC交BC延长线于点N，设∠ECD=x°，根据角平分线的性质定理，可得EF = EM，再由三角形外角的性质，可得∠BAC = 80°，从而得到∠CAF = 100°，再由Rt△EFA≌Rt△EMA，即可求解．
【详解】解：如图，过点E作EF ⊥BA交BA延长线于点F，EM⊥AC于点M，EN⊥BC交BC延长线于点N，
设∠ECD=x°，∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE = ∠ECD = x°，EM = EN，
∵BE平分ABC，
∴ ∠ABE =∠EBC，EF = EN，
∴EF = EM，
∵∠BEC= 40°，
∴ ∠ABE =∠EBC =∠ECD–∠BEC=(x-40)°，∴ ∠BAC =∠ACD–∠ABC = 2x°- (x° - 40°) - (x° - 40°) = 80°，∴∠CAF = 100°，
在Rt△EFA和Rt△EMA中，∵EA=EA，EM = EF，
∴ Rt△EFA≌Rt△EMA (HL)，
∴∠FAE = ∠EAC = 50°．
故选：D
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
12. 如图，，和均为等腰三角形，其中，．连接并延长交，于点，，连接．若平分，则下列选项中不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题根据，得到，即可判断A项，根据题意证明，由等腰三角形性质得到，由角平分线性质得到，推出,即可判断B、D项，根据题意继续推出，即可判断C项．
【详解】解：，
，
即，
A项正确，不符合题意．
，，
，
，
又，
，
平分，
，
，
，，
B、D项正确，不符合题意．
，，
，
，
，
，
C项错误，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、等腰三角形性质、平行的判定定理、熟练掌握相关性质并灵活运用，即可解题．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
13. 因式分解： _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用．根据分解因式的方法，首负先提负，放进括号里的各项要变号，再提取公因式，括号里的剩下项，考虑完全平方公式分解．
【详解】解：
，
故答案为：．
14. 如图，，请你添加一个条件使得，可添条件是_________．（添一个即可）
【答案】AB＝CD
【解析】
【分析】由已知二线平行，得到一对角对应相等，图形中又有公共边，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．
【详解】解：∵，
∴∠ABD＝∠CDB，又BD＝BD，
若添加AB＝CD，利用SAS可证两三角形全等；
故答案为：AB＝CD（答案不唯一）．
【点睛】本题考查平行线的性质和三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
15. 要使的展开式中不含项，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘多项式．先计算多项式乘多项式，再使项系数为0即可．
【详解】解：
，
∵不含项，
∴，
解得，
故答案为：．
16. 若，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，利用整体代入求值是解决本题的关键．由，可得，然后整体代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
17. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点是直线上一点，则周长的最小值为______．
【答案】9
【解析】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，轴对称—最短路线问题．
连接，由线段垂直平分线的性质可得，从而周长可转化为，而，从而可求出周长的最小值．
【详解】连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴周长的最小值为9．
故答案为：9
18. 已知:如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论:①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④AE=EC，其中正确的是________(填序号)
【答案】①②④
【解析】
【分析】易证△ABD≌△EBC,可得可得①②正确,再根据角平分线的性质可求得，即，根据可求得④正确.
【详解】①BD为△ABC的角平分线,

在△ABD和△EBC中，，
△ABD≌△EBC，
①正确；
②BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，
△ABD≌△EBC，
②正确；
③∵
∴
为等腰三角形，
∵△ABD≌△EBC，
∵BD为△ABC的角平分线,,而EC不垂直与BC，
③错误；④正确.
故答案为:①②④.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质,本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键.
三、解答题（本大题共7小题，共90分）
19. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算，解分式方程；
（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可；
（2）先去分母变成整式方程，再解整式方程，最后检验即可．
【详解】解：（1）原式．
（2）方程两边乘，得．
解得．
检验：当时，．
所以，原分式方程的解为．
20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．与关于y轴对称，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F．
（1）点A的对应点D的坐标为 ；
（2）在图中画出，求的面积．
【答案】（1）
（2）图见解析，
【解析】
【分析】本题考查的是画轴对称图形，关于y轴对称的点的坐标特点．
（1）关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
（2）分别确定点A，B，C的对应点D，E，F，再顺次连接可得，再利用割补法求解的面积即可．
【小问1详解】
解：∵与关于y轴对称，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F，．
∴．
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
．
21. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝110°，AD是BC边上高线，AE平分∠BAC，求∠DAE度数．
【答案】40°
【解析】
【分析】根据三角形的内角和求得的度数，再根据角平分线的性质求得，根据高的性质求得，即可求解．
【详解】解：∵∠B＝30°，∠ACB＝110°，
∴∠BAC＝180°－30°－110°＝40°，
∵AE平分∠BAC，
∴，
∵∠B＝30°，AD是BC边上的高线，
∴∠BAD＝90°－30°＝60°，
∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝60°－20°＝40°．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，解答的关键是三角形的内角和定理以及角平分线和高的性质．
22. 为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．计划先由甲、乙两队合作修建30天，剩下的工程再由乙队单独做15天完成，若甲、乙两队单独完成这项工程所需天数之比为2:3．求甲、乙两队单独修建灌溉水渠各需多少天？
【答案】甲工程队单独完成这项工程需要60天，乙工程队单独完成这项工程需要90天
【解析】
【分析】设甲工程队单独完成这项工程需要2x天，则乙工程队单独完成这项工程需要3x天，根据甲工程队完成的部分+乙工程队完成的部分=总工程量，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
【详解】解：设甲工程队单独完成这项工程需要2x天，则乙工程队单独完成这项工程需要3x天，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，．
答：甲工程队单独完成这项工程需要60天，乙工程队单独完成这项工程需要90天．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
23. 如图，在中，，是边上任意一点，过点分别向，引垂线，垂足分别为，．
（1）当点在的什么位置时，？并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若，，求的长．
【答案】（1）当点在的中点上时，，理由见解析
（2）24
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质．
根据等腰三角形三线合一与角平分线上的点到角两边的距离相等说明即可；
两次利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半即可求得．
【小问1详解】
解：当点在的中点上时，．
理由：连接．
∵为中点，，
为的平分线，
，，
．
【小问2详解】
解:，，为中点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
24. 阅读下列材料：
若一个正整数x能表示成（a，b是正整数，且的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：y是正整数，所以M也是“明礼崇德数”，与y是M的一个平方差分解．
（1）判断：9 “明礼崇德数”填“是”或“不是”；
（2）已知与是P的一个平方差分解，求P；
（3）已知（，y是正整数，k是常数，且），要使N是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
【答案】（1）是；（2）；（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据9=52-42和“明礼崇德数”的定义进行判断；
（2）根据“明礼崇德数”的定义列式求解即可；
（3）通过因式分解得N=（x+2）2-（y-3）2+k+5，根据“明礼崇德数”的定义，列出k的方程求得k便可．
【详解】解：（1），
是“明礼崇德数”，
故答案为：是；
（2）
；
（3）
，
当时，为“明礼崇德数”，
此时，
故当时，N为“明礼崇德数”．
【点睛】本题主要考查了新定义，整式的混合运算，以及因式分解的应用，关键是理解新定义的意思．
25. 已知在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且，连接，．
【问题发现】
（1）如图，当D为的中点时，探究线段与之间的数量关系，直接写出结论： ；（选填“”“”或“”）
【类比探究】
（2）如图，当D为边上任意一点时，探究线段与之间的数量关系，并证明；
【拓展延伸】
（3）当D为的中点，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且．若，求的长．
【答案】（1）（2），证明见解析（3）的长为9或1
【解析】
【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，从而得到，由等边对等角结合三角形外角的定义及性质可得，即可推出；
（2）过点D作，交于点M，结合等边三角形的判定与性质，证明即可得证；
（3）分两种情况：当点Q在线段的延长线上时，当点Q在线段上时，分别求解即可得到答案．
【详解】解：（1）∵为等边三角形，D为的中点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴．
故答案为：
（2），证明如下：
如图②，过点D作，交于点M，
∵为等边三角形，，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）的长为9或1，理由如下：
当点Q在线段的延长线上时，
如图③，作交于点M，
由（2）知为等边三角形，
∴，，
∵D为等边的边的中点，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
当点Q在线段上时，如图④，
同理可证明，
则，
综上所述，的长为9或1．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键．