河南省焦作市第十八中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷（含解析）

这是一份河南省焦作市第十八中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷（含解析），共22页。
A．2B．3C．4D．5
2．（3分）根据下列表述，能确定具体位置的是（ ）
A．东经118°，北纬40°B．焦作市民主路
C．东北45°D．万达影城2排
3．（3分）下列各组数为勾股数的是（ ）
A．7，12，13B．3，3，4
C．0.3，0.4，0.5D．18，24，30
4．（3分）下列语句正确的是（ ）
A．16的平方根是±4
B．3是9的算术平方根
C．125216的立方根是±56
D．（﹣1）2的平方根是﹣1
5．（3分）下列各式中，最简二次根式是（ ）
A．m2+1B．3a3b2C．12D．12
6．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（ ）
A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，AB平行于x轴，点A坐标为（5，3），B在A点的左侧，AB＝a，若B点在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＞5B．a≥5C．a＞3D．a≥3
8．（3分）如图，在边长为1的小正方形网格中，若△ABC和△CDE的顶点都在小正方形网格的格点上，则∠ACB+∠DCE＝（ ）
A．75°B．90°C．120°D．135°
9．（3分）把y＝2x+1的图象沿y轴向下平移5个单位后所得图象的关系式是（ ）
A．y＝2x+5B．y＝2x+6C．y＝2x﹣4D．y＝2x+4
10．（3分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则Bn的坐标是（ ）
A．（2n﹣1，2n﹣1）B．（2n﹣1+1，2n﹣1）
C．（2n﹣1，2n﹣1）D．（2n﹣1，n）
二.填空题（共5小题）
11．（3分）比较大小：42 27．（用＞、＜或＝连接）
12．（3分）若函数y=(m−2)xm2−3+2是一次函数，则m的值是 ．
13．（3分）如图，将一次函数y＝3x+4的图象绕原点O顺时针旋转90°，所得到的图象对应的函数表达式为 ．
14．（3分）如图，直线y=−43x+8与x轴、y轴交于A，B两点，∠BAO的平分线所在的直线AM的解析式是 ．
15．（3分）如图，长方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝8，AB＝CD＝17．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为 ．
三.解答题（共8小题）
16．（12分）计算：
（1）40−5110+10；
（2）(−2)2+|1−3|−12；
（3）(3+2)(3−2)−(5−1)2．
17．（8分）已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图所示．
（1）判断正负，用“＞”“＜”填空：b+a 0，﹣a+b 0．
（2）化简：(a+1)2+2(b−1)2+|a−b|．
18．（8分）如图，在三角形ABC中，AB＝10，BC＝12，AD为BC边上的中线，且AD＝8，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求DE的长．
19．（8分）如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）．
（1）直接写出点C到x轴的距离；
（2）求作△ABC关于x轴对称的图形，并写出各顶点坐标；
（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标．
20．（9分）如图，直线l1：y＝2x+3与直线l2：y＝kx﹣1交于点A，点A的横坐标为﹣1，且直线l1与x轴相交于点B，与y轴交于点D，直线l2与y轴交于点C．
（1）求出点A的坐标及直线l2的表达式；
（2）连接BC，求S△ABC．
21．（9分）民族要复兴，乡村必振兴．2月21日发布的2021年中央一号文件，主题是全面推进乡村振兴，加快农业农村现代化．乡村振兴战略的实施效果要用农民生活富裕水平来评价，某合作社为尽快打开市场，对本地新产品进行线上和线下销售相结合的模式，具体费用标准如下：
线下销售模式：标价5元/千克，八折出售；
线上销售模式：标价5元/千克，九折出售，超过6千克时，超出部分每千克再让利1.5元．
购买这种新产品x千克，所需费用为y元，y与x之间的函数关系如图所示．
根据以上信息回答下列问题：
（1）请求出两种销售模式对应的函数解析式；
（2）说明图中点C坐标的实际意义；
（3）若想购买这种产品10千克，请问选择哪种模式购买最省钱？
22．（10分）在一次函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究的质﹣﹣运用函数解决问题“的学习过程，在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．以下是我们研究函数y＝a|x|+b性质的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）根据如表信息，直接写出m＝ ；n＝ ；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出该函数图象；
（3）判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡相应的横线上打“√”，错误的在答题卡相应的横线上打“×”；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．
②y随x的增大而减小．
（4）根据函数图象填空：
①方程a|x|+b＝2有 个解；
②若关于x的方程a|x|+b＝k无解，则k的取值范围是 ．
23．（11分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，射线AD⊥BC于点D．
（1）如图1，求∠BAD的度数；
（2）若点E，F分别是射线AD，边AC上的动点，AE＝CF，连接BE，BF．
①如图2，连接EF，当EF∥BC时，求∠EBD的度数；
②如图3，当BE+BF最小时，求证：∠ABF＝∠DBE．
河南省焦作十八中2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一.选择题（共10小题）
1．（3分）在﹣1.414，5，π，3.6⋅，2+3，3.212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2），3.1415926这些数中，无理数的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：﹣1.414，3.1415926，是有限小数，属于有理数；
3.6⋅是循环小数，属于有理数；
无理数有5，π，2+3，3.212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2），共4个．
故选：C．
2．（3分）根据下列表述，能确定具体位置的是（ ）
A．东经118°，北纬40°B．焦作市民主路
C．东北45°D．万达影城2排
【答案】A
【分析】根据坐标的定义，确定位置需要两个数据对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、东经118°，北纬40°，能确定具体位置，故本选项符合题意；
B、焦作市民主路，不能确定具体位置，故本选项不符合题意．
C、东北45°，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；
D、万达影城2排，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；
故选：A．
3．（3分）下列各组数为勾股数的是（ ）
A．7，12，13B．3，3，4
C．0.3，0.4，0.5D．18，24，30
【答案】D
【分析】利用勾股定理进行计算分析即可．
【解答】解：A、72+122≠132，不是勾股数，故此选项不合题意；
B、32+32≠42，不是勾股数，故此选项不合题意；
C、0.3、0.4、0.5不是正整数，则不是勾股数，故此选项不合题意；
D、182+242＝302，是勾股数，故此选项符合题意；
故选：D．
4．（3分）下列语句正确的是（ ）
A．16的平方根是±4
B．3是9的算术平方根
C．125216的立方根是±56
D．（﹣1）2的平方根是﹣1
【答案】B
【分析】根据平方根、立方根和算术平方根的定义，逐项判断即可求解．
【解答】解：A．16=4，则16的平方根是±2，原说法错误，故A选项不符合题意；
B．3是9的算术平方根，正确，故B选项符合题意；
C．125216的立方根是56，原说法错误，故C选项不符合题意；
D．（﹣1）2＝1，则（﹣1）2的平方根是±1，原说法错误，故D选项不符合题意；
故选：B．
5．（3分）下列各式中，最简二次根式是（ ）
A．m2+1B．3a3b2C．12D．12
【答案】A
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【解答】解：A、m2+1是最简二次根式，符合题意；
B、原式＝a|b|3a，不符合题意；
C、原式＝23，不符合题意；
D、原式=22，不符合题意．
故选：A．
6．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（ ）
A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的系数k，b对图象的影响．一次函数图象经过第一、三、四象限，则k＞0，b＜0．
【解答】解：由图可知该一次函数图象经过第一、三、四象限，
则k＞0，b＜0．
故答案为B．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，AB平行于x轴，点A坐标为（5，3），B在A点的左侧，AB＝a，若B点在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A．a＞5B．a≥5C．a＞3D．a≥3
【答案】A
【分析】设点B横坐标为x，由平行于x轴的线段长等于线段上右边的点的横坐标减去左边的点的横坐标，可得a与x的关系式，再结合B点在第二象限，可得关于a的不等式，解得a的范围即可．
【解答】解：设点B横坐标为x，
∵AB平行于x轴，点A坐标为（5，3），B在A点的左侧，AB＝a，
∴a＝5﹣x，
∴x＝5﹣a，
∵B点在第二象限，
∴5﹣a＜0，
∴a＞5．
故选：A．
8．（3分）如图，在边长为1的小正方形网格中，若△ABC和△CDE的顶点都在小正方形网格的格点上，则∠ACB+∠DCE＝（ ）
A．75°B．90°C．120°D．135°
【答案】D
【分析】连接BD，先利用勾股定理的定理证明△BCD是直角三角形，从而可得∠BDC＝90°，然后根据BD＝CD=5，可得∠DBC＝∠DCB＝45°，最后利用平角定义进行计算即可解答．
【解答】解：连接BD，
由题意得：BD2＝12+22＝5，
CD2＝12+22＝5，
BC2＝12+32＝10，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BDC＝90°，
∵BD＝CD=5，
∴∠DBC＝∠DCB＝45°，
∴∠ACB+∠DCE＝180°﹣∠DCB＝135°，
故选：D．
9．（3分）把y＝2x+1的图象沿y轴向下平移5个单位后所得图象的关系式是（ ）
A．y＝2x+5B．y＝2x+6C．y＝2x﹣4D．y＝2x+4
【答案】C
【分析】直接利用一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可．
【解答】解：把y＝2x+1的图象沿y轴向下平移5个单位，
那么平移后所得图象的函数解析式为：y＝2x+1﹣5，即y＝2x﹣4．
故选：C．
10．（3分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则Bn的坐标是（ ）
A．（2n﹣1，2n﹣1）B．（2n﹣1+1，2n﹣1）
C．（2n﹣1，2n﹣1）D．（2n﹣1，n）
【答案】A
【分析】首先由B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），可得正方形A1B1C1O1边长为1，正方形A2B2C2C1边长为2，即可求得A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：（1，2），然后又待定系数法求得直线A1A2的解析式，由解析式即可求得点A3的坐标，继而可得点B3的坐标，观察可得规律Bn的坐标是（2n﹣1，2n﹣1）．
【解答】解：∵B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），
∴正方形A1B1C1O1边长为1，正方形A2B2C2C1边长为2，
∴A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：（1，2），
设直线A1A2的解析式为：y＝kx+b，
∴b=1k+b=2，
解得：k=1b=1，
∴直线A1A2的解析式是：y＝x+1．
∵点B2的坐标为（3，2），
∴点A3的坐标为（3，4），
∴点B3的坐标为（7，4），
∴Bn的横坐标是：2n﹣1，纵坐标是：2n﹣1．
∴Bn的坐标是（2n﹣1，2n﹣1）．
故选：A．
二.填空题（共5小题）
11．（3分）比较大小：42 ＞ 27．（用＞、＜或＝连接）
【答案】见试题解答内容
【分析】首先求出42、27的平方，比较出42、27的平方的大小关系，然后根据：两个正实数，平方大的这个数也大，判断出42与27的大小关系即可．
【解答】解：(42)2=32，(27)2=28，
∵32＞28，
∴(42)2＞(27)2，
∴42＞27．
故答案为：＞．
12．（3分）若函数y=(m−2)xm2−3+2是一次函数，则m的值是 ﹣2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一次函数的定义即可列方程求解．
【解答】解：∵函数y=(m−2)xm2−3+2是一次函数，
∴m2﹣3＝1且m﹣2≠0，
∴m＝±2且m≠2，
∴m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
13．（3分）如图，将一次函数y＝3x+4的图象绕原点O顺时针旋转90°，所得到的图象对应的函数表达式为 y=−13x+43 ．
【答案】y=−13x+43．
【分析】利用直线与两坐标轴的交点坐标，求得旋转后的对应点坐标，然后根据待定系数法即可求得．
【解答】解：在一次函数y＝3x+4中，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x=−43
∴直线y＝3x+4经过点（0，4），（−43，0）．
将一次函数y＝3x+4的图象绕原点O顺时针旋转90°，则点（0，4）的对应点为（4，0），（−43，0）的对应点是（0，43）．
设对应的函数解析式为：y＝kx+b，
将点（4，0）、（0，43）代入得4k+b=0b=43，
解得k=−13b=43，
∴旋转后对应的函数解析式为：y=−13x+43
故答案为：y=−13x+43．
14．（3分）如图，直线y=−43x+8与x轴、y轴交于A，B两点，∠BAO的平分线所在的直线AM的解析式是 y=−12x+3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】对于已知直线，分别令x与y为0求出对应y与x的值，确定出A与B的坐标，在x轴上取一点B′，使AB＝AB′，连接MB′，由AM为∠BAO的平分线，得到∠BAM＝∠B′AM，利用SAS得出两三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到BM＝B′M，设BM＝B′M＝x，可得出OM＝8﹣x，在Rt△B′OM中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出M坐标，设直线AM解析式为y＝kx+b，将A与M坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线AM解析式．
【解答】解：对于直线y=−43x+8，
令x＝0，求出y＝8；令y＝0求出x＝6，
∴A（6，0），B（0，8），即OA＝6，OB＝8，
根据勾股定理得：AB＝10，
在x轴上取一点B′，使AB＝AB′，连接MB′，
∵AM为∠BAO的平分线，
∴∠BAM＝∠B′AM，
∵在△ABM和△AB′M中，
AB=AB′∠BAM=∠B′AMAM=AM，
∴△ABM≌△AB′M（SAS），
∴BM＝B′M，
设BM＝B′M＝x，则OM＝OB﹣BM＝8﹣x，
在Rt△B′OM中，B′O＝AB′﹣OA＝10﹣6＝4，
根据勾股定理得：x2＝42+（8﹣x）2，
解得：x＝5，
∴OM＝3，即M（0，3），
设直线AM解析式为y＝kx+b，
将A与M坐标代入得：
6k+b=0b=3，
解得：k=−12b=3，
∴直线AM解析式为y=−12x+3．
故答案为：y=−12x+3．
15．（3分）如图，长方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝8，AB＝CD＝17．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为 2或32 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】分两种情况：点E在DC线段上，点E为DC延长线上的一点，进一步分析探讨得出答案即可．
【解答】解：如图1，
∵折叠，
∴△AD′E≌△ADE，
∴∠AD′E＝∠D＝90°，
∵∠AD′B＝90°，
∴B、D′、E三点共线，
又∵△ABD′∽△BEC，AD′＝BC，
∴△ABD′≌△BEC，
∴BE＝AB＝17，
∵BD′=AB2−AD′2=172−82=15，
∴DE＝D′E＝17﹣15＝2；
如图2，
∵∠ABD″+∠CBE＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，
∴∠CBE＝∠BAD″，
在△ABD″和△BEC中，
∠D″=∠BCEAD″=BC∠BAD″=∠CBE，
∴△ABD″≌△BEC，
∴BE＝AB＝17，
∴DE＝D″E＝17+15＝32．
综上所知，DE＝2或32．
故答案为：2或32．
三.解答题（共8小题）
16．（12分）计算：
（1）40−5110+10；
（2）(−2)2+|1−3|−12；
（3）(3+2)(3−2)−(5−1)2．
【答案】（1）5102；
（2）1−3；
（3）25−5．
【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（3）利用完全平方公式，平方差公式进行计算即可解答．
【解答】解：（1）40−5110+10
＝210−102+10
=5102；
（2）(−2)2+|1−3|−12
＝2+3−1﹣23
＝1−3；
（3）(3+2)(3−2)−(5−1)2
＝3﹣2﹣（6﹣25）
＝3﹣2﹣6+25
＝25−5．
17．（8分）已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图所示．
（1）判断正负，用“＞”“＜”填空：b+a ＞ 0，﹣a+b ＞ 0．
（2）化简：(a+1)2+2(b−1)2+|a−b|．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）观察数轴得出﹣1＜a＜0，0＜b＜1，|b|＞|a|，从而进行判断；
（2）先确定a+1＞0，b﹣1＜0，a﹣b＜0，然后根据二次根式的性质、绝对值的意义进行化简即可．
【解答】解：（1）由数轴得：﹣1＜a＜0，0＜b＜1，|b|＞|a|，
∴b+a＞0，﹣a+b＞0；
故答案为：＞，＞；
（2）由数轴得：﹣1＜a＜0，0＜b＜1，|b|＞|a|，
∴a+1＞0，b﹣1＜0，a﹣b＜0，
∴(a+1)2+2(b−1)2+|a−b|
＝a+1+2（1﹣b）+（b﹣a）
＝a+1+2﹣2b+b﹣a
＝3﹣b．
18．（8分）如图，在三角形ABC中，AB＝10，BC＝12，AD为BC边上的中线，且AD＝8，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求DE的长．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）4.8．
【分析】（1）求出BD，求出AD2+BD2＝AB2，根据勾股定理的逆定理得出∠ADB＝90°即可；
（2）求出AC＝AB＝10，根据三角形的面积公式求出DE即可．
【解答】（1）证明：∵BC＝12，AD为BC边上的中线，
∴BD＝DC=12BC＝6，
∵AD＝8，AB＝10，
∴BD2+AD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC；
（2）解：∵AD⊥BC，AD为BC边上的中线，
∴AB＝AC，
∵AB＝10，
∴AC＝10，
∵△ADC的面积S=12×AD×DC=12×AC×DE，
∴12×8×6=12×10×DE，
解得：DE＝4.8．
19．（8分）如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）．
（1）直接写出点C到x轴的距离；
（2）求作△ABC关于x轴对称的图形，并写出各顶点坐标；
（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）点C到x轴的距离为3；
（2）如图，△A′B′C′即为所求，A′（﹣2，﹣3）、B′（4，﹣3）、C′（﹣1，3）；
（3）P点的坐标为（0，1）或（0，5）．
【分析】（1）根据定点到直线的距离判断即可；
（2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（3）设点P的坐标为（0，y），构建方程求解．
【解答】解：（1）∵C（﹣1，﹣3），
∴|﹣3|＝3，
∴点C到x轴的距离为3；
（2）如图，△A′B′C′即为所求，A′（﹣2，﹣3）、B′（4，﹣3）、C′（﹣1，3）；
（3）设点P的坐标为（0，y），
∵△ABP 的面积为6，A（﹣2，3）、B（4，3），
∴12×6•|y﹣3|＝6，
∴|y﹣3|＝2，
∴y＝1或 y＝5，
∴P点的坐标为（0，1）或（0，5）．
20．（9分）如图，直线l1：y＝2x+3与直线l2：y＝kx﹣1交于点A，点A的横坐标为﹣1，且直线l1与x轴相交于点B，与y轴交于点D，直线l2与y轴交于点C．
（1）求出点A的坐标及直线l2的表达式；
（2）连接BC，求S△ABC．
【答案】（1）A点的坐标为（﹣1，1），直线l2的解析式为：y2＝﹣2x﹣1；
（2）S△ABC＝1．
【分析】（1）根据A点在直线l1上，且横坐标为﹣1，求出A点的坐标，再根据直线l2过A点，将（﹣1，1）代入直线l2解析式，即可求出答案；
（2）根据已知得出B点的坐标，再根据l1与y轴交于D点，直线l2与y轴交于点C得出D点和C点的坐标，再根据三角形的面积公式得出S△ABC．
【解答】解：（1）∵A点在直线l1上，且横坐标为﹣1，
∴y＝2×（﹣1）+3＝1，即A点的坐标为（﹣1，1），
又直线l2过A点，将（﹣1，1）代入直线l2解析式得：1＝﹣k﹣1，
解得k＝﹣2，
则直线l2的解析式为：y2＝﹣2x﹣1；
（2）令y＝0，则2x+3＝0，解得x=−32，
∴B点坐标为（−32，0），
∵l1与y轴交于D点，
∴D点坐标为（0，3），
∵l2与y轴交于C点，
∴C点坐标为（0，﹣1），
∴S△ABC＝S△BCD﹣S△ACD=12CD•|xB|−12CD•|xA|＝1．
21．（9分）民族要复兴，乡村必振兴．2月21日发布的2021年中央一号文件，主题是全面推进乡村振兴，加快农业农村现代化．乡村振兴战略的实施效果要用农民生活富裕水平来评价，某合作社为尽快打开市场，对本地新产品进行线上和线下销售相结合的模式，具体费用标准如下：
线下销售模式：标价5元/千克，八折出售；
线上销售模式：标价5元/千克，九折出售，超过6千克时，超出部分每千克再让利1.5元．
购买这种新产品x千克，所需费用为y元，y与x之间的函数关系如图所示．
根据以上信息回答下列问题：
（1）请求出两种销售模式对应的函数解析式；
（2）说明图中点C坐标的实际意义；
（3）若想购买这种产品10千克，请问选择哪种模式购买最省钱？
【答案】（1）线下销售y与x之间的函数关系为y＝4x，线上销售y与x之间的函数关系为y=4.5x(0≤x≤6)3x+9(x＞6)；（2）图中点C坐标的实际意义为当购买9千克产品时，线上线下都花费36元；（3）购买这种产品10千克，线上购买最省钱．
【分析】（1）由题意，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）由图象知，点C是射线OA和折线OBD的交点，说明x取同一个值时，函数值y相等，从而说明点C坐标的实际意义；
（3）把x＝10分别代入y＝4x和y＝3x+9求值即可．
【解答】解：（1）由题意知，图中射线OA为线下销售，折线OBD为线上销售，
线下销售：y＝5×0.8x＝4x；
线上销售：当0≤x≤6时，y＝5×0.9x＝4.5x，
当x＞6时，y＝5×0.9×6+（x﹣6）×（5×0.9﹣1.5）＝27+3（x﹣6）＝3x+9，
∴y=4.5x(0≤x≤6)3x+9(x＞6)，
∴线下销售y与x之间的函数关系为y＝4x，线上销售y与x之间的函数关系为y=4.5x(0≤x≤6)3x+9(x＞6)；
（2）图象得：4x＝3x+9，
解得：x＝9，
y＝4×9＝36，
∴C（9，36），
∴图中点C坐标的实际意义为当购买9千克产品时，线上线下都花费36元；
（3）购买10千克产品线下需花费：4×10＝40（元），
线上需花费：3×10+9＝39（元），
∴购买这种产品10千克，线上购买最省钱．
或：根据图象，当x＞9时，线上购买比线下购买省钱．
22．（10分）在一次函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究的质﹣﹣运用函数解决问题“的学习过程，在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．以下是我们研究函数y＝a|x|+b性质的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）根据如表信息，直接写出m＝ ﹣2 ；n＝ 0 ；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出该函数图象；
（3）判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡相应的横线上打“√”，错误的在答题卡相应的横线上打“×”；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴． √
②y随x的增大而减小． ×
（4）根据函数图象填空：
①方程a|x|+b＝2有 1 个解；
②若关于x的方程a|x|+b＝k无解，则k的取值范围是 k＞2 ．
【答案】（1）﹣2，0；
（2）见解答；
（3）√；×；
（4）1，k＞2．
【分析】（1）观察表格，函数图象经过点（﹣1，0），（0，2），将这两点的坐标分别代入y＝a|x|+b，利用待定系数法即可求出这个函数的表达式；把x＝﹣2代入所求的解析式，即可求出m，将x＝1代入所求的解析式，即可求出n；
（2）根据表格数据，描点连线即可画出该函数的图象；
（3）根据图象即可判断该函数性质的说法是否正确；
（4）观察图象填空即可．
【解答】解：（1）∵函数y＝a|x|+b的图象经过点（﹣1，0），（0，2），
∴a+b=0b=2，解得a=−2b=2，
∴这个函数的表达式是y＝﹣2|x|+2；
∴当x＝﹣2时，m＝﹣2×|﹣2|+2＝﹣2，
当x＝1时，n＝﹣2×|1|+2＝0．
故答案为：﹣2，0；
（2）函数y＝﹣2|x|+2的图象如图所示：
（3）①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．故正确；
②当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大，故错误；
故答案为：√；×；
（4）①方程a|x|+b＝2有1个解；
②若关于x的方程a|x|+b＝k无解，则k的取值范围是k＞2．
故答案为：1，k＞2．
23．（11分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，射线AD⊥BC于点D．
（1）如图1，求∠BAD的度数；
（2）若点E，F分别是射线AD，边AC上的动点，AE＝CF，连接BE，BF．
①如图2，连接EF，当EF∥BC时，求∠EBD的度数；
②如图3，当BE+BF最小时，求证：∠ABF＝∠DBE．
【答案】（1）∠BAD＝45°；
（2）①∠EBD＝22.5°；②见解析．
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一进行解答即可；
（2）①根据等腰三角形的性质，得出AG＝AF，得出BG＝CF，根据等腰三角形的判定得出AE＝GE，即可证明BG＝GE，得出∠GBE＝∠GEB，根据平行线的性质得出∠GEB＝∠EBD，证明∠GBE＝∠EBD，根据∠GBE+∠EBD＝45°即可得出答案；
②过点C作CM⊥BC，在CM上截取CG＝AB，证明△ABE≌△CGF，得出BE＝GF，从而得出BE+BF＝BF+FG，B、F、G在同一直线上时，BF+FG最小，即BE+BF最小，连接BG交AC于一点，该点即为F，交AD于点H，证明∠HBE＝∠HAF，得出∠HBE＝45°，证明∠ABD＝∠HBE，得出∠ABF+∠FBC＝∠FBC+∠DBE，即可证明结论．
【解答】（1）解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝90°，
∴∠BAD=12∠BAC=45°；
（2）解：①延长FE交AB于点G，如图所示：
∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC=∠ACB=12×90°=45°，
∵EF∥BC，
∴∠AGF＝∠ABC＝45°，∠AFG＝∠ACB＝45°，
∴∠AGF＝∠AFG，
∴AG＝AF，
∴AB﹣AG＝AC﹣AF，
∴BG＝CF，
∵∠AGE＝∠GAE＝45°，
∴AE＝GE，
∵AE＝CF，
∴BG＝GE，
∴∠GBE＝∠GEB，
∵EF∥BC，
∴∠GEB＝∠EBD，
∴∠GBE＝∠EBD，
∵∠GBE+∠EBD＝45°，
∴∠EBD＝22.5°；
②过点C作CM⊥BC，在CM上截取CG＝AB，如图所示：
∵∠BCG＝90°，∠BCA＝45°，
∴∠ACG＝45°，
∵∠BAD＝45°，
∴∠ACG＝∠BAD，
∵AB＝CG，AE＝CF，
∴△ABE≌△CGF（SAS），
∴BE＝GF，
∴BE+BF＝BF+FG，
∴B、F、G在同一直线上时，BF+FG最小，即BE+BF最小，连接BG交AC于一点，该点即为F，交AD于点H，如图所示：
∵△ABE≌△CGF，
∴∠AEB＝∠CFG，
∵∠AFH＝∠CFG，
∴∠AEB＝∠AFH，
∵∠BHE＝∠AHF，
又∵∠HBE+∠BEH+∠BHE＝180°，∠AHF+∠AFH+∠HAF＝180°，
∴∠HBE＝∠HAF，
∵∠HAF=12∠BAC=45°，
∴∠HBE＝45°，
∵∠ABD＝45°，
∴∠ABD＝∠HBE，
∴∠ABF+∠FBC＝∠FBC+∠DBE，
∴∠ABF＝∠DBE．x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣6
﹣4
m
0
2
n
﹣2
﹣4
﹣6
…
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
B
A
B
A
D
C
A
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣6
﹣4
m
0
2
n
﹣2
﹣4
﹣6
…