2025~2026学年浙江省杭州市上城区八年级上册第一次月考数学模拟试题（含答案）

这是一份2025~2026学年浙江省杭州市上城区八年级上册第一次月考数学模拟试题（含答案），共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A.B.
C.D.

2.如图，在△ABC中，AD、AE分别是边BC上的中线与高，AE=4，△ABC的面积为12，则CD的长为（ ）
A.2B.3C.4D.5

3.如图，点B在线段AD上，△ABC≅△EBD,AB=2,BD=5，则求三角形CED的面积为（ ）
A.7.5B.8C.8.5D.9

4.如图，AB=DB，∠1=∠2，添加下列条件后，不能判定△ABC≅△DBE的是( )

A.BC=BEB.AC=DEC.∠A=∠DD.∠ACB=∠DEB

5.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线MN分别交BC、AC于点D、E，若AE=6cm，△ABD的周长为26cm，则△ABC的周长为（ ）.
A.32cmB.38cmC.44cmD.50cm

6.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，根据尺规作图的痕迹作射线AE，交BD于点I，连接CI，则下列说法错误的是（ ）
A.点I到边AB、AC的距离相等B.CI平分∠ACB
C.∠DIE=90∘+12∠ACBD.点I到A、B、C三点的距离相等

7.如图，已知△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，M，N为垂足，若BD=32,DE=2,EC=52，则AC的长为（ ）
A.322B.332C.352D.3102

8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90∘，以△ABC的一边BC为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( )
A.2B.3C.4D.5

9.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动（不与端点重合），且保持AD=CE，连接DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②四边形CDFE的面积是12；③AD+BE>DE．其中正确的结论是（ ）．
A.①②B.①③C.①②③D.②③

10.如图，在△ABC中，∠B=45∘，∠C=60∘，BC=6，点P为AC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为（ ）
A.36B.325C.326D.32
二、填空题

11.命题：面积相等的两个三角形是全等三角形是_________命题（填“真”或“假”）

12.如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AD于点E，分别以点C,E为圆心，大于12CE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AD的延长线于点F，∠CBE=60∘，BC=4，则BF的长为____________．

13.如图，在四边形ABCD中，已知AB=BC=42,CD=15,AD=17,∠ABC=90∘，则∠BCD的度数为________________．

14.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠DCB=90∘，E,F分别是BD,AC的中点，∠ADC=120∘，EF=2，则AC=____________．

15.在△ABC中，CA=CB，∠ACB=120∘．将一块足够大的直角三角尺PMN(∠M=90∘, ∠MPN=30∘)按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C．并且与CB的夹角∠PCB=α，斜边PN交AC于点D．在点P的滑动过程中，若△PCD是等腰三角形，则夹角α的大小是____________．

16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠B=60∘，点D、E分别是BC、AB上的动点，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对应点B′恰好落在AC上．若△AEB′是等腰三角形，则∠BEB′的度数为___________．
三、解答题

17.如图(1)，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C都是格点
（1）在图(1)中画出ΔABC关于直线MN对称的ΔA1B1C1
（2）求ΔABC的面积
（3）如图(2)，A、C是直线MN同侧固定的点，B是直线MN上的一个动点，在直线MN上画出点B，使AB+BC的值最小.

18.如图，在△ABC中，AE是边BC上的中线，AD⊥BC交BC于点D，F为AB的中点，连接EF．已知AD=6，△ABC的面积为24．
（1）求CE的长．
（2）若AE=7，求△AEF与△BEF的周长差．

19.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE=BF，∠A=∠B，AD=BC.
（1）求证： △ACE≅△BDF；
（2）若AB=8, AC=2，求AD的长．

20.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB，BC于点D,E，且BD2−DA2=AC2．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）若BC=214，AD:BD=3:4，求AC的长．

21.如图，在四边形ABCD中，连接AC，BD，过点A作AF∥BC交CD于点F，延长AB、DC交于点E，已知BD所在的直线是线段AC的垂直平分线．
（1）AC是否平分∠EAF？请说明理由；
（2）过点C作CM⊥AE于点M，若∠BCD=90∘，AE=5，△AEC的面积为154，求CF的长．

22.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ACB>60∘，在AC边上取点D，使BD=BC．以AD为一边作等边△ADE，且使点E与点B位于直线AC的同侧．

（1）若点D与点E关于直线AB轴对称，求∠BDE的度数．
（2）若∠ACB=80∘，写出线段BA,BD,BE之间的数量关系，并说明理由．

23.如图．Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=30∘，BC=2，P为AB的中点，以P为直角顶点的等腰Rt△PDE，PE与AC交于M，PD与直线BC交于N．
（1） 如图1，求证：AM2+ BN2 =MN2
（2）如图2，若AM=1，求BN的长
（3）如图3，若将等腰Rt△PDE绕P点旋转，当PE恰好经过点C时，过P作PQ⊥AN于Q，直接写出PQ的长．

24.如图，已知△ABC和△DCE都是等边三角形．
（1）观察发现：如图①，若点B，C，E在同一条直线上，P为线段AE，BD的交点，则线段AE与BD之间的数量关系为_______；∠APB=_______．
（2）如图②，若点B，C，E在同一条直线上，F为线段BD，AC的交点，H为线段AE，CD的交点，连接FH，猜想FH与BE的位置关系，并证明．
（3）深入探究：如图③，若点B，C，E不在同一条直线上，P为线段AE，BD的交点．(1)中的结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（4）连接CP，求证：PC平分∠BPE．
参考答案与试题解析
2025-2026学年浙江省杭州市上城区八年级上学期第一次月考数学模拟试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
轴对称图形
【解析】
本题考查了轴对称图形的定义，解题的关键是依据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”这一定义，判断每个选项的图形是否存在这样的直线．
根据轴对称图形的定义，依次分析选项A、B、C、D的图形：判断每个图形是否能找到一条直线，使图形沿该直线折叠后，直线两旁的部分完全重合；其中选项A的图形找不到这样的直线，其余选项的图形均能找到，由此确定答案．
【解答】
解：A、该图形无法找到一条直线，使图形沿此直线折叠后直线两旁的部分完全重合，不满足轴对称图形的定义，此选项不符合题意；
B、该图形能找到一条直线，使图形沿此直线折叠后直线两旁的部分完全重合，满足轴对称图形的定义，此选项符合题意；
C、该图形能找到一条直线，使图形沿此直线折叠后直线两旁的部分完全重合，满足轴对称图形的定义，此选项符合题意；
D、该图形能找到一条直线，使图形沿此直线折叠后直线两旁的部分完全重合，满足轴对称图形的定义，此选项符合题意；
故选：A．
2.
【答案】
B
【考点】
与三角形的高有关的计算问题
根据三角形中线求长度
【解析】
先根据三角形面积和高AE的长求出底边BC的长，再根据AD是中线得到CD=12BC，求出CD的长．
【解答】
解：∵S△ABC=12AE⋅BC=12，AE=4，
∴BC=6，
∵AD是BC上的中线，
∴CD=12BC=3．
故选：B．
3.
【答案】
A
【考点】
全等三角形的性质
【解析】
此题考查了全等三角形的性质，解题的关键熟练掌握性质的应用．根据全等三角形的对应边相等，再利用线段和差可得CE=BC−BE=3cm，再利用面积公式即可求解．
【解答】
解：∵△ABC≅△EBD，
∴BE=AB=2cm，BC=BD=5cm，
∴CE=BC−BE=3cm，
∴三角形CED的面积为12×3×5=7.5．
故选：A
4.
【答案】
B
【考点】
全等三角形的判定
【解析】
本题要判定△ABC≅△DBE，已知AB=DB，∠1=∠2，具备了一组边一个角对应相等，对选项一一分析，选出正确答案．
【解答】
解：A、添加BC=BE，可根据SAS判定△ABC≅△DBE，故正确；
B、添加AC=DE，SSA不能判定△ABC≅△DBE，故错误；
C、添加∠A=∠D，可根据ASA判定△ABC≅△DBE，故正确；
D、添加∠ACB=∠DEB，可根据AAS判定△ABC≅△DBE，故正确．
故选B．
5.
【答案】
B
【考点】
线段垂直平分线的性质
【解析】
本题考查了基本作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握作图是解题的关键．根据题意得到MN垂直平分AC，利用等量代换即可得到答案．
【解答】
解：由题意得MN垂直平分AC，
∴CE=AE=6cm，DA=DC，
∵△ABD的周长为26cm，
∴AB+BD+AD=26cm，
∴AB+BD+DC=26cm，
即AB+BC=26cm，
∴C△ABC=AB+BC+AC=26+6+6=38cm．
故选：B
6.
【答案】
D
【考点】
与角平分线有关的三角形内角和问题
角平分线的性质
尺规作图——作角平分线
【解析】
本题考查了尺规作图-角平分线，角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，对顶角相等，三角形的内心定义和性质，熟练掌握三角形内心的性质是解题的关键．
先根据作图痕迹得出AE是∠BAC的角平分线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可判断A说法正确；根据到角两边距离相等的点在角平分线上，可得点I在∠ACB的平分线上，即可判断B说法正确；根据角平分线平分角可得∠IBA=12∠ABC，∠IAB=12∠BAC，结合三角形内角和是180∘可求得∠IBA+∠IAB=12(180∘−∠ACB)，再结合对顶角相等即可求得∠DIE=90∘+12∠ACB，判断C说法正确；根据题意可得点I是△ABC的内心，判断D说法错误；即可求解．
【解答】
解：A、根据作图痕迹，可得AE是∠BAC的角平分线，
∵点I在AE上，
∴点I到边AB、AC的距离相等；A说法正确；
B、∵BD平分∠ABC，AE平分∠BAC，
∴点I到边AB、AC、BC的距离相等，
即点I在∠ACB的平分线上，
∴CI平分∠ACB；B说法正确；
C、∵BD平分∠ABC，AE平分∠BAC，
∴∠IBA=12∠ABC，∠IAB=12∠BAC，
故∠IBA+∠IAB=12∠ABC+12∠BAC=12(180∘−∠ACB)，
∴∠DIE=∠AIB=180∘−∠IBA−∠IAB=180∘−12(180∘−∠ACB)=90∘+12∠ACB；C说法正确；
D、∵点I是△ABC三个角的角平分线的交点，
∴点I到边AB、AC、BC的距离相等，不是点I到A、B、C三点的距离相等；D说法错误．
故选：D．
7.
【答案】
D
【考点】
线段垂直平分线的性质
勾股定理的应用
判断三边能否构成直角三角形
【解析】
本题主要考查勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质是解题的关键；连接AD,AE，由题意易得AD=BD=32,AE=EC=52，则有∠ADE=90∘，然后根据勾股定理可进行求解．
【解答】
解：连接AD,AE，如图所示：
∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，BD=32,DE=2,EC=52，
∴AD=BD=32,AE=EC=52，DC=DE+EC=92，
∴AD2+DE2=254=AE2，
∴∠ADE=90∘，
∴AC=AD2+DC2=3102；
故选D．
8.
【答案】
C
【考点】
等腰三角形的性质
【解析】
⑩以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；
②作BC的垂直平分线交AB于I，则ΔBCI和ΔAC是等腰三角形；
③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；
④以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，ΔBC（就是等腰三角形．
【解答】
如图所示，画出的不同的等腰三角形的个数最多为4个．
A
' BCBc“
图2图3
故答案选：C．
9.
【答案】
B
【考点】
全等三角形的性质与判定
等腰三角形的判定与性质
【解析】
连接CF，证明△ADF≅△CEF，可以得出结论①正确；根据两三角形全等时面积也相等得：S△CEF=S△ADF，利用割补法知：S四边形CDFE=S△AFC，求出ΔABC即可判断② ；③延长DF到G，使FG=DF，连接EG、BG，证明ΔADF≅ΔBGF得AD=BG，再证明DE=EG，根据三角形三边关系可得结论③正确
【解答】
解：①连接CF，
∵∠ACB=90∘，AC=BC，
∴∠A=45∘，
∵F是AB边上的中点，
∴CF=AF=BF，CF⊥AB，∠ACF=∠BCF=45∘，
∴∠AFC=90∘，
∴∠A=∠BCF，
在△ADF和△CEF中，
∵AD＝CE∠A＝∠BCFAF＝CF，
∴△ADF≅△CEF(SAS)，
∴DF=EF，∠AFD=∠CFE，
∴∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC=90∘，
即∠DFE=90∘，
∴△DEF是等腰直角三角形，所以此结论正确；
②∵△ADF≅△CEF，
∴S△CEF=S△ADF
∴四边形CDFE的面积=SCDF+SΔADF=SΔAFC=12SΔABC
∵SABC=12AC×BC=12×8×8=32
∴S四边形CDFE=16,结论②错误；
③延长DF到G，使FG=DF，连接EG、BG
∵AF=BF,∠AFD=∠BFG,DF=FG
∴ΔADF≅ΔBGF
∴AD=BG
∵∠EFD=90∘
∴EF⊥DF
∴DE=EG
在ΔEBG中，
∵BG+BE>EG
∴AD+BE>DE，故③结论正确，
∴正确的结论是①③，
故选：B
10.
【答案】
C
【考点】
垂线段最短
直角三角形斜边上的中线
含30度角的直角三角形
勾股定理的应用
【解析】
本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键．连接BP，取BP的中点G，连结EG，FG，先证明△EGC为等腰直角三角形，得到EF=22BP，进而可知当BP⊥AC时BP最小，利用直角三角形的性质求出的最小值即可得到答案．
【解答】
解：连接BP，取BP的中点G，连结EG，FG，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴∠BEP=∠BFP=90∘，
∴EG=FG=12BP，
∴∠BEP=∠EBG ∠BFG=∠FBG，
∴∠EGF=∠BEG+∠EBG+∠BFG+∠FBG=2(∠EBG+∠FBG)=2∠ABC=90∘，
∴EF=EG2+FG2=2EG=22BP，
当BP⊥AC时，BP取最小值，此时，EF的值也最小，
∵∠C=60∘，
∴∠PBC=30∘，
∴PC=12BC=3，
∴BP=BC2−CP2=33，
∴BP的最小值为33，
此时，EF的最小值为22×33=362．
故选C．
二、填空题
11.
【答案】
假
【考点】
真命题，假命题
【解析】
根据全等三角形的判定进行判断．
【解答】
解：面积相等的两个不一定三角形全等，是假命题；
故答案为：假．
12.
【答案】
43
【考点】
含30度角的直角三角形
根据等边对等角证明
勾股定理的应用
平行四边形性质和判定的应用
【解析】
连接CE交BF于G，连接CF．根据平行四边形的性质，平行线的性质确定∠EFB=∠CBF，根据题目中作图过程确定BP是∠CBE的平分线，根据等角对等边和等价代换思想确定BC=BE，根据菱形的判定定理和性质确定BF⊥CE，BF=2BG，根据角平分线的定义，30∘所对的直角边是斜边的一半，勾股定理求出BG的长度，进而即可求出BF的长度．
【解答】
解：如图所示，连接CE交BF于G，连接CF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD // BC，即EF // BC．
∴∠EFB=∠CBF．
∵以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AD于点E，
∴BC=BE．
根据作图过程可知BP是∠CBE的平分线．
∴∠CBF=∠EBF．
∴∠EBF=∠EFB．
∴BE=EF．
∴BC=EF．
∴四边形BCFE是平行四边形．
∴平行四边形BCFE是菱形．
∴BF⊥CE，BF=2BG．
∵∠CBE=60∘，
∴∠CBF=30∘．
∵BC=4，
∴CG=12BC=2．
∴BG=BC2−CG2=23．
∴BF=2BG=43．
故答案为：43．
13.
【答案】
135∘/135度
【考点】
求一个数的算术平方根
等腰三角形的判定与性质
勾股定理的应用
利用勾股定理的逆定理求解
【解析】
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理等知识，连接AC，得出△ABC为等腰直角三角形，得到∠BCA=45∘，根据勾股定理求出AC=8，根据勾股定理逆定理得到△ACD是直角三角形，且∠ACD=90∘，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【解答】
解：如图，连接AC，
∵AB=BC=42，∠ABC=90∘，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BCA=45∘，
在Rt△ABC中， AC=AB2+BC2=422+422=8，
在△ACD中，∵AC2+CD2=82+152=172=AD2，
∵ △ACD是直角三角形，且∠ACD=90∘，
∴∠BCD =∠ACD+∠BCA=90∘+45∘=135∘，
故答案为：135∘．
14.
【答案】
43
【考点】
直角三角形斜边上的中线
勾股定理的应用
含30度角的直角三角形
【解析】
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、含30∘角的直角三角形的性质等知识，连接AE、CE，由直角三角形斜边上的中线性质得AE=12BD=BE，CE=12BD=BE，则 ∠EAB=∠EBA，∠EBC=∠ECB，AE=CE，再证∠AEC=120∘，则 ∠EAC=∠ECA=30∘，然后由等腰三角形的性质得EF⊥AC，AC=2CF，则CE=2EF=4，进而由勾股定理求出CF的长，即可解决问题，熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
【解答】
解：如图，连接AE、CE，
∵∠BAD=∠DCB=90∘，∠ADC=120∘，
∴∠ABC=360∘−90∘−90∘−120∘=60∘，
∵∠BAD=∠DCB=90∘，E是BD的中点，
∴AE=12BD=BE，CE=12BD=BE，
∴∠EAB=∠EBA，∠EBC=∠ECB，AE=CE，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠AED=∠EAB+∠EBA=2∠EBA，∠CED=∠EBC+∠ECB=2∠EBC，
∴∠AEC=∠AED+∠CED=2(∠EBA+∠EBC)=2∠ABC=120∘，
∴∠EAC=∠ECA=30∘，
∵AE=CE，F是AC的中点，
∴EF⊥AC，AC=2CF，
∴∠EFC=90∘，
∴CE=2EF=4，
∴CF=CE2−EF2=42−22=23，
∴AC=2CF=43，
故答案为：43．
15.
【答案】
45∘或90∘或0∘．
【考点】
三角形内角和定理
【解析】
分三种情况考虑：当PC=PD；PD=CD；PC=CD，分别求出夹角α的大小即可．
【解答】
解：∵△PCD是等腰三角形， ∠PCD=120∘−α，∠CPD=30∘，
①当PC=PD时，
∴∠PCD=∠PDC=180∘−30∘2=75∘，即120∘−α=75∘，
∴∠α=45∘；
②当PD=CD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠PCD=∠CPD=30∘，即120∘−α=30∘，
∴α=90∘；
③当PC=CD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠CDP=∠CPD=30∘，
∴∠PCD=180∘−2×30∘=120∘， 即120∘−α=120∘，
∴α=0∘， 此时点P与点B重合，点D和A重合，
综合所述：当△PCD是等腰三角形时，α=45∘或90∘或0∘．
故答案为：45∘或90∘或0∘．
16.
【答案】
150∘或105∘或60∘
【考点】
三角形内角和定理
等腰三角形的判定与性质
翻折变换（折叠问题）
【解析】
本题考查直角三角形中的折叠问题，等腰三角形性质，分类讨论．由∠C=90∘，∠B=60∘，得∠A=30∘，分三种情况讨论：①当B′A=B′E时，可得∠BEB′=150∘；②当AB′=AE时，即得∠AEB′=∠AB′E=180∘−∠A2=75∘，即得∠BEB′=105∘；③当EA=EB′时，可得∠BEB′=∠A+∠EB′A=60∘．
【解答】
解：∵∠C=90∘，∠B=60∘，
∴∠A=30∘，
分三种情况讨论：
①当B′A=B′E时，如图：
∴∠B′EA=∠A=30∘，
∴∠BEB′=180∘−∠B′EA=150∘；
②当AB′=AE时，如图：
∴∠AEB′=∠AB′E=180∘−∠A2=75∘，
∴∠BEB′=180∘−∠AEB′=105∘；
③当EA=EB′时，如图：
∴∠A=∠EB′A=30∘，
∴∠BEB′=∠A+∠EB′A=60∘；
综上所述，∠BEB′为150∘或105∘或60∘．
故答案为：150∘或105∘或60∘．
三、解答题
17.
【答案】
解：如图(1)所示：ΔA1B1C1即为所求；
解：SΔABC=3×5−12×3×3−12×2×2−12×1×5=6，
∴ ΔABC的面积是6；
解：如图(2)所示：点B′即为所求
【考点】
作图-轴对称变换
三角形的面积
勾股定理
【解析】
（1）直接利用轴对称图形的性质分别得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用网格采用割补法求三角形面积；
（3）利用轴对称求最短路线的方法得出点B位置．
【解答】
此题暂无解答
18.
【答案】
（1）4
（2）3
【考点】
与三角形的高有关的计算问题
根据三角形中线求长度
【解析】
（1）根据三角形的面积求出BC=8，根据三角形中线即可求出CE的长；
（2）根据三角形中线得到AF=BF，△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+EF+BF，△BEF的周长=BE+EF+BF，作差即可得到答案．
【解答】
（1）解：∵AD=6，△ABC的面积为
AD⊥BC交BC于点D，
∴12AD⋅BC=12×6BC=24，
解得BC=8，
∵AE是边BC上的中线，
∴CE=BE=12BC=4
（2）∵F为AB的中点，
∴AF=BF
∵△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+EF+BF，△BEF的周长=BE+EF+BF，
∴△AEF与△BEF的周长差=AE−BE=7−4=3．
19.
【答案】
【解答】（1）证明：∵ AD=BC， AD−CD=BC−CD，即AC=BD
∵ ∠A=∠B， AE=BF
在△ACE和△BDF中，
AE=BF∠A=∠BAC=BD
∴ △ACE≅△BDFSAS
（2）由（1）知△ACE=△BDF
∴ BD=AC=2
∵ AB=8
∴ CD=AB−AC−BD=4
故CD的长为4.
【考点】
全等三角形的性质
全等三角形的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【解答】（1）证明：∵ AD=BC， AD−CD=BC−CD，即AC=BD
∵ ∠A=∠B， AE=BF
在△ACE和△BDF中，
AE=BF∠A=∠BAC=BD
∴ △ACE≅△BDFSAS
（2）由（1）知△ACE=△BDF
∴ BD=AC=2
∵ AB=8
∴ CD=AB−AC−BD=4
故CD的长为4.
20.
【答案】
（1）见解析
（2）AC=7
【考点】
线段垂直平分线的性质
勾股定理的应用
判断三边能否构成直角三角形
【解析】
（1）利用线段垂直平分线的性质可得CD=BD，然后利用勾股定理逆定理可得结论；
（2）设AD=3x，BD=4x，则CD=BD=4x，AB=AD+DB=7x，首先确定AC的长，在Rt△ABC中，AC2+AB2=BC2，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【解答】
解：（1）证明：连接CD，
∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，
∴CD=DB，
∵ BD2−DA2=AC2，
∴ CD2−DA2=AC2，
∴ CD2=AD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠A=90∘；
∴ △ABC是直角三角形；
（2）解：∵AD:BD=3:4，
设AD=3x，BD=4x，则CD=BD=4x，AB=AD+DB=7x，
在Rt△ACD中，AC=CD2−AD2=16x2−9x2=7x，
在Rt△ABC中，AC2+AB2=BC2，
∴7x2+(7x)2=2142，
解得：x=±1（负值舍去），
∴x=1，
∴AC=7×1=7．
21.
【答案】
（1）AC平分∠EAF，理由见解析
（2）CF=32
【考点】
平行线的判定与性质
角平分线的性质
线段垂直平分线的性质
【解析】
（1）根据线段垂直平分线的性质得到BA=BC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC=∠BCA，根据平行线的性质得到∠CAF=∠BCA，等量代换证明结论；
（2）由AE=5，△AEC的面积为154，可得到CM=32，再根据角平分线的性质即可求出CF的长．
【解答】
解：（1）证明：AC平分∠EAF，理由如下：
∵BD所在的直线是线段AC的垂直平分线，
∴BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵AF∥BC，
∴∠CAF=∠BCA，
∴∠CAF=∠BAC，
即AC平分∠EAF；
（2）解：∵AF∥BC，∠BCD=90∘，
∴∠AFD=∠BCD=90∘，
∴AF⊥CF，
∵△AEC的面积为154，
∴12AE⋅CM=154，
又∵AE=5，
∴CM=32，
∵AC平分∠EAF，CM⊥AE，CF⊥AF，
∴CF=CM=32．
22.
【答案】
（1）∠BDE=45∘
（2）BA=BD+BE，理由见解析
【考点】
三角形内角和定理
等边三角形的性质与判定
根据成轴对称图形的特征进行判断
全等的性质和SAS综合（SAS）
【解析】
（1）利用等边三角形的性质和轴对称的性质求出∠BAC的度数，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠ABC=∠C=∠BDC=75∘，从而可求出∠ADB=105∘，最后根据∠BDE=∠ADB−∠ADE求解即可；
（2）在AB上取点F，使BF=BD，连接DF，BE，先利用等腰三角形的性质求出∠ABD=60∘，然后证明△BDF是等边三角形，再证明△BDE≅△FDA，即可求解．
【解答】
（1）解：∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=∠EAD=60∘．
∵点D与点E关于直线AB轴对称，
∴∠EAB=∠DAB=12∠EAD=30∘．
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=12(180∘−∠BAC)=75∘．
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠C=75∘，
∴∠ADB=180∘−∠BDC=105∘，
∴∠BDE=∠ADB−∠ADE=45∘；
（2）解：BA=BD+BE．
理由：在AB上取点F，使BF=BD，连接DF，BE，
∴∠ACB=80∘，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=80∘．
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=80∘，
∴∠CBD=20∘，
∴∠DBF=60∘，
∴△BDF是等边三角形．
又∵△ADE是等边三角形，
∴∠BDF=∠ADE=60∘，BD=DF，DE=DA，
∴∠BDE=∠ADF，
∴△BDE≅△FDASAS，
∴BE=AF．
又∵AB=AF+BF，
∴BA=BD+BE．
23.
【答案】
（1）见解析
（2）BN=4−3
（3）PQ=213
【考点】
勾股定理的应用
【解析】
（1）如图1，延长MP至E，且使PE=MP，构建全等三角形△MPA≅△EPB(SAS)和△MPN≅△DPN(SAS)，由全等三角形的对应边相等得到：MN=EN，所以在Rt△BDN中，利用勾股定理证得结论；
（2）根据含30∘直角三角形的性质求出AB，AC的长度，由AM=1，表达出MC=23−1，NC=2−BC，利用勾股定理得到CM2+ CN2 =MN2，结合(1)中的等量关系，列出方程即可解出BN的长度；
（3）如图，作BH⊥PN于点H，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到△PBC是等边三角形，由∠EPN=90∘，得到∠BPN=∠BNP=30∘，进而求出BN=BP=2，利用勾股定理及等腰三角形的性质求出PN的长度，勾股定理求出AN的长度，设AQ=x，则NQ=42−x，在Rt△APQ中与Rt△NPQ中，分别利用勾股定理，从而得到AP2−AQ2= PN2−NQ2，即可解出x的值，进而求出PQ即可．
【解答】
解：（1）如图，延长MP至点E，且PE=MP，
∵P为AB的中点，
∴AP=BP，
又∵∠APM=∠BPE，
∴△APM≅△BPE(SAS)
∴AM=BE，∠A=∠PBE，
∵∠ACB=90∘，
∴∠A+∠ABC=90∘，
∴∠PBE+∠ABC=90∘，即∠EBN=90∘，
又∵△PDE是等腰直角三角形，
∴∠MPN=90∘，
∴PN是ME的垂直平分线，
∴MN=EN，
在Rt△EBN中，BE2+ BN2 =EN2，
∴AM2+ BN2 =MN2
（2）∵在Rt△ABC中，∠A=30∘，BC=2，
∴AB=2BC=4，AC=AB2−BC2=23，
∵AM=1，
∴MC=23−1，NC=2−BC，
在Rt△MCN中，CM2+ CN2 =MN2，
又∵AM2+ BN2 =MN2，
∴CM2+ CN2 = AM2+ BN2，
即(23−1)2+(2−BN)2=12+BN2，
解得：BN=4−3
（3）如图，作BH⊥PN于点H，
∵点P是AB的中点，
∴CP=AP=BP=2，
又∵BC=2，
∴△PBC是等边三角形，
∴∠BPC=∠PCB=60∘，
∵∠EPN=90∘，
∴∠BPN=∠BNP=30∘，
∴BN=BP=2，
∴BH=12BP=1，PN=2PH=2BP2−BH2=23，
∵CN=BC+BN=4，
在Rt△CAN中，AC=4，CN=4，
∴AN=AC2+CN2=42，
设AQ=x，则NQ=42−x，
∵PQ⊥AN，
∴在Rt△APQ中，PQ2=AP2−AQ2，
在Rt△NPQ中，PQ2=PN2−NQ2，
∴AP2−AQ2= PN2−NQ2，
即22−x2=(23)2−(43−x)2，
解得：x=533，
∴PQ=AP2−AQ2=4−53=213，
∴PQ=213．
24.
【答案】
AE=BD,；60∘
（2）FH // BE，见解析
（3）成立．证明见解析
（4）见解析
【考点】
全等三角形的应用
角平分线的判定定理
等边三角形的性质与判定
【解析】
（1）根据等边三角形的性质得到AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60∘，证明△ACE≅△BCD，即可得到AE=BD,∠EAC=∠DBC，进而根据三角形内角和计算即可；
（2）同(1)可证△ACE≅△BCD，得到∠CAE=∠CBD，进而证明△CAH≅△CBF，根据等边三角形的判定和性质求出∠CHF=60∘，得到∠DCE=∠CHF，即可证明FH // BE；
（3）如图，设BD与AC交于点O．根据等边三角形的性质得到AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60∘，进而得到∠BCD=∠ACE，证明△BCD≅△ACE，得到BD=AE,∠CBD=∠CAE，进而计算即可；
（4）连接CP，过点C作CM⊥BD,CN⊥AE，垂足分别为M，N， 由(3)得△BCD≅△ACE，进而得到BD=AE,S△BCD=S△ACE，即12BD⋅CM=12AE⋅CN，得到CM=CN，根据角平分线的判定定理即可证明．
【解答】
解：（1）证明：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60∘，
∵∠ACD=60∘,∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE．
在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCDCE=CD ，
∴△ACE≅△BCD (SAS)，
∴AE=BD,∠EAC=∠DBC ，
∴∠APB=180∘−∠BAP−∠ABP
=180∘−∠BAC−∠CAP−∠ABP
=180∘−∠BAC−∠PCB−∠ABP
=180∘−∠BAC−∠ABC
=180∘−60∘−60∘
=60∘，
故答案为：AE=BD ；60∘；
（2）同(1)可证△ACE≅△BCD，
∴∠CAE=∠CBD．
在△CAH和△CBF中，
∠CAH=∠CBFAC=BC∠ACH=∠BCF=60∘ ，
∴△CAH≅△CBF (ASA)，
∴CH=CF．
∵∠FCH=60∘，
∴△CFH为等边三角形，
∴∠CHF=60∘，
∴∠DCE=∠CHF，
∴FH // BE；
（3）成立．证明：如图，设BD与AC交于点O．
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60∘，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE．
在△BCD和△ACE中，
BC=AC∠BCD=∠ACECD=CE ，
∴△BCD≅△ACE (SAS)，
∴BD=AE,∠CBD=∠CAE．
∵∠APB=180∘−∠CAE−∠AOP,∠ACB=180∘−∠CBD−∠BOC,∠AOP=∠BOC，
∴∠APB=∠ACB=60∘．
（4）证明：连接CP，过点C作CM⊥BD,CN⊥AE，垂足分别为M，N，如图．
由(3)得△BCD≅△ACE，
∴BD=AE,S△BCD=S△ACE，
∴12BD⋅CM=12AE⋅CN，
∴CM=CN，
∴PC平分∠BPE．