九年级上学期数学压轴必考题型——探索三角形相似的条件练习（含答案）

这是一份九年级上学期数学压轴必考题型——探索三角形相似的条件练习（含答案），共62页。
1．（2021•巴中）如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且＝＝，下列结论正确的是（ ）
A．DE：BC＝1：2
B．△ADE与△ABC的面积比为1：3
C．△ADE与△ABC的周长比为1：2
D．DE∥BC
2．（2020秋•兴城市期末）已知∠MAN＝30°，点B在射线AM上，按以下步骤作图：
①分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于P，Q两点；
②作直线PQ，交射线AN于点C，连接BC；
③以B为圆心，BA长为半径画弧，交射线AN于点D．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠BCD＝60°B．AB2＝AD•ACC．∠ABD＝4∠CBAD．AD＝2AB
3．（2021春•滦州市期末）如图，△ABO缩小后变为△A'B'O，其中A、B的对应点分别为A'、B'，点A、B、A'、B'均在格点上，若线段AB上有点P（m，n），则点P在A'B'上的对应点P'的坐标为（ ）
A．（，n）B．（m，n）C．（m，）D．（）
4．（2021春•周村区期末）平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2和x轴，y轴分别交于A，B两点，在第二象限内有一点P，使△PAO和△AOB相似，则符合要求的点P的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．（2021春•福山区期末）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取B，C，D三点，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度为（ ）
A．20mB．30mC．40mD．60m
6．（2021春•潍坊期末）如图，△ABC的顶点A在y轴上，B，C两点都在x轴上，将边AB向右平移，平移后点A的对应点为D，点B的对应点为O，线段DO交AC于点E（2，），若AB＝5，则点D的坐标为（ ）
A．（3，3）B．（4，4）C．（3，）D．（3，4）
7．（2020秋•射洪市期末）如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1，则点A到直线DE的距离AF的长度为（ ）
A．B．C．2.5D．
二．填空题
8．（2021•鞍山）如图，△ABC的顶点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C在x轴负半轴上，AB∥x轴，AB，BC分别交y轴于点D，E．若＝＝，S△ABC＝13，则k＝ ．
9．（2021春•烟台期末）如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，正方形的边长为1，则阴影部分的面积为 ．
10．（2021•沈河区二模）如图，在▱ABCD中，AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，点M在射线DA上，过点M作MN⊥CM．且∠MCN＝∠CAD，使点C，M，N按逆时针方向排列，连接BN，当△BCN是等腰三角形时，线段CN的长度是 ．
11．（2021春•海阳市期末）如图，在Rt△ABC纸板中，AC＝4，BC＝3，P是AC上一点，过点P沿直线剪一次剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是 ．
12．（2021春•濮阳期末）在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm，动点D从点B开始沿BA边运动，速度为1cm/s；动点E从点A开始沿AC边运动，速度为2cm/s．如果D，E两动点同时运动，那么当它们运动 s时，由D，A，E三点连成的三角形与△ABC相似．
13．（2021春•渝中区校级期末）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE：EB＝1：2，DF＝CF，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若图中阴影部分的面积为51平方厘米，则▱ABCD的面积为 ．
14．（2021春•莱州市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．在其内并排放入（不重叠）n个相同的小正方形纸片，使这些纸片的一边都在AB上，首尾两个正方形各有一个顶点D，E分别在AC，BC上，则小正方形的边长为 ．（用含n的代数式表示）
15．（2021春•鄂州期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，AC＝9，AB＝15，D、E两点分别在边AC和y轴的正半轴上，现将边长为2的正方形OCDE沿x轴向右平移，当点D落在AB边上时，则正方形OCDE移动的距离为 ．
16．（2021•营口）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是AB边上一点，AE＝3，连接DE，点F是BC延长线上一点，连接AF，且∠F＝∠EDC，则CF＝ ．
17．（2021•雁塔区校级模拟）我国是最早了解勾股定理的国家之一．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边分别向外作正方形，即可证明勾股定理．连接CG交AB于点M，连接CE，CH，若CH＝2CE，则的值为 ．
18．（2021•山西）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，则AB的长为 ．
三．解答题
19．（2021春•瑶海区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，且BC＝CE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若OD＝DE，OC＝1，求菱形ABCD的周长．




20．（2021春•周村区期末）如图，在直角坐标系xOy中，△AOB的顶点坐标分别是A（1，0），O（0，0），B（2，2）．
（1）画出△A1OB1，使△A1OB1与△AOB关于点O中心对称；
（2）以点O为位似中心将△AOB放大，得到△A2OB2，使△A2OB2与△AOB的相似比为2：1，画出一个满足条件的△A2OB2．




21．（2021•大连模拟）AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E．
（1）如图1，求证∠COB＝2∠BCD；
（2）如图2，弦BF与CD相交于点M，当OA＝4，DE＝，BM＝时，求BF的长．

22．（2021•安徽模拟）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在AD上，AE＝AB，EC与BD相交于点F，且BD⊥EC．
（1）连接BE，求证：△AFD∽△BED；
（2）如图2，连接AF并延长交CD于点G，求∠DFG的度数；
（3）若AD＝1，求AB的长．




23．（2020秋•北海期末）在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4．
（1）如图1，∠A＝90°，N为BC上一点，M为AB上一点，若DN⊥MN，CN＜BN，BM＝1，求证：DN＝MN；
（2）如图2，N为BC上一点，M为AB上一点，若∠DNM＝∠B＝60°，求证：．




24．（2020秋•如皋市期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点E，过点E作MN∥AD，分别交AB，CD于点M，N．
（1）求证：△AME∽△ABC；
（2）求证：＝+；
（3）若AD＝5，BC＝7，求MN的长．




25．（2020秋•连南县期末）如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，且AD为∠BAC的角平分线，若∠ABE＝∠C，＝．
（1）求证：△AEB∽△ADC．
（2）求△BDE与△ABC的面积比．






26．（2021•建华区二模）如图，BD为⊙O的直径，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝2，ED＝4．
（1）求AB的长；
（2）延长DB到F，使得BF＝BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．





27．（2021•安徽三模）如图，⊙O中弦AB与CD交于M点．
（1）求证：C△ADM：C△BCM＝DM：BM；
（2）连接OA，OC，若∠D＝60°，弦AC的长2，求劣弧AC与弦AC所围成的弓形面积．







28．（2021•金东区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，CA的延长线交⊙O于点F．
（1）求证：DE⊥AC．
（2）若DE+EA＝8，AF＝16，求⊙O的半径．







29．（2021春•周村区期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝18，AD＝9，AF＝6，求AE的长．





30．（2020秋•垦利区期末）如图①，在Rt△AEF的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，AF＝40m，AE＝30m．
（1）如果设矩形的一边AB＝xm，那么AD边的长度如何表示？
（2）设矩形的面积为ym2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
（3）如果把矩形改为如图②所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？
人教版数学九年级全册压轴题专题精选汇编
专题 探索三角形相似的条件
一．选择题
1．（2021•巴中）如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且＝＝，下列结论正确的是（ ）
A．DE：BC＝1：2
B．△ADE与△ABC的面积比为1：3
C．△ADE与△ABC的周长比为1：2
D．DE∥BC
【思路引导】根据相似三角形的判定与性质进行逐一判断即可．
【完整解答】解：∵＝＝，
∴DE：BC＝1：3，故A错误；
∴△ADE与△ABC的面积比为1：9，故B和C错误；
∵＝，
∴＝，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC．故D正确．
故选：D．
2．（2020秋•兴城市期末）已知∠MAN＝30°，点B在射线AM上，按以下步骤作图：
①分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于P，Q两点；
②作直线PQ，交射线AN于点C，连接BC；
③以B为圆心，BA长为半径画弧，交射线AN于点D．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠BCD＝60°B．AB2＝AD•ACC．∠ABD＝4∠CBAD．AD＝2AB
【思路引导】由作图可知：PQ垂直平分AB，AB＝DB，即可得∠ABC＝∠A＝30°，∠BDA＝30°，利用三角形的外角的性质可判断A选项；通过证明△ABC∽△ADB可判断B选项；利用三角形的内角和定理求解∠ABD的度数，即可判断C选项；过B作BE⊥AD，垂足为点E，利用哈30°角的直角三角形的性质可求解AE＝，进而可求解AD与AB的关系，可判断D选项．
【完整解答】解：由作图可知：PQ垂直平分AB，AB＝DB，
∴AC＝BC，∠BDA＝∠A，
∵∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠A＝30°，∠BDA＝30°，
∵∠BCD＝∠A+∠ABC，
∴∠BCD＝30°+30°＝60°，故A选项不符合题意；
∵∠A＝∠A，∠ABC＝∠BDA＝30°，
∴△ABC∽△ADB，
∴AB：AD＝AC：AB，
即AB2＝AD•AC，故B选项不符合题意；
∵∠A+∠BDA+∠ABD＝180°，
∴∠ABD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠ABD＝4∠CAB，故C选项不符合题意；
过B作BE⊥AD，垂足为点E，
∵∠A＝30°，
∴AB＝2BE，
∴AE＝，
∵AB＝DB，
∴AD＝2AE＝AB，故D选项符合题意，
故选：D．
3．（2021春•滦州市期末）如图，△ABO缩小后变为△A'B'O，其中A、B的对应点分别为A'、B'，点A、B、A'、B'均在格点上，若线段AB上有点P（m，n），则点P在A'B'上的对应点P'的坐标为（ ）
A．（，n）B．（m，n）C．（m，）D．（）
【思路引导】根据A，B两点坐标以及对应点A′，B′点的坐标得出坐标变化规律，进而得出P′的坐标．
【完整解答】解：∵△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中在格点上，
即A点坐标为：（4，6），B点坐标为：（6，2），A′点坐标为：（2，3），B′点坐标为：（3，1），
∴线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为：（）．
故选：D．
4．（2021春•周村区期末）平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2和x轴，y轴分别交于A，B两点，在第二象限内有一点P，使△PAO和△AOB相似，则符合要求的点P的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【思路引导】根据相似三角形的相似条件，画出图形即可解决问题．
【完整解答】解：如图，
①分别过点O、点A作AB、OB的平行线交于点P1，则△OAP1与△AOB相似（全等），
②作AP2⊥OP1，垂足为P2则△AOP2与△AOB相似．
③作∠AOP3＝∠ABO交AP1于P3，则△AOP3与△AOB相似．
④作AP4⊥OP3垂足为P4，则△AOP4与△AOB相似．
故选：C．
5．（2021春•福山区期末）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取B，C，D三点，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度为（ ）
A．20mB．30mC．40mD．60m
【思路引导】由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．
【完整解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴△BAE∽△CDE，
∴，
∵BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，
∴，
解得：AB＝40，
故选：C．
6．（2021春•潍坊期末）如图，△ABC的顶点A在y轴上，B，C两点都在x轴上，将边AB向右平移，平移后点A的对应点为D，点B的对应点为O，线段DO交AC于点E（2，），若AB＝5，则点D的坐标为（ ）
A．（3，3）B．（4，4）C．（3，）D．（3，4）
【思路引导】作DF⊥BC垂足为F，EG⊥BC，垂足为G，根据相似三角形的判定与性质得＝＝＝，根据平移性质和勾股定理得OF，DF的长，由此可得答案．
【完整解答】解：如图，分别作DF⊥BC垂足为F，EG⊥BC，垂足为G，
∴∠OFE＝∠OFD＝90°，
∵E（2，），
∴OG＝2，GE＝，
∵△EOG和△DOF有公共角∠DOF，
∴△EOG∽△DOF，
∴＝＝＝，
根据平移的性质可知OD＝AB＝5，
设OF＝3x，则DF＝4x，
在Rt△ODF中：OD2＝DF2+OF2，
即52＝（4x）2+（3x）2，
∴x＝1或x＝﹣1（舍去），
∴OF＝3x＝3，DF＝4x＝4．
故D点的坐标为（3，4）．
故选：D．
7．（2020秋•射洪市期末）如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1，则点A到直线DE的距离AF的长度为（ ）
A．B．C．2.5D．
【思路引导】由四边形ABCD 是矩形，得到∠ADC＝∠C＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝2，根据勾股定理得到DE的长，通过△ADF∽△DCE，得到对应边成比例，列方程即可得到结果．
【完整解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠C＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝2，
∴DE＝＝＝，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝∠C＝90°，
∴∠DAF+∠ADF＝∠ADF+∠CDE＝90°，
∴∠DAF＝∠CDE，
∴△ADF∽△DCE，
∴＝，
∴＝，
∴AF＝．
故选：A．
二．填空题
8．（2021•鞍山）如图，△ABC的顶点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C在x轴负半轴上，AB∥x轴，AB，BC分别交y轴于点D，E．若＝＝，S△ABC＝13，则k＝ 18 ．
【思路引导】过点B作BF⊥x轴于点F，通过设参数表示出三角形ABC的面积，从而求出参数的值，再利用三角形ABC与矩形ODBF的关系求出矩形面积，即可求得k的值．
【完整解答】解：如图，过点B作BF⊥x轴于点F．
∵AB∥x轴，
∴△DBE∽△OCE，
∴＝，
∵＝＝，
∴＝＝＝＝，
设CO＝3a，DE＝3b，则AD＝2a，OE＝2b，
∴，OD＝5b，
∴BD＝，
∴AB＝AD+DB＝，
∵S△ABC＝＝＝13，
∴ab＝，
∵S矩形ODBF＝BD•OD＝＝＝18，
又∵反比例函数图象在第一象限，
∴k＝18，
故答案为18．
9．（2021春•烟台期末）如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，正方形的边长为1，则阴影部分的面积为 ．
【思路引导】根据题意作出相关辅助线，从而构造相似三角形△HMN∽△AEF，△AEF∽△GNF，从而利用相似三角形的性质推出＝＝，＝，设AF＝3x，AE＝2x，将相关量代入求得AF＝，AE＝，进而结合图形利用图形面积之间的关系进行求解即可．
【完整解答】解：如下图所示，
连接图中的点，∠H＝∠A＝90°，
∵HN∥AD，
∴∠HNM＝∠AFE，
∴△HMN∽△AEF，
∴＝＝，
不妨设AF＝3x，AE＝2x，则GF＝AG﹣AF＝2﹣3x，
∵AE∥NG，
∴△AEF∽△GNF，
∴＝，即＝2﹣3x，
解得x＝，
∴AF＝，AE＝，
∴S阴影部分＝S正方形ABCD﹣S△AEF＝1﹣××＝．
故答案为：．
10．（2021•沈河区二模）如图，在▱ABCD中，AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，点M在射线DA上，过点M作MN⊥CM．且∠MCN＝∠CAD，使点C，M，N按逆时针方向排列，连接BN，当△BCN是等腰三角形时，线段CN的长度是 或或3 ．
【思路引导】由垂直定义及平行四边形的性质可得AD＝BC＝5，分三种情况进行讨论：①当BC＝CN＝5时，即AD＝BC＝CN＝5，②当BN＝CN时，过点N作NE⊥BC，根据等腰三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质可得答案；③当BN＝BC时，过点C作CF⊥BN于点F，根据相似三角形的判定与性质可得答案．
【完整解答】解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
BC＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝5，
①当BC＝CN＝5时，如图，即AD＝BC＝CN＝5，
在△CMN和△ACD中，
，
∴△CMN≌△ACD（AAS），
∴CM＝AC＝4，
∴CM＞CD，
∴此时M点不在射线DA上，故该情况不成立；
②当BN＝CN时，如图，
过点N作NE⊥BC，垂足为E，
∵BN＝CN，
∴△BCN是等腰三角形，
∴E为BC的中点，
∵BC＝5，
∴CE＝，
在Rt△ABC，Rt△MNC中，
∠CMN＝∠CAB，∠MCN＝∠CAD＝∠ACB，
∴Rt△ABC∽Rt△MNC，
∴，
∴CE＝，
∴CN＝．
③当BN＝BC时，如图：过点C作CF⊥BN于点F，如下图，
∵BN＝BC，CF⊥BN，
在Rt△ABC，△MNC中，
∠CMN＝∠CAB，∠MCN＝∠CAD＝∠ACB，
∴Rt△ABC∽△MNC，
∴，
∴∠MCN＝∠AFB，
∵∠AFB＝∠FBC，
∴∠FBC＝∠MCN，
∵∠BFC＝∠CMN＝90°，
∴Rt△BFC∽△CMN，
∴，BC＝5，
∴BF＝4，CF＝3，
NF＝BN﹣BF＝5﹣4＝1，
由勾股定理，得CN＝＝＝，
过点C作NB的延长线的垂线CF⊥NB交于F，如下图：
BN＝BC，CF⊥BN，
由（2）得，BF＝4，CF＝3，FN＝9，
∵BN＝BC＝5，
∴NF＝BN+BF＝5+4＝9，
由勾股定理：
∴CN＝＝＝3，
综上所述：CN＝或或3．
故答案为：或或3．
11．（2021春•海阳市期末）如图，在Rt△ABC纸板中，AC＝4，BC＝3，P是AC上一点，过点P沿直线剪一次剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是 0＜CP≤ ．
【思路引导】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到CP长的取值范围．
【完整解答】解：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，
此时0＜CP＜4；
如图所示，过P作∠APF＝∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，
此时0≤CP＜4；
如图所示，过P作∠CPG＝∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，
当点G与点B重合时，CB2＝CP×CA，即32＝CP×4，
∴CP＝，
∴此时，0＜CP≤；
综上所述，CP长的取值范围是0＜CP≤．
故答案为：0＜CP≤．
12．（2021春•濮阳期末）在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm，动点D从点B开始沿BA边运动，速度为1cm/s；动点E从点A开始沿AC边运动，速度为2cm/s．如果D，E两动点同时运动，那么当它们运动 或 s时，由D，A，E三点连成的三角形与△ABC相似．
【思路引导】分两种情形①当＝时，②当＝时，分别构建方程求解即可．
【完整解答】解：根据题意得：AE＝2t，BD＝t，
∴AD＝6﹣t，
∵∠A＝∠A，
∴分两种情况：
①当＝时，
即＝，解得：t＝；
②当＝时，
即＝，解得：t＝；
综上所述：当t＝或时，△ADE与△ABC相似．
13．（2021春•渝中区校级期末）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE：EB＝1：2，DF＝CF，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若图中阴影部分的面积为51平方厘米，则▱ABCD的面积为 210平方厘米 ．
【思路引导】根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，从而推出△AEP∽△FDP，△BEQ∽△FCQ，再结合题意由线段之间的关系及相似三角形的性质推出S△AEP＝S△EPF，S△ADP＝S△AEP＝S△EPF，S△DFP＝S△EPF，S△BEQ＝S△EFQ，S△BCQ＝S△BEQ＝S△EFQ，S△CFQ＝S△EFQ，设S△EPF＝a，S△EFQ＝b，AB与CD之间的距离为h，根据图形推出S梯形AEFD＝（AE+DF）h，S梯形CBEF＝（FC+BE）h，从而求得a＝21，b＝30，将其代入S平行四边形ABCD＝S梯形AEFD+S梯形CBEF求解即可．
【完整解答】解：如图，
连接EF，
∵AE：EB＝1：2，DF＝CF，
∴＝，＝，＝＝，
∴，，
根据题意可知AB＝CD，AB∥CD，
∴△AEP∽△FDP，△BEQ∽△FCQ，
∴＝，＝，
S△AEP＝S△EPF，S△ADP＝S△AEP＝S△EPF，S△DFP＝S△EPF，
S△BEQ＝S△EFQ，S△BCQ＝S△BEQ＝S△EFQ，S△CFQ＝S△EFQ，
设S△EPF＝a，S△EFQ＝b，AB与CD之间的距离为h，
S梯形AEFD＝S△AEP+S△ADP+S△EPF+S△DFP＝a+2a+a＝a，
S梯形CBEF＝S△BEQ+S△BCQ+S△EFQ+S△CFQ＝b+2b+b＝b，
又S梯形AEFD＝（AE+DF）h，S梯形CBEF＝（FC+BE）h，
∴S梯形AEFD：S梯形CBEF＝（AE+DF）：（FC+BE）＝5：7，
∴a：b＝5：7，
整理得：＝，
又a+b＝51，
解得a＝21，b＝30，
∴S平行四边形ABCD＝S梯形AEFD+S梯形CBEF＝a+b＝210（平方厘米）．
故答案为：210平方厘米．
14．（2021春•莱州市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．在其内并排放入（不重叠）n个相同的小正方形纸片，使这些纸片的一边都在AB上，首尾两个正方形各有一个顶点D，E分别在AC，BC上，则小正方形的边长为 ．（用含n的代数式表示）
【思路引导】先作CF⊥AB，交DE于点H，在Rt△ABC中利用勾股定理易求AB，再根据三角形的面积公式可得×3×4＝×5×CF，从而易求CF，再根据DE∥AB，利用平行线分线段成比例定理的退路可得△DEC∽△ABC，于是CH：CF＝DE：AB，进而可求小正方形的边长．
【完整解答】解：作CF⊥AB，交DE于点H，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
∵S△ABC＝×3×4＝×5×CF，
∴CF＝，
∵DE∥AB，
∴△DEC∽△ABC，
又∵CH⊥DE，CF⊥AB，
∴CH：CF＝DE：AB，
设小正方形的边长是x，
∴（﹣x）：＝nx：5，
解得x＝．
故答案为：．
15．（2021春•鄂州期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，AC＝9，AB＝15，D、E两点分别在边AC和y轴的正半轴上，现将边长为2的正方形OCDE沿x轴向右平移，当点D落在AB边上时，则正方形OCDE移动的距离为 ．
【思路引导】根据已知条件得到BC＝12，可得顶点A，B的坐标分别为（﹣2，9）和（10，0），根据正方形的性质得到DE＝OC＝OE＝2，求得O′E′＝O′C′＝2，根据相似三角形的性质得到BC′＝，于是得到结论．
【完整解答】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，
∵AC＝9，AB＝15，
∴BC＝＝＝12，
∵正方形OCDE边长为2，
∴顶点A，B的坐标分别为（﹣2，9）和（10，0），
∵四边形OCDE是正方形，
∴DE＝OC＝OE＝2，
∴O′E′＝O′C′＝2，
∵E′O′⊥BC，
∴∠BO′E′＝∠BCA＝90°，
∴E′O′∥AC，
∴△BC′D′∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
∴BC′＝，
∴OC′＝OB﹣BC′＝10﹣＝，
∴DD′＝OC′+OC＝+2＝．
∴当点D落在AB边上时，点D的坐标为（，2），
∴正方形OCDE移动的距离为．
故答案为：．
16．（2021•营口）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是AB边上一点，AE＝3，连接DE，点F是BC延长线上一点，连接AF，且∠F＝∠EDC，则CF＝ 6 ．
【思路引导】如图，连接EC，过点D作DH⊥EC于H．证明CE∥AF，利用平行线分线段成比例定理，解决问题即可．
【完整解答】解：如图，连接EC，过点D作DH⊥EC于H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝5，
∵AE＝3，
∴DE＝＝＝5，
∴DE＝DC，
∵DH⊥EC，
∴∠CDH＝∠EDH，
∵∠F＝∠EDC，∠CDH＝∠EDC，
∴∠CDH＝∠F，
∵∠BCE+∠DCH＝90°，∠DCH+∠CDH＝90°，
∴∠BCE＝∠CDH，
∴∠BCE＝∠F，
∴EC∥AF，
∴＝，
∴＝，
∴CF＝6，
故答案为：6．
17．（2021•雁塔区校级模拟）我国是最早了解勾股定理的国家之一．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边分别向外作正方形，即可证明勾股定理．连接CG交AB于点M，连接CE，CH，若CH＝2CE，则的值为 ．
【思路引导】过C作CN⊥AB于N，判定△ACE∽△BCH，即可得到＝＝；设AC＝a，再根据勾股定理以及面积法即可得到AB与CN的长，进而得出AN的长；再根据△CNM∽△GBM，即可得到MN和BM的长，进而得到的值．
【完整解答】解：如图所示，过C作CN⊥AB于N，
由题可得，∠CAE＝∠CBH＝90°，∠ACE＝∠BCH＝45°，
∴△ACE∽△BCH，
∴＝＝，
设AC＝a，则BC＝2a，AB＝a，CN＝＝a，
Rt△ACN中，AN＝＝a，
∴BN＝a﹣a＝a，
∵∠CNM＝∠GBM＝90°，∠CMN＝∠GMB，
∴△CNM∽△GBM，
∴＝＝＝，
∴MN＝BN＝a，BM＝NB＝a，
∴AM＝AN+MN＝a，
∴＝＝，
故答案为：．
18．（2021•山西）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，则AB的长为 4 ．
【思路引导】取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，设BD＝a，由三角形中位线定理可得DF＝a，EF∥AC，DE＝3，通过证明四边形DGEH是正方形，可得DE＝DG＝3，DH∥EF，通过证明△BDH∽△DFG，可得，可求BH的长，在Rt△DHB中，利用勾股定理可求BD的长，即可求解．
【完整解答】解：如图，取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，
设BD＝a，
∴AD＝3BD＝3a，AB＝4a，
∵点E为CD中点，点F为AD中点，CD＝6，
∴DF＝a，EF∥AC，DE＝3，
∴∠FED＝∠ACD＝45°，
∵∠BED＝45°，
∴∠FED＝∠BED，∠FEB＝90°，
∵DG⊥EF，DH⊥BE，
∴四边形EHDG是矩形，DG＝DH，
∴四边形DGEH是正方形，
∴DE＝DG＝3，DH∥EF，
∴DG＝DH＝3，
∵DH∥EF，
∴∠BDH＝∠DFG，
∴△BDH∽△DFG，
∴，
∴＝，
∴BH＝2，
∴BD＝＝＝，
∴AB＝4，
故答案为：4．
三．解答题
19．（2021春•瑶海区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，且BC＝CE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若OD＝DE，OC＝1，求菱形ABCD的周长．
【思路引导】（1）先证明四边形ACED是平行四边形，进而可证明四边形ABCD是平行四边形，再由AC⊥BD，即可证得结论；
（2）根据四边形ACED是平行四边形，可得出AC＝DE，进而可推出OD＝AC，再利用菱形性质和勾股定理即可求得答案．
【完整解答】解：（1）∵AD∥BC，DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AD＝CE，
∵BC＝CE，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形；
（2）由（1）知，四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝DE，
∵OD＝DE，
∴OD＝AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝1，
∴OD＝AC＝2，
∵∠COD＝90°，
∴CD＝＝＝，
∴菱形ABCD的周长＝4CD＝4．
20．（2021春•周村区期末）如图，在直角坐标系xOy中，△AOB的顶点坐标分别是A（1，0），O（0，0），B（2，2）．
（1）画出△A1OB1，使△A1OB1与△AOB关于点O中心对称；
（2）以点O为位似中心将△AOB放大，得到△A2OB2，使△A2OB2与△AOB的相似比为2：1，画出一个满足条件的△A2OB2．
【思路引导】（1）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）分别作出点A、B位似变换后的对应点，再首尾顺次连接即可．
【完整解答】解：（1）如图所示，△A1OB1即为所求；
（2）如图所示，△A2OB2即为所求．
21．（2021•大连模拟）AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E．
（1）如图1，求证∠COB＝2∠BCD；
（2）如图2，弦BF与CD相交于点M，当OA＝4，DE＝，BM＝时，求BF的长．
【思路引导】（1）如图1中，连接OD．利用垂径定理证明∠BOC＝∠BOD，再利用圆周角定理证明∠BOD＝2∠BCD即可．
（2）证明△MBE∽△ABF，可得＝，即可解决问题．
【完整解答】（1）证明：如图1中，连接OD．
∵AB⊥CD，AB是直径，
∴＝，
∴∠BOC＝∠BOD，
∵∠BOD＝2∠BCD，
∴∠BOC＝2∠BCD．

（2）解：如图2中，
∵AB⊥CD，
∴CE＝DE，∠MEB＝90°，
∴OE＝＝＝1，
∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠AFB＝∠MEB，
∵∠MBE＝∠ABF，
∴△MBE∽△ABF，
∴＝，
∴BF＝＝＝．
22．（2021•安徽模拟）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在AD上，AE＝AB，EC与BD相交于点F，且BD⊥EC．
（1）连接BE，求证：△AFD∽△BED；
（2）如图2，连接AF并延长交CD于点G，求∠DFG的度数；
（3）若AD＝1，求AB的长．
【思路引导】（1）利用四边形ABCD是矩形，BD⊥EC，证明△FDE∽△ADB，得到＝，进而可证得△AFD∽△BED；
（2）利用（1）中结论可得∠DFA＝∠DEB，则∠BEA＝∠BFA，进而可得∠DFG＝∠BFA＝45°；
（3）利用四边形ABCD是矩形，BD⊥EC，证明△CDE∽△DAB，可得＝，设AB的长为x，则DE＝1﹣x，即可求得AB．
【完整解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，BD⊥EC，
∴∠DFE＝∠DAB＝90°，
∵∠FDE＝∠ADB，
∴△FDE∽△ADB，
∴＝，
∵∠EDB＝∠FDA，
∴△AFD∽△BED；
（2）解：连接BE，
∵△AFD∽△BED，
∴∠DFA＝∠DEB，
∴∠BEA＝∠BFA，
∵AE＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠BEA＝45°，
∴∠BFA＝45°，
∴∠DFG＝∠BFA＝45°；
（3）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠CDE＝∠DAB＝90°，
∵BD⊥EC，
∴∠ADB＝∠DCE，
∴△CDE∽△DAB，
∴＝，
设AB的长为x，则DE＝1﹣x，
∴＝，
解得x1＝，x2＝（舍去），
∴AB的长为．
23．（2020秋•北海期末）在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4．
（1）如图1，∠A＝90°，N为BC上一点，M为AB上一点，若DN⊥MN，CN＜BN，BM＝1，求证：DN＝MN；
（2）如图2，N为BC上一点，M为AB上一点，若∠DNM＝∠B＝60°，求证：．
【思路引导】（1）根据题意由角之间的互余关系得到∠MNB＝∠NDC，从而推出△BMN∽△CND，利用相似三角形的性质求得CN＝BM＝1，BN＝DC＝3，从而根据勾股定理推出DN＝MN；
（2）根据题意结合图形作出相关辅助线，从而构造△DCE，根据平行四边形的性质推出∠B＝DCE＝∠DNM＝60°、再根据三角形的内角结合图形推出∠BMN＝∠E，从而推出△BMN∽△CED，进而利用相似三角形的性质即可得证．
【完整解答】证明：（1）根据题意可知AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，∠B＝∠C＝∠A＝90°，
不妨设CN＝x，则BN＝4﹣x，
∵DN⊥MN，
∴∠MNB+∠DNC＝90°，
又∠DNC+∠NDC＝90°，
∴∠MNB＝∠NDC，
∴△BMN∽△CND，
∴，即，
解得x＝1或x＝3，
∵CN＜BN，
∴x＝1，
∴CN＝BM＝1，BN＝DC＝3，DN＝＝，MN＝＝，
∴DN＝MN；
（2）如下图，
过点D作DE＝DN，并与BC的延长线交于点E，
则∠E＝∠DNE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADC＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCE＝60°，∠ADN＝∠DNE，
∴∠B＝DCE＝∠DNM＝60°，
∵∠BMN+∠MNB＝120°，∠MNB+∠DNE＝120°，
∴∠BMN＝∠DNE，
∴∠BMN＝∠E，
∴△BMN∽△CED，
∴
∴．
24．（2020秋•如皋市期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点E，过点E作MN∥AD，分别交AB，CD于点M，N．
（1）求证：△AME∽△ABC；
（2）求证：＝+；
（3）若AD＝5，BC＝7，求MN的长．
【思路引导】（1）利用相似三角形的判定定理直接证明即可；
（2）利用平行线分线段成比例定理，再证明△AME∽△ABC，△DEN∽△DBC，△CEN∽△CAD，△AME∽△ABC，根据相似三角形的性质求解即可；
（3）结合（2）中的结论，将AD＝5，BC＝7代入求解即可．
【完整解答】（1）证明：∵AD∥BC，MN∥AD，
∴MN∥BC，
∴△AME∽△ABC；
（2）证明：∵MN∥AD，AD∥BC，
∴＝，
∵MN∥BC，
∴△AME∽△ABC，△DEN∽△DBC，
∴＝，＝，∴＝，
∴ME＝NE，
∴点E是MN的中点，ME＝NE＝MN，
∵AD∥BC∥MN，
∴△CEN∽△CAD，△AME∽△ABC，
∴＝，＝，
∴+＝+＝＝1，
∴+＝1，
∴＝+．
（3）结合（2）的结论，
∵AD＝5，BC＝7，
∴＝，
∴ME＝，
∵ME＝NE，
∴MN＝ME+NE＝+＝．
25．（2020秋•连南县期末）如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，且AD为∠BAC的角平分线，若∠ABE＝∠C，＝．
（1）求证：△AEB∽△ADC．
（2）求△BDE与△ABC的面积比．
【思路引导】（1）根据AD为∠BAC的角平分线，可得∠BAE＝∠CAE，进而可以证明△AEB∽△ADC；
（2）过点B作BH⊥AD交AD于点H，设S△ABE＝3x，则S△BDE＝2x，结合（1）即可求△BDE与△ABC的面积比．
【完整解答】（1）证明：∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠ABE＝∠C，
∴△AEB∽△ADC；
（2）如图，过点B作BH⊥AD交AD于点H，
∴，
设S△ABE＝3x，则S△BDE＝2x，
∵，
∴，
∵△AEB∽△ADC．
∴，
∵S△ABE＝3x，
∴，
∴，
即△BDE与△ABC面积之比为．
26．（2021•建华区二模）如图，BD为⊙O的直径，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝2，ED＝4．
（1）求AB的长；
（2）延长DB到F，使得BF＝BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．
【思路引导】（1）易证得△BAE∽△DAB，得到AB：AD＝AE：AB，即AB2＝AD•AE，而AE＝2，ED＝4，即可计算出AB的长；
（2）连OA，根据圆周角定理的推论得到∠BAD＝90°，再利用勾股定理计算出BD，得到∠D＝30°，易得△OAB为等边三角形，则有AB＝BF＝BO，根据圆周角定理的推论得到△OAF为直角三角形，即∠OAF＝90°，然后根据切线的判定定理得到直线AF是⊙O的切线．
【完整解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠C与∠D是同弧所对的圆周角，
∴∠C＝∠D，
∴∠ABC＝∠D，
∵∠BAE＝∠DAB，
∴△BAE∽△DAB，
∴AB：AD＝AE：AB，即AB2＝AD•AE，
又∵AE＝2，ED＝4．
∴AD＝6，
∴AB2＝2×6＝12，
∴AB＝2；
（2）直线FA与⊙O相切．理由如下：
连OA，如图，
∵BD为直径，
∴∠BAD＝90°，
∴BD＝＝＝4，
∴∠D＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴AB＝BO，
又∵BF＝BO，
∴AB＝BF＝BO，
∴∠ABO＝∠AOB＝60°，∠F＝∠FAB，
∴∠F＝∠FAB＝∠ABO＝30°，
∴∠OAF＝∠FAB+∠BAO＝90°，
∴直线AF是⊙O的切线．
27．（2021•安徽三模）如图，⊙O中弦AB与CD交于M点．
（1）求证：C△ADM：C△BCM＝DM：BM；
（2）连接OA，OC，若∠D＝60°，弦AC的长2，求劣弧AC与弦AC所围成的弓形面积．
【思路引导】（1）根据圆周角定理得到∠D＝∠B，证明△DMA∽△BMC，根据相似三角形的性质列出比例式，即可证明结论；
（2）连接OA，OC，过O作OH⊥AC于H点，根据圆周角定理、垂径定理计算即可．
【完整解答】（1）证明：∵＝，
∴∠D＝∠B，
∵∠DMA＝∠BMC，
∴△DMA∽△BMC，
∴＝；
（2）解：如图，连接OA，OC，过O作OH⊥AC于H点，
∵∠D＝60°，
∴∠AOC＝120°，∠OAH＝30°，AH＝CH，
∵AC＝2，
∴AH＝，
∴⊙O半径为2，OH＝1，
∴S弓形AOC＝S扇形AOC﹣S△AOC＝﹣2×1＝﹣．
28．（2021•金东区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，CA的延长线交⊙O于点F．
（1）求证：DE⊥AC．
（2）若DE+EA＝8，AF＝16，求⊙O的半径．
【思路引导】（1）根据已知条件得到OD∥AC即可，于是得到结论；
（2）如图，过点O作OH⊥AF于点H，于是得到∠ODE＝∠DEH＝∠OHE＝90°，推出四边形ODEH是矩形，根据矩形的性质得到OD＝EH，OH＝DE．由垂径定理得到AH＝AF＝8，设AE＝x．求得OH＝DE＝8﹣x，OA＝OD＝HE＝AH+AE＝8+x，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【完整解答】（1）证明：∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，OD是半径，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE＝∠DEH＝∠OHE＝90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴OD＝EH，OH＝DE．
∴AH＝AF＝8，
设AE＝x．
∵DE+AE＝8，
∴OH＝DE＝8﹣x，OA＝OD＝HE＝AH+AE＝8+x，
在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2＝OA2，
∴82+（8﹣x）2＝（8+x）2，
解得：x＝2，
∴OA＝8+2＝10．
∴⊙O的半径为10．
29．（2021春•周村区期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝18，AD＝9，AF＝6，求AE的长．
【思路引导】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，证明∠ADF＝∠CED，∠AFD＝∠C．即可得到△ADF∽△DEC；
（2）根据△ADF∽△DEC，可得＝，根据AB＝18，AD＝9，AF＝6，得到DE的长，再根据勾股定理即可求出AE的长．
【完整解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADF＝∠CED，∠B+∠C＝180°，
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B．
∴∠AFD＝∠C．
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵△ADF∽△DEC，
∴＝，
∵AB＝18，AD＝9，AF＝6，
∴＝，
∴DE＝27，
∵AD∥BC，AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
在Rt△ADE中，根据勾股定理，得
AE＝＝＝18．
30．（2020秋•垦利区期末）如图①，在Rt△AEF的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，AF＝40m，AE＝30m．
（1）如果设矩形的一边AB＝xm，那么AD边的长度如何表示？
（2）设矩形的面积为ym2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
（3）如果把矩形改为如图②所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？
【思路引导】（1）根据矩形的性质证明△EDC∽△EAF，对应边成比例即可表示AD边的长度；
（2）结合（1）表示矩形的面积，利用二次函数的性质即可求出y的最大值；
（3）过点A作AM⊥EF于点M，交BH于点N，结合（1）表示矩形的面积，利用二次函数的性质即可求出y的最大值．
【完整解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，DC∥AF，
∵AF＝40m，AE＝30m，AB＝xm，
∴CD＝xm，
∵CD∥AF，
∴△EDC∽△EAF，
∴，
∴，
∴DE＝，
∴AD＝；
（2）由题意得：
y＝AD•AB＝x（）＝（0＜x＜40），
∴当x＝20时，最大面积y为300m2；
（3）∵∠A＝90°，AF＝40m，AE＝30m，
∴EF＝50m，
过点A作AM⊥EF于点M，交BH于点N，
∴AM＝24m，
∵四边形BCDH是矩形，
∴BH∥EF，MN＝BC，
∴，AN＝24﹣BC，
设BH＝xm，
∴，
∴BC＝，
∴y＝BH•BC＝x（）＝，
∴当x＝25时，矩形的最大面积是300m2．