高中数学苏教版 (2019)必修 第二册扇形统计图、折线统计图、频数直方图学案

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册扇形统计图、折线统计图、频数直方图学案，共11页。学案主要包含了学习目标，诊断分析，课中探究等内容，欢迎下载使用。
14.3.2 频率分布直方图
【学习目标】
1.结合实际问题,理解扇形统计图、折线统计图、频数直方图、频率分布表、频率分布直方图的特点及差异.
2.能够在不同情境中,选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述,体会合理使用其他统计图的重要性.
3.结合具体实例,认识样本与总体的关系,逐步建立用样本估计总体的思想,尝试运用统计语言描述总体的特征.
◆ 知识点一 扇形统计图、折线统计图和频数直方图的特点
【诊断分析】 判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)频数直方图主要用于直观描述各类数据占总数的比例.( )
(2)折线统计图主要用于描述数据随时间的变化趋势.( )
(3)扇形统计图适用于描述连续型数据.( )
(4)频数直方图适用于描述连续型数据.( )
◆ 知识点二 频率分布直方图
1.频率分布表
当总体很大或不便于获得时,可以用样本的频率分布估计总体的频率分布.我们把反映样本的频率分布的表格称为 .
2.频率直方图
把横轴均分成若干段,每一段对应的长度称为 ,然后以此段为底作矩形,它的高等于该组的 ,这样得出一系列的矩形,每个矩形的面积恰好是该组的 ,这些矩形就构成了直方图,这种直方图称为 .
3.频率折线图
将频率分布直方图中各个矩形的上底边的中点顺次连接起来,并将两边端点向外延伸半个组距,就得到 ,简称 .
【诊断分析】 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)频率分布直方图中小长方形的高表示该组内的个体在样本中出现的频率与组距的比值.( )
(2)频率分布直方图中小长方形的面积表示该组的个体数.( )
(3)频率分布直方图中所有小长方形的面积之和为1.( )
(4)将频率分布直方图中各个矩形的上底边的中点顺次连接起来,就得到频率折线图.( )
2.已知一个容量为32的样本,某组的频率为0.125,则该组的频数为 .
◆ 探究点一 扇形统计图、折线统计图、频数直方图及应用
例1 (1)某商户收集并整理了2023年1月到8月线上和线下收入(单位:万元)的数据,并绘制出如图所示的折线统计图,则下列说法错误的是( )
A.该商户这8个月中,收入最高的是7月
B.该商户这8个月的线上总收入低于线下总收入
C.该商户这8个月中,线上、线下收入相差最小的是7月
D.该商户这8个月中,月收入不少于17万元的频率是12
(2)(多选题)某企业不断自主创新提升技术水平,积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等5种系列产品的结构比例,近年来取得了显著效果.据悉该企业2023年5种系列产品年总收入是2021年的2倍,其中5种系列产品的年收入构成比例如图所示,则下列说法正确的是( )
A.2023年甲系列产品收入比2021年的多
B.2023年乙和丙系列产品收入之和比2021年的企业年总收入还多
C.2023年丁系列产品收入是2021年丁系列产品收入的13
D.2023年戊系列产品收入是2021年戊系列产品收入的2倍
变式 (1)(多选题)某保险公司为客户定制了5个险种:甲,一年期短险;乙,两全保险;丙,理财类保险;丁,定期寿险;戊,重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种的参保客户(假设每位客户只参保一个险种)进行抽样调查,得出如图所示的统计图,以下四个选项中说法正确的有( )
A.54周岁及以上客户人数最多
B.18~29周岁客户参保总费用最低
C.丁险种更受客户青睐
D.30周岁及以上的客户约占参保客户的80%
(2)如图是根据某市3月1日至3月10日的最低气温(单位:℃)绘制的折线统计图,试根据折线统计图反映的信息,绘制该市3月1日到3月10日最低气温(单位:℃)的扇形统计图.
[素养小结]
扇形统计图中,用整个圆的面积代表全部数据,圆内的各个扇形面积的大小反映了部分数据占全部数据的百分比的大小.扇形统计图能清楚地表示各部分数据在全部数据中所占的百分比.
◆ 探究点二 绘制频率分布直方图
例2 一个农技站为了考察某种麦穗生长长度的分布情况,在一块试验田里抽取了100株麦穗,量得长度如下(单位:cm):
6.5 6.4 6.7 5.8 5.9 5.9 5.2 4.0 5.4 4.6
5.8 5.5 6.0 6.5 5.1 6.5 5.3 5.9 5.5 5.8
6.2 5.4 5.0 5.0 6.8 6.0 5.0 5.7 6.0 5.5
6.8 6.0 6.3 5.5 5.0 6.3 5.2 6.0 7.0 6.4
6.4 5.8 5.9 5.7 6.8 6.6 6.0 6.4 5.7 7.4
6.0 5.4 6.5 6.0 6.8 5.8 6.3 6.0 6.3 5.6
5.3 6.4 5.7 6.7 6.2 5.6 6.0 6.7 6.7 6.0
5.6 6.2 6.1 5.3 6.2 6.8 6.6 4.7 5.7 5.7
5.8 5.3 7.0 6.0 6.0 5.9 5.4 6.0 5.2 6.0
6.3 5.7 6.8 6.1 4.5 5.6 6.3 6.0 5.8 6.3
根据上面的数据列出频率分布表,绘制出频率分布直方图,并估计在这块试验田里长度在5.75~6.35 cm之间的麦穗所占的百分比.
变式1 《国家体质健康标准》的测试类别分为身体形态、身体机能、身体素质三大类,其中身体形态类的项目包括身高、体重.在针对某校学生体质健康的抽样检测中,检测组对学校参与检测的女生的身高(单位:cm)数据进行整理后列出了如下频率分布表:
(1)求出表中a,b,M,N所表示的值;
(2)画出频率分布直方图;
(3)估计这500名11岁男孩中身高小于161.5 cm的女生占全部女生人数的百分比.
变式2 下表给出了在某校500名11岁男孩中,用随机抽样得出的120人的身高(单位:cm).
(1)列出样本频率分布表(频率保留2位小数);
(2)画出频率分布直方图;
(3)估计这500名11岁男孩中身高小于134 cm的人数占总人数的百分比.
[素养小结]
绘制频率分布直方图时应注意的问题:
(1)在列出频率分布表后,画频率分布直方图的关键就是确定矩形的高.一般地,频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是不一致的,合理的定高方法是先确定“一个恰当的单位长度”(没有统一规定),然后以各组的“频率组距”所占的比例来定高.
(2)数据要合理分组,组距要恰当选取,在频率分布直方图中,各个矩形的面积等于各组的频率,小长方形的高与频数成正比,各组频数之和等于样本量,频率之和为1.
◆ 探究点三 频率分布直方图的应用
例3 已知某城市100户居民的月平均用电量(单位:度)均在[160,300]内,以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图所示.
(1)求频率分布直方图中x的值,并说明在这100户居民中,月平均用电量不低于220度的有多少户?
(2)从月平均用电量在[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]内的四组居民中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则应从月平均用电量在[220,240)内的居民中抽取多少户?
变式 从某校高一年级学生中随机抽取了20名学生,将他们的数学成绩(单位:分,满分为100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图,则成绩在[70,80)内的人数为 .
14.3 统计图表
14.3.1 扇形统计图、折线统计图、频数直方图
14.3.2 频率分布直方图
知识点一
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× (4)√
知识点二
1.频率分布表
2.组距 频率组距 频率 频率分布直方图
3.频率折线图 折线图
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2.4 [解析] 因为样本容量为32,某组的频率为0.125,并且频率=频数样本容量,所以该组的频数为0.125×32=4.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)B (2)ABD [解析] (1)对于A,该商户1月到8月的收入依次为16万元、13.5万元、16万元、17万元、17万元、16万元、20万元、17.5万元,故A中说法正确;对于B,该商户这8个月的线上总收入为72万元,线下总收入为61万元,故B中说法错误;对于C,根据折线统计图可知,该商户这8个月中,线上、线下收入相差最小的是7月,故C中说法正确;对于D,该商户这8个月中,月收入不少于17万元的有4个月,频率为12,故D中说法正确.故选B.
(2)对于A,2023年甲系列产品收入占了总收入的20%,2021年甲系列产品收入占了总收入的30%,而该企业2023年5种系列产品年总收入是2021年的2倍,故2023年甲系列产品收入比2021年的多,故A正确;对于B,2023年乙和丙系列产品收入之和占了总收入的55%,该企业2023年5种系列产品年总收入是2021年的2倍,故2023年乙和丙系列产品收入之和比2021年的企业年总收入还多,故B正确;对于C,2023年丁系列产品收入占了总收入的5%,2021年丁系列产品收入占了总收入的20%,而该企业2023年5种系列产品年总收入是2021年的2倍,故2023年丁系列产品收入是2021年丁系列产品收入的12,故C错误;对于D,2023年戊系列产品收入占了总收入的20%,2021年戊系列产品收入占了总收入的20%,而该企业2023年5种系列产品年总收入是2021年的2倍,故2023年戊系列产品收入是2021年戊系列产品收入的2倍,故D正确.故选ABD.
变式 (1)CD [解析] 对于A,观察参保人数比例扇形统计图可知,54周岁及以上客户人数占比8%,是最少的,故A错误;对于B,折线统计图显示了人均参保费用,但参保人数比例不同,易知18~29周岁客户参保总费用不是最低的,故B错误;对于C,由参保险种比例统计图可知,丁险种参保比例最高,故C正确;对于D,18~29周岁客户占比20%,所以30周岁及以上的客户约占参保客户的80%,故D正确.故选CD.
(2)解:由题图知,该市3月1日至3月10日的最低气温(单位:℃)的情况如下表:
其中最低气温为-3 ℃的有1天,占10%;最低气温为-2 ℃的有1天,占10%;最低气温为-1 ℃的有2天,占20%;最低气温为0 ℃的有2天,占20%;最低气温为1 ℃的有1天,占10%;最低气温为2 ℃的有3天,占30%.
作出扇形统计图如图所示.
探究点二
例2 解:(1)求极差:7.4-4.0=3.4.
(2)决定组距与组数:若取组距为0.3,由3.40.3≈11.3可知,分为12组较合适,
所以取组距为0.3,组数为12.
(3)将数据分组:将数据以组距0.3分为12组:[3.95,4.25),[4.25,4.55),[4.55,4.85),…,[7.25,7.55].
(4)列频率分布表:
(5)绘制频率分布直方图如图所示.
从表中看到,样本数据落在[5.75,6.35)内的频率是0.28+0.13=0.41,于是可以估计在这块试验田里长度在5.75~6.35 cm之间的麦穗占41%.
变式1 解:(1)由频率分布表得M=20.04=50,∴a=50-2-10-20-14=4.易知N=1,∴b=1-0.04-0.2-0.4-0.28=0.08.
(2)由题意知组距为4,则可画出频率分布直方图如图所示.
(3)由频率分布表可知,身高小于161.5 cm的女生在样本中出现的频率为0.04+0.2+0.4=0.64,所以估计身高小于161.5 cm的女生占全部女生人数的64%.
变式2 解:(1)列出样本频率分布表如下:
(2)画出频率分布直方图如图.
(3)由样本频率分布表可知,身高小于134 cm的男孩出现的频率为0.04+0.07+0.08=0.19,所以估计这500名11岁男孩中身高小于134 cm的人数占总人数的19%.
探究点三
例3 解:(1)由题意得(0.002+0.002 5+0.005+x+0.009 5+0.011+0.012 5)×20=1,解得x=0.007 5.
月平均用电量在[220,240)内的用户有0.012 5×20×100=25(户),月平均用电量在[240,260)内的用户有0.007 5×20×100=15(户),月平均用电量在[260,280)内的用户有0.005×20×100=10(户),月平均用电量在[280,300]内的用户有0.002 5×20×100=5(户),所以月平均用电量不低于220度的有25+15+10+5=55(户).
(2)应从月平均用电量在[220,240)内的用户中抽取11×2525+15+10+5=5(户).
变式 6 [解析] 由题意得(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1,解得a=0.030,所以成绩在[70,80)内的人数为20×0.030×10=6.
统计图
主要应用
扇形统计图
直观描述各类数据占总数的比例
折线统计图
描述数据随时间的变化趋势
频数直方图
直观描述不同类别或分组数据的频数和频率
分组
频数
频率
[149.5,153.5)
2
0.04
[153.5,157.5)
10
0.2
[157.5,161.5)
20
0.4
[161.5,165.5)
14
0.28
[165.5,169.5]
a
b
合计
M
N
分组
[122,126)
[126,130)
[130,134)
[134,138)
[138,142)
人数
5
8
10
22
33
分组
[142,146)
[146,150)
[150,154)
[154,158]
—
人数
20
11
6
5
—
日期(日)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
最低气温(℃)
-3
-2
0
-1
1
2
0
-1
2
2
分组
频数
频率
[3.95,4.25)
1
0.01
[4.25,4.55)
1
0.01
[4.55,4.85)
2
0.02
[4.85,5.15)
5
0.05
[5.15,5.45)
11
0.11
[5.45,5.75)
15
0.15
[5.75,6.05)
28
0.28
[6.05,6.35)
13
0.13
[6.35,6.65)
11
0.11
[6.65,6.95)
10
0.10
[6.95,7.25)
2
0.02
[7.25,7.55]
1
0.01
合计
100
1.00
分组
频数
频率
[122,126)
5
0.04
[126,130)
8
0.07
[130,134)
10
0.08
[134,138)
22
0.18
[138,142)
33
0.28
[142,146)
20
0.17
[146,150)
11
0.09
[150,154)
6
0.05
[154,158]
5
0.04
合计
120
1.00