2026届高三高考总复习讲义 数学（人教B版）第八章 平面解析几何 第1节 直线的方程 含解析

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【知识梳理】
1.直线的倾斜角
一般地,给定平面直角坐标系中的一条直线,如果这条直线与x轴相交,将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ,则称θ为这条直线的倾斜角;倾斜角的取值范围是[0,π).
2.直线的斜率
(1)一般地,如果直线l的倾斜角为θ,则当θ≠90°时,称k=tan θ为直线l的斜率;当θ=90°时,称直线l的斜率不存在.
(2)若A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,则当x1≠x2时,直线l的斜率为k=y2-y1x2-x1;当x1=x2时,直线l的斜率不存在.
(3)设A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点,则向量AB=(x2-x1,y2-y1)是直线l的方向向量.若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(u,v),则k=vu.
3.直线方程的五种形式
[常用结论与微点提醒]
1.直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
牢记口诀:“斜率变化分两段,90°是分界线;遇到斜率要谨记,存在与否要讨论.”
2.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.
3.直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的一个方向向量a=(-B,A).
【诊断自测】概念思考辨析+教材经典改编
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面直角坐标系中的直线都有倾斜角与斜率.( )
(2)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.( )
(3)直线y=kx-2一定过定点(0,-2).( )
(4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)·(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
解析 (1)当直线的倾斜角为90°,直线不存在斜率.
(2)当直线的倾斜角α1=135°,α2=45°时,α1>α2,但其对应斜率k1=-1,k2=1,k10)可能是( )
答案 B
解析 因为k>0,故A,C不正确;
当x=-1时,y=0,直线过点(-1,0),故选B.
3.(北师大选修一P8T3改编)已知直线l的一个方向向量v=(3,1),则直线l的斜率为( )
A.-3B.3
C.-13D.13
答案 D
解析 因为v=(3,1),故直线的斜率为k=13.
4.(人教A选修一P67习题2.2T2改编)已知A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则x= .
答案 -3
解析 因为A,B,C三点共线,所以kAB=kAC,
所以7-54-3=x-5-1-3,
所以x=-3.
考点一 直线的倾斜角与斜率
例1 (1)已知直线l的一个方向向量为p=sinπ3,csπ3,则直线l的倾斜角为( )
A.π6B.π3
C.2π3D.4π3
答案 A
解析 由题意得,直线l的斜率k=csπ3sinπ3=33=tanπ6,即直线l的倾斜角为π6.
(2)已知两点A(2,-3),B(-3,2),直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是( )
A.-4≤k≤-14B.k≤-4或k≥-14
C.-4≤k≤34D.-34≤k≤4
答案 B
解析 结合图形,由题意得,所求直线的斜率k满足k≥kPB或k≤kPA,
即k≥-14或k≤-4,
即直线的斜率的取值范围是k≤-4或k≥-14.
思维建模 1.斜率的三种求法:定义法、斜率公式法、方向向量法.
2.倾斜角和斜率范围求法:(1)图形观察(数形结合);(2)充分利用函数k=tan α的单调性.
3.当直线l的倾斜角α∈0,π2时,α越大,直线l的斜率越大;当α∈π2,π时,α越大,直线l的斜率越大.
训练1 (1)(2025·贵阳调研)直线l1,l2的倾斜角分别为α,β,则“α=β”是“tan α=tan β”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由题意知,α,β∈[0,π),
所以若tan α=tan β,则α=β;
若α=β=π2,则不存在tan α,tan β,就不可能得到tan α=tan β.
所以“α=β”是“tan α=tan β”的必要不充分条件.
(2)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,3)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为 ;倾斜角的取值范围为 .
答案 (-∞,-3]∪[1,+∞) π4,2π3
解析 如图,当直线l过点B时,设直线l的斜率为k1,
则k1=3-00-1=-3;
当直线l过点A时,设直线l的斜率为k2,则k2=1-02-1=1,
所以要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率的取值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞),
倾斜角的取值范围是π4,2π3.
考点二 直线的方程
例2 求符合下列条件的直线方程:
(1)直线过点A(-1,-3),且斜率为-14;
(2)直线过点A(0,-1)和B(-1,5);
(3)直线过点A(2,1),且横截距为纵截距的两倍.
解 (1)∵所求直线过点A(-1,-3),且斜率为-14,
∴所求直线方程为y+3=-14(x+1),
即x+4y+13=0.
(2)法一(两点式) 由A(0,-1)和B(-1,5)得两点式方程为y+15+1=x-0-1-0,
整理得6x+y+1=0.
法二(点斜式) 由A(0,-1)和B(-1,5)得kAB=5+1-1-0=-6,
直线方程为y+1=-6(x-0),整理得6x+y+1=0.
(3)当横截距与纵截距都为0时,可设直线方程为y=kx,
又直线过点(2,1),∴1=2k,解得k=12,
∴直线方程为y=12x,即x-2y=0;
当横截距与纵截距都不为0时,可设直线方程为xa+yb=1,
由题意可得2a+1b=1,a=2b,解得a=4,b=2,
∴直线方程为x4+y2=1,即x+2y-4=0;
综上,所求直线方程为
x-2y=0或x+2y-4=0.
思维建模 1.在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.
2.对于点斜式、截距式方程,要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应判断截距是否为零).
训练2 (1)(多选)(2025·武汉质检)下列说法正确的是( )
A.截距相等的直线都可以用方程xa+ya=1表示
B.方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行y轴的直线
C.经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tan θ(x-1)
D.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程为(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0
答案 BD
解析 若直线过原点,此时横、纵截距都为0,
则不能用方程xa+ya=1表示,所以A不正确;
当m=0时,直线方程为x=2,所以B正确;
若直线的倾斜角为90°,则该直线的斜率不存在,不能用y-1=tan θ(x-1)表示,
所以C不正确;
设点P(x,y)是经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线上的任意一点,根据P1P2∥P1P可得(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0,所以D正确.
(2)已知直线l过点(1,0),且倾斜角为直线l0:x-2y-2=0的倾斜角的2倍,则直线l的方程为 .
答案 4x-3y-4=0
解析 由题意可设直线l0,l的倾斜角分别为α,2α,
因为直线l0:x-2y-2=0的斜率为12,
则tan α=12,
所以直线l的斜率k=tan 2α=2tan α1-tan2α=2×121-122=43,
所以由点斜式可得直线l的方程为y-0=43(x-1),即4x-3y-4=0.
考点三 直线方程的综合应用
例3 已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).
(1)证明:直线l过定点;
(2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围;
(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求此时直线l的方程.
(1)证明 直线l的方程可化为k(x+2)+(1-y)=0,
令x+2=0,1-y=0,解得x=-2,y=1.
∴无论k取何值,直线总经过定点(-2,1).
(2)解 由方程知,当k≠0时,直线在x轴上的截距为-1+2kk,在y轴上的截距为1+2k,
要使直线不经过第四象限,则必须有-1+2kk≤-2,1+2k≥1,解得k>0;
当k=0时,直线为y=1,符合题意,
故k的取值范围是[0,+∞).
(3)解 由题意可知k≠0,再由l的方程,得A-1+2kk,0,B(0,1+2k).
依题意得-1+2kk0,解得k>0.
∵S=12·|OA|·|OB|=12·1+2kk·|1+2k|
=12·(1+2k)2k=124k+1k+4≥12×(2×2+4)=4,
等号成立的条件是k>0,且4k=1k,即k=12,
∴Smin=4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.
思维建模 1.直线过定点问题,将参数的“系数”化为0,解关于x,y的方程组可求定点.
2.求参数值或范围:注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解.
3.求解与直线方程有关的最值问题:先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值.
训练3 (1)(2025·开封质检)若直线l:xa+yb=1(a>0,b>0)过点(1,2),则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时,ab=( )
A.2B.12
C.2D.22
答案 D
解析 因为直线l:xa+yb=1过点(1,2),所以1a+2b=1,
又a>0,b>0,所以a+b=(a+b)1a+2b=3+ba+2ab≥3+2ba·2ab=3+22,
当且仅当ba=2ab,即ab=22时取等号.
(2)已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4.当0