河南省前二十名校联考2025-2026学年高一上学期10月考试数学试卷

这是一份河南省前二十名校联考2025-2026学年高一上学期10月考试数学试卷，共19页。试卷主要包含了2  1,  3等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟.
答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题
区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
考试范围：集合与常用逻辑用语，一元二次函数､方程和不等式，函数的概念及其表示.
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
x  2
x 1

A  x 0, B

 {x∣1  x  2}
A ∩ B 
若集合
，则（）
A. B. {x∣2  x  2}
C. {x∣1  x  2}D. {x∣1  x  2}
下列从集合 A 到集合 B 的对应关系中， y 是 x 的函数的是（）
A  B  R ，对应关系 f : x  y  1
x3
x
A  B  R ，对应关系 f : x  y 
A  B  0, ∞ ，对应关系 f : x  y  x
5
A  B  R ，对应关系 f : x  y2  x
已知命题 p : x  R,
1；命题 q : x  0, x  1  2 ，则（）
x 1
x
A. p 是假命题B. p 的否定是真命题
C. q 是真命题D. q 的否定是真命题
 x  6, x 10, 6,
 1
若函数 f  x  
 x  6, x 6,8,
则（）
 2
1 
f  x  4
1 
f  x  0
4 
f  x  1
0 
f  x  2
已知函数 f  x  cx  d ac  0 ，则 f  x 的值域为单元素集合的充要条件是（）
ax  b
A. ab  cdB. bc  ad
ac  bdD. a  c  b  d  0
学校举办秋季运动会，某班级报名参加跑步比赛的有 15 人，参加球类比赛的有 14 人，参加跳绳比赛的有 8 人，其中只报名参加一项比赛的有 20 人，则兼报三项比赛的人数最多为（）
A. 3B. 4C. 5D. 6
已知函数 f  x  mx  2 ，若x m 1, m, f  x  0 ，则m 的最大值为（）
2
B. 1
D.
2
设a 表示不超过 a 的最大整数，如 1.2  1,  3.2  4 ，若 x, y, z 为正实数，则
 y  z    z  x    x  y  的最小值为（）
xy z

A. 2B. 3C. 4D. 6
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
下列选项中， p 是 q 的必要不充分条件的是（）
p : 3x 1  2, q : 3x 1  3

p : a  b, q : a  1
b  1
p ：关于 x 的方程a  2 x  1有解， q : a {a∣a  2 或 a  2}
 y  1
p : x  1

, q : y  1 2x
已知正实数 a, b 满足 a  b  3 
4
ab ，则（）
A. a  b  1
2
ab
C. 1
2
B. a  b  1
4
ab
D. 1
4
i
设集合 M  x  N∣1  i  n, i  N*, n  3 ，若x, y, z  M ，使得 y2  xz （ x, y, z 两两不等），则称 M 为Ω 集，下列结论错误的是（）
若集合 A 是Ω 集，集合 B 是非空数集，则 A ∪ B 是Ω 集
若1, 9, x是Ω 集，则 x  81
若集合 A 是Ω 集，集合 B  yj  N∣1  j  m, j  N*, m  2 ，则C  ab∣a  A, b  B 为Ω 集
p  N*, q  N* 且 q  3 ，使得 p 1, 2 p 1, 3 p 1,L, qp 1是Ω 集
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
已知非空集合 P  {x∣0  x  m}, Q  x∣ 2  x  4 ，若 P ∩ Q  P ，则m 的取值范围是.
不等式
x  2  0 的解集为.
x 1
a b
a, b, c  N*, b  c
n
如果 n 为正整数且不是一个完全平方数，那么
可以表示为
c b的形
19
c L
式.若
 a 
b
c  b
c L
a, b, c  N*, b  c
，则 a, b, c 的值分别为.
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
已知集合 A  x∣ x  3x  3   0, B  x 1  2   .
1
x
求ðR A ；
求 A ∪ B .
设 a, b, c 为正实数，且 a  b  c  1.
求 1 4的最小值；
ab  c
若b2  ac ，求b 的取值范围.
设函数 f  x  x2  x  3, g  x  ax  b .
当 a  0 时，若x  R, f  x  g  x ，求实数b 的取值范围；
当b  0 时，若x  R, f  x  g  x ，求实数 a 的取值范围；
若关于 x 的不等式 f  x  g  x 的解集为1, 3 ，求实数 a, b 的值.
如图，在 xOy 坐标平面内，老张用竹篱笆Γ 与 x 轴围成了一块空地作休闲之用，竹篱笆Γ 可看作抛物线的一部分，已知Γ 的顶点为 B 1, 3 ，且Γ 与 x 轴的交点分别为 A, O （ O 为坐标原点）.另外，老张拟在Γ 的左侧铺设一条直路 L 作交通之用， L 的解析式为 y  kx  m(k  0) ，且 L 与Γ 只有一个公共点
C .
求Γ 的解析式 f  x ；
设 L 与 x 轴，直线 y  3 分别交于点 D, E ，直线 y  3 与 y 轴交于点 F ，老张打算将Γ, L ，直线 y  3, x 轴和 y 轴围成的阴影部分作种菜之用，试问当 k 为何值时，菜园的面积取得最小值？
（1）已知 a, b, c  R ，求证： a  b  c  a  b  c ；
（2）设函数φ1  x,φ2  x 的定义域均为 I ，若K  0, x1 , x2  I , φ1  x1  φ2  x2   K ，则称
φ1  x,φ2  x 是 I 上的“和有界函数对”.
（i）若φ1  x,φ2  x 是 I 上的“和有界函数对”，证明： K  0, x  I , φ1  x φ2  x  K ；
当 I1  I , I2  I ，且 I1 ∩ I2   时，若φ1  x,φ2  x 是 I1 上的“和有界函数对”，φ1  x,φ2  x 是
I2 上的“和有界函数对”，请判断φ1  x,φ2  x 是否是 I1  I2 上的“和有界函数对”，若是，请给出证 明；若不是，请给出反例.
2028 届高一年级 TOP 二十名校十月调研考试
数学试题
考生注意：
本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟.
答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题
区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
考试范围：集合与常用逻辑用语，一元二次函数､方程和不等式，函数的概念及其表示.
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
x  2
x 1

A  x 0, B

 {x∣1  x  2}
A ∩ B 
1 若集合
，则（）
A. B. {x∣2  x  2}
C. {x∣1  x  2}D. {x∣1  x  2}
【答案】A
【解析】
【分析】先求出集合 A ，再根据交集的定义求解即可.
x  2
x 1
【详解】因为 A  x 0  {x∣ 2  x  1} ，又 B  {x∣1  x  2}，


所以 A ∩ B   .
故选：A.
下列从集合 A 到集合 B 的对应关系中， y 是 x 的函数的是（）
A  B  R ，对应关系 f : x  y  1
x3
x
A  B  R ，对应关系 f : x  y 
A  B  0, ∞ ，对应关系 f : x  y  x
5
A  B  R ，对应关系 f : x  y2  x
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的定义逐一判断即可.
1
【详解】对于 A，因为0  A ，但是没有意义，0 在 B 中无对应的元素，A 不符合题意；
03
x
对于 B，因为对于任意一个实数 x ，当 x  0 时，
无意义，B 不符合题意；
对于 C，任意一个实数 x  0 ， x  0 ，因此同时满足任意性和唯一性，C 符合题意；
5
对于 D，当 x  1 时， y  1，不满足函数值的唯一性，D 不符合题意.
故选：C.
x 1
已知命题 p : x  R,
1；命题 q : x  0, x  1  2 ，则（）
x
p 是假命题B. p 的否定是真命题
C. q 是真命题D. q 的否定是真命题
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义判断命题 p 和命题 q 的真假，进而判断选项即可.
x 1
【详解】命题 p : x  R, 1，
x 1
当 x  1 时，
 1，则 p 是真命题；
2
命题 q : x  0, x  1  2 ，
x
当 x  0 时， x  1  0  2 ，则 q 是假命题.
x
综上所述， p 是真命题， p 的否定是假命题， q 是假命题， q 的否定是真命题.
故选：D.
 x  6, x 10, 6,
 1
4 若函数 f  x  
 x  6, x 6,8,
则（）
 2
A. 1  f  x  4
1 
f  x  0
4 
f  x  1
0 
f  x  2
【答案】A
【解析】
【分析】结合一次函数的单调性求解即可.
x  6
【详解】当 x 10, 6 时， 0  x  6  16 ，则0 
当 x 6,8时， 0  x  6  2 ，则1   1  x  6  0 ，
2
 4 ；
所以函数的值域为1, 4.
故选：A.
已知函数 f  x  cx  d ac  0 ，则 f  x 的值域为单元素集合的充要条件是（）
ax  b
A ab  cdB. bc  ad
ac  bdD. a  c  b  d  0
【答案】B
【解析】
【分析】化简 f  x  cx  d  c 
d  bc
a
，进而求解判断即可.
ax  baax  b
c ax  b  d  bc
d  bc
【详解】由题意， ac  0 ，则 f  x  cx  d  aa
 c a ，
ax  bax  baax  b
要使 f  x 的值域为单元素集合，
则 d  bc  0 ，即bc  ad ，故 B 正确，AC 错误；
a
对于 D，由 a  c  b  d
 0 ，等价于a  c  0 ，即 a  c, b  d ，

b  d  0
此时由 a  c, b  d 可得bc  ad ，
但由bc  ad 得不到 a  c, b  d ，故 D 错误.故选：B.
学校举办秋季运动会，某班级报名参加跑步比赛的有 15 人，参加球类比赛的有 14 人，参加跳绳比赛的
有 8 人，其中只报名参加一项比赛的有 20 人，则兼报三项比赛的人数最多为（）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】设恰好报名参加两项比赛的有 x 人，兼报三项比赛的有 y 人，由题意可得
20  2x  3y  15 14  8  37 ，进而得到 y  17  2x , x, y  N ，再分析求解即可.
3
【详解】设恰好报名参加两项比赛的有 x 人，兼报三项比赛的有 y 人，
则20  2x  3y  15 14  8  37 ，所以 y  17  2x , x, y  N ，
3
要让 y 最大，则 x 需要最小，
若 x  0 ，则 y  17 ，不满足题意；
3
若 x  1 ，则 y  5 ，满足题意，所以兼报三项比赛的最多有 5 人.故选：C.
已知函数 f  x  mx  2 ，若x m 1, m, f  x  0 ，则m 的最大值为（）
2
B. 1
D.
2
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题的定义结合函数恒成立问题求解即可.
【详解】因为x m 1, m, f  x  0 ，
2
 f m 1  0  m m 1  2  0  1  m  2 1  m 
2
2



所以 f m  0
2
所以m 的最大值为
m2  2  0
.
 m ，
故选：D.
设a 表示不超过 a 的最大整数，如 1.2  1,  3.2  4 ，若 x, y, z 为正实数，则
 y  z    z  x    x  y  的最小值为（）
xy z

A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】解题的关键在于理解a 的定义，然后利用基本不等式求出 y  z  z  x  x  y 的最小值，再结合
xyz
a 的定义求出 y  z    z  x    x  y  的最小值.
xy z
z  x x z

【详解】因为 x, y, z 为正实数，所以
y  x x y
y  z  z  x  x  y  y  x  z  x  z  y  2
xyzxyxzyz
当且仅当 x  y  z 时等号成立，
 2
z  y y z
 2
 6 ，
从而 y  z , z  x , x  y 中至少有一个不小于 2，不妨设 y  z  z  x  x  y ，则 y  z   2 ，所以

xyz
xyz
x
 y  z    z  x    x  y   2 .假设 y  z    z  x    x  y  的最小值为 2，  y  z   2 ，
x
y 
z
x
y 
z
x

 z  x    x  y   0 ，所以2  y  z  3, 0  z  x  1, 0  x  y  1 ，
y 
z

xyz

所以2  y  z  z  x  x  y  5 ，与 y  z  z  x  x  y  6 矛盾，假设不成立，A 错误；假设
xyzxyz
 y  z    z  x    x  y  的最小值为 3，则 y  z   2 ，  z  x   1,  x  y   0 或 y  z   3 ，
x
y 
z
x
y 
z
x

 z  x    x  y   0 ，
y 
z

同理，可得3  y  z  z  x  x  y  6 ，显然不成立，B 错误；假设 y  z    z  x    x  y  的最
xyz
x
y 
z

小值为 4，同理，易得4  y  z  z  x  x  y  7 ，
xyz
若取 x  100, y  103, z  104 ，则 y  z   2,  z  x   1,  x  y   1，即
xy z

 y  z    z  x    x  y   4 ，假设成立，C 正确，D 错误.
xy z

故选： C .
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
下列选项中， p 是 q 的必要不充分条件的是（）
p : 3x 1  2, q : 3x 1  3

p : a  b, q : a  1
b  1
p ：关于 x 的方程a  2 x  1有解， q : a {a∣a  2 或 a  2}
 y  1
p : x  1

, q : y  1 2x
【答案】AB
【解析】
【分析】根据充分、必要条件的定义判断各选项即可.
【详解】对于 A 选项， p : 3x 1  2 ，即 x   1 ，
3
q : 3x 1  3 ，即 x   2 ，
3
所以 p 是 q 的必要不充分条件，故 A 正确；
对于 B 选项，若取 a  1, b  2 ，则满足 p ，不满足 q ，则 p 不是 q 的充分条件，显然 q  p ，即 p 是 q 的必要不充分条件，故 B 正确；
对于 C 选项， p ：关于 x 的方程a  2 x  1有解，即 a  2 ，
而 q : a {a∣a  2 或 a  2}，
所以 p 是 q 的充要条件，故 C 错误；
x  1

对于 D 选项，  y  1
仅是方程 y  1 2x 的一组解，
所以 p 是 q 的充分不必要条件，故 D 错误.
故选：AB.
已知正实数 a, b 满足 a  b  3 
4
ab ，则（）
A. a  b  1
2
ab
C. 1
2
B. a  b  1
4
ab
D. 1
4
【答案】AD
【解析】
【分析】根据基本不等式求解判断各选项即可.
ab
【详解】因为 a, b 为正实数，所以 a  b ，当且仅当 a  b 时等号成立，
2
ab
则 a  b  3  3  a  b ，所以 a  b  1 ，当且仅当 a  b  1 时等号成立，故 A 正确，B 错误；
44224
ab
ab
ab
ab
由 a  b ，则 a  b  3  2，所以 1 ，
244
当且仅当 a  b  1 时等号成立，故 C 错误，D 正确.
4
故选：AD.
i
设集合 M  x  N∣1  i  n, i  N*, n  3 ，若x, y, z  M ，使得 y2  xz （ x, y, z 两两不等），则称 M 为Ω 集，下列结论错误的是（）
若集合 A 是Ω 集，集合 B 是非空数集，则 A ∪ B 是Ω 集
若1, 9, x是Ω 集，则 x  81
若集合 A 是Ω 集，集合 B  yj  N∣1  j  m, j  N*, m  2 ，则C  ab∣a  A, b  B 为Ω 集
p  N*, q  N* 且 q  3 ，使得 p 1, 2 p 1, 3 p 1,L, qp 1是Ω 集
【答案】AB
【解析】
【分析】A 选项，结合题设定义举例判断即可；B 选项，根据题设定义可得12  9x ，或92  x ，或 x2  9 ，
进而求解判断即可；C 选项，由 A 是Ω 集可得存在 x, y, z  A （ x, y, z 两两不等），使得 y2  xz ，根据 B 中的元素个数不小于 2，可得w  B 且 w  0 ，使得 wx, wy, wz  C ，进而得到(wy)2  wxwz  ，即可判
断；D 选项，先假设 p 1, 2 p 1, 3 p 1,L, qp 1是Ω 集，再推出矛盾即可判断.
【详解】A 选项，若取 B   1  ，则 1  A  B, 1  N ，显然不符合Ω 集的定义，A 错误；
2
22
 
 
B 选项，由Ω 集的定义及已知得，12  9x ，或92  x ，或 x2  9 ，
解得 x  3 或 x  81（舍去 x  3, x  1 ），B 错误；
9
C 选项，由 A 是Ω 集，所以存在 x, y, z  A （ x, y, z 两两不等），使得 y2  xz ，
因为 B 中的元素个数不小于 2，所以w  B 且 w  0 ，使得 wx, wy, wz  C ，
且 wx, wy, wz 两两不等，由 y2  xz ，得(wy)2  wxwz  ，所以C 为Ω 集，C 正确；
D 选项，设C   p 1, 2 p 1, 3 p 1,L, qp 1 ，
取 x  p 1 C, y   p 12   p  2 p 1 C, z   p 12   p2  3 p 1 p 1 C ，满足 y2  xz （ x, y, z 两两不等），存在 q  p2  3 p 1 ,
C   p 1, 2 p 1, 3 p 1,L, qp 1 是Ω 集，，D 正确.故选：AB.
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
已知非空集合 P  {x∣0  x  m}, Q  x∣ 2  x  4 ，若 P ∩ Q  P ，则m 的取值范围是.
【答案】{m∣0  m  4}
【解析】
【分析】由 P ∩ Q  P 得 P  Q ，进而根据包含关系求解即可.
【详解】因为 P ∩ Q  P ，所以 P  Q ，又集合 P 为非空集合，
m  0

则m  4 ，解得0  m  4 ，
则m 的取值范围是{m∣0  m  4}.
故答案为：{m∣0  m  4}.
不等式
x  2  0 的解集为.
x 1
【答案】2x∣x  1
【解析】
x  2
【分析】根据分式不等式的解法求解即可.
【详解】当
 0 ，即 x  2 时，不等式
x  2  0 成立；
x 1
当
 0 时，由 x  2  0  x  2
 x  1.
x  2

x 1
x 1  0
综上所述，不等式
x  2  0 的解集为2x∣x  1.
x 1
故答案为：2x∣x  1.
n
如果 n 为正整数且不是一个完全平方数，那么
a b
19
可以表示为c b
a, b, c  N*, b  c

的形
式.若
 a 
b
c  b
c L
a, b, c  N*, b  c
c L
，则 a, b, c 的值分别为.
【答案】4，3，8
【解析】
【分析】根据给定条件，推理可得 a  4 ，再由表示式的结构形式列出方程，借助恒等式求出b, c 即可.
【详解】由
 a b
19
c b
a, b, c  N*, b  c0 b 1

，则c b，
c L
19
而4  5 ，所以 a  4 ，
c L
所以
 4 b
19
c b
, b, c  N*
，则
 4 b
19
c b
, b, c  N*
，
所以
 4 
c L
b
c  19  4
，则c  8
c L
19
 35  b  4c  0 ，
19
*
c  8  0
因为b, c  N ，所以
35  b  4c  0
，解得b  3, c  8 .
故答案为：4，3，8.
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
已知集合 A  x∣ x  3x  3   0, B  x 1  2   .
求ðR A ；
求 A ∪ B
1
x

【答案】（1） ðR A  {x∣x  3 或 x 3}
3
（2） A ∪ B  {x∣x 或 x  2}.
【解析】
【分析】（1）首先解不等式得到 A  x∣ 3  x 
3，再求其补集即可.
（2）首先解不等式得到 B  {x∣x  2 或 x  2}，再求 A ∪ B 即可.
根据集合 A  x∣ 3  x 3，
【小问 1 详解】
因为 A  x∣ x  3x 
3   0  x∣ 3  x 
3，
所以ðR A  x∣x  3或x 3
【小问 2 详解】
2 1  0
因为1  2  1   x x  0或x  2  x  2 或 x  2 ，
2


x1  0
x  2或x  0
 x
所以 B  {x∣x  2 或 x  2}，
所以 A ∪ B  x∣ 3  x 
3∪x∣x  2或x  2  x | x 
3或x  2.
设 a, b, c 为正实数，且 a  b  c  1.
求 1 4的最小值；
ab  c
若b2  ac ，求b 的取值范围.
1 
【答案】（1）9（2） b 0  b  3

【解析】
【分析】（1）根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案.
(a  c)2(1 b)2
2(1 b)2
（2）基本不等式得， ac ，根据条件得b
44
，整理计算，即可得答案.
4
【小问 1 详解】
由 a  b  c  1，得 a  (b  c)  1 ，
所以 1 4
  1 4 a  b  c  5   b  c 
4a 

ab  c
 ab  c  ab  c 
 5  2

b  c  4a
ab  c
 9
当且仅当 b  c  4a ，即 a  1 , b  c  2 时，等号成立，
ab  c33
所以 1 4的最小值为 9.
ab  c
【小问 2 详解】
(a  c)2
(1 b)2
a  c
由基本不等式得， ac ，当且仅当
44
时等号成立，
因为b2  ac ，
2(1 b)
2a  c
所以b ，当且仅当
，即 a  b  c  1 时，等号成立，
b
4
解得1  b  1 ，
3
 2  ac3
又b 为正实数，所以0  b  1 ，
3
1 
即b 的取值范围是b 0  b  3 .

设函数 f  x  x2  x  3, g  x  ax  b .
当 a  0 时，若x  R, f  x  g  x ，求实数b 的取值范围；
当b  0 时，若x  R, f  x  g  x ，求实数 a 的取值范围；
若关于 x 的不等式 f  x  g  x 的解集为1, 3 ，求实数 a, b 的值.
【答案】（1）  11 , ∞
 4

3
3
（2） 21, 21

（3） a  1, b  6
【解析】
【 分析 】（ 1 ） 当 a  0 时， 将条件转化为关于 x 的不等式 x2  x  3  b  0 有解， 则判别式
1
Δ  (1)2  4 3  b  0 ，即可得答案.
（ 2 ） 当 b  0 时 ， 将 条 件 转 化 为 关 于 x 的 不 等 式
2
Δ  [a 1]2 12  0 ，即可得答案.
x2  a 1 x  3  0 恒 成 立 ， 则 判 别 式
（3）将条件转化为1, 3 为方程 x2  1 a x  3  b  0 的两个根，根据韦达定理即可得答案.
【小问 1 详解】
当 a  0 时， f  x  g  x  x2  x  3  b  x2  x  3  b  0 ，因为x  R, f  x  g  x ，
所以关于 x 的不等式 x2  x  3  b  0 有解，
所以Δ1
 (1)2  4 3  b  0 ，解得b  11 ，
4
即实数b 的取值范围是 11 , ∞ .
 4

【小问 2 详解】
当b  0 时， f  x  g  x  x2  x  3  ax  x2  a 1 x  3  0 ，因为x  R, f  x  g  x ，
所以关于 x 的不等式 x2  a 1 x  3  0 恒成立，
3
3
2
所以Δ  [a 1]2 12  0 ，解得21  a  21，
3
3
即实数 a 的取值范围是21, 21 .

【小问 3 详解】
f  x  g  x  x2  1 a x  3  b  0 ，因为不等式 f  x  g  x 的解集为1, 3 ，
所以1, 3 为方程 x2  1 a x  3  b  0 的两个根，
1 3  1 a

所以1 3  3  b ，解得a  1, b  6 .
如图，在 xOy 坐标平面内，老张用竹篱笆Γ 与 x 轴围成了一块空地作休闲之用，竹篱笆Γ 可看作抛物线的一部分，已知Γ 的顶点为 B 1, 3 ，且Γ 与 x 轴的交点分别为 A, O （ O 为坐标原点）.另外，老张
拟在Γ 的左侧铺设一条直路 L 作交通之用， L 的解析式为 y  kx  m(k  0) ，且 L 与Γ 只有一个公共点
C .
求Γ 的解析式 f  x ；
设 L 与 x 轴，直线 y  3 分别交于点 D, E ，直线 y  3 与 y 轴交于点 F ，老张打算将Γ, L ，直线 y  3, x 轴和 y 轴围成的阴影部分作种菜之用，试问当 k 为何值时，菜园的面积取得最小值？
【答案】（1） f  x  3x2  6x, x 2, 0
2
（2） k  3
【解析】
【分析】（1）设抛物线方程的顶点式方程，结合点的坐标代入，即可求得答案；
（2）由题意知菜园的面积取得最小值等价于梯形 DEFO 的面积取得最小值，从而结合直线以及抛物线方程求出相关点的坐标，求出梯形 DEFO 的面积的表达式，利用基本不等式判断其最小值情况，即可求得答案.
【小问 1 详解】
因为Γ 的顶点为 B 1, 3 ，设其方程为 f  x  a(x 1)2  3 ，因为Γ 通过原点O ，所以0  a(0 1)2  3，所以 a  3 ，
所以 f  x  3(x 1)2  3  3x2  6x, x 2, 0 .
【小问 2 详解】
由题意可知， Γ 与 x 轴围成的区域的面积为定值，
故菜园的面积取得最小值等价于梯形 DEFO 的面积取得最小值.
 y  3x2  6x
由 y  kx  m消去 y 得， 3x  6  k  x  m  0 ，
2

因为 L 在Γ 的左侧，且与Γ 只有一个公共点C ，则方程3x2  6  k  x  m  0 有两个相同的实数根，
所以 x  x  k  6 2, 1 ，所以 k 6, 0 ，
126
2(6  k )2(6  k )2
且Δ  (6  k ) 12m  0 ，即 m  ，则 L 的解析式为 y  kx ，
令 y  0
k 2 12k  36
，得 x ；令
12k
12
y=−3
12
k 2 12k
，得 x ，
12k
 k 2 12k  36 k 12
所以 D 
12k
, 0  , E  12
, 3 .

3  k 2 12k  36
k 12 
k 2 12k 181 
18
所以梯形 DEFO 的面积 S   2 
12k
12  4k
 4  k  k 12 
 1  2

k  18
k
12   3 2  6 ,
4
2



k  18
2
当且仅当
k即 k  3
时，等号成立，
6  k  0
2
所以当 k  3
时，菜园的面积取得最小值.
（1）已知 a, b, c  R ，求证： a  b  c  a  b  c ；
（2）设函数φ1  x,φ2  x 的定义域均为 I ，若K  0, x1 , x2  I , φ1  x1  φ2  x2   K ，则称
φ1  x,φ2  x 是 I 上的“和有界函数对”.
（i）若φ1  x,φ2  x 是 I 上的“和有界函数对”，证明： K  0, x  I , φ1  x φ2  x  K ；
（ii）当 I1  I , I2  I ，且 I1 ∩ I2   时，若φ1  x,φ2  x 是 I1 上的“和有界函数对”，φ1  x,φ2  x 是
I2 上的“和有界函数对”，请判断φ1  x,φ2  x 是否是 I1  I2 上的“和有界函数对”，若是，请给出证 明；若不是，请给出反例.
【答案】（1）证明见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）是，证明见解析
【解析】
【分析】（1）结合绝对值的几何意义去绝对值，再利用不等式的性质证明即可；
（2）（i）根据题干所给定义证明即可；
（ii）根据题干所给定义，结合（1）的结论证明即可.
【详解】（1）证明：因为 a, b, c  R ，所以 a  a  a ,  b  b  b ,  c  c  c ，
所以 a  b  c  a  b  c  a  b  c ，所以 a  b  c  a  b  c .
（2）（i）证明：因为φ1  x,φ2  x 是 I 上的“和有界函数对”， 所以K  0, x1, x2  I , φ1  x1  φ2  x2   K ，
令 x1  x2 ，则 φ1  x1  φ2  x1   K ，
由x1 的任意性，得x  I , φ1  x φ2  x  K .
（ii）解：φ1  x,φ2  x 是 I1  I2 上的“和有界函数对”，证明如下：
因为φ1  x,φ2  x 是 I1 上的“和有界函数对”，φ1  x,φ2  x 是 I2 上的“和有界函数对”， 所以K1, K2  0, x1, x2  I1, φ1  x1  φ2  x2   K1, x3, x4  I2 , φ1  x3  φ2  x4   K2 .
①若任取 x1  I1, x4  I2 ，由 I1 ∩ I2   ，易知存在 x0  I1  I2 ，不妨令 x2  x3  x0 ，所以 φ1  x1  φ2  x4   φ1  x1  φ2  x0  φ2  x0  φ1  x0  φ1  x0  φ2  x4  （*）， 由（1）的结论得， * 式 φ1  x1  φ2  x0   φ2  x0  φ1  x0   φ1  x0  φ2  x4 
 φ1  x1  φ2  x0   φ2  x0  φ1  x0   φ1  x0  φ2  x4  ，
由（i）得， φ2  x0  φ1  x0   K1 ，又 φ1  x1  φ2  x0   K1, φ1  x0  φ2  x4   K2 ， 所以 φ1  x1  φ2  x0   φ2  x0  φ1  x0   φ1  x0  φ2  x4   2K1  K2 ，
即 φ1  x1  φ2  x4   2K1  K2 ，
同理可得，当 x1  I2 , x4  I1 时， φ1  x1  φ2  x4   2K2  K1 ， 令 K  max{2K1  K2 , 2K2  K1}，即 φ1  x1  φ2  x4   K ，所以K  0, x1  I1, x4  I2 , φ1  x1  φ2  x4   K .
②若任取 x1, x2  I1 ，则 φ1  x1  φ2  x2   K1  K ； 若任取 x3 , x4  I2 ，则 φ1  x3  φ2  x4   K2  K .
综上， K  0, x5 , x6  I1  I2 , φ1  x5  φ2  x6   K ，即φ1  x,φ2  x 是 I1  I2 上的“和有界函数
对”.