河南省2024-2025学年高一上学期10月联考数学试卷

这是一份河南省2024-2025学年高一上学期10月联考数学试卷，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.不等式的解集为( )
A. 或B.
C. D.
3.命题“矩形都有外接圆”是( )
A. 全称量词命题、真命题B. 全称量词命题、假命题
C. 存在量词命题、真命题D. 存在量词命题、假命题
4.下列图象中，不能表示函数的是( )
A. B.
C. D.
5.函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
6.已知函数，且，则( )
A. 1B. 2C. 3D. 6
7.已知集合，或，且是的充分条件，则a的最大值为( )
A. B. C. D.
8.若正实数a，b满足，则的最大值为( )
A. 1B. 2C. D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列每组函数是同一函数的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
10.已知集合，则下列各项为A中的元素的是( )
A. 0B. C. D.
11.如图，正方形ABCD的边长为2，E是边AD的中点，点P从点B出发，沿着正方形的边按的方向运动与点B和点E均不重合设点P运动的路程为x，的面积为y，若y关于x的函数解析式为，则( )
A. 的定义域为B. 随着x的增大而增大
C. 当时，D. 的最大值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合中只有一个元素，则a的所有可能取值组成的集合为______.
13.若，则的最大值为______.
14.已知关于x的不等式的解集为A，集合，若，则实数a的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题15分
写出下列命题的否定，并判断你写出的命题的真假：
Ⅰ，；
Ⅱ，；
Ⅲ所有三角形的三个内角都是锐角.
16.本小题15分
Ⅰ若，求的最小值；
Ⅱ若，，，求的最小值.
17.本小题15分
已知集合，或，
Ⅰ求；
Ⅱ若，求实数a的取值范围.
18.本小题15分
已知函数
求的值；
若实数a满足且，求a的值；
求的最大值.
19.本小题17分
已知函数
Ⅰ若的图象关于直线对称，求实数a的值；
Ⅱ若，求不等式的解集；
Ⅲ若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：集合，，
则
故选：
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：不等式等价于，
所以，
所以不等式的解集为
故选：
根据一元二次不等式的解法，求解即可．
本题考查一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：矩形都有外接圆为全称量词命题且为真命题．
故选：
结合全称量词命题的真假关系即可判断．
本题主要考查了全称量词命题真假判断，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：选项C的函数图像中存在，对应两个不同的函数值，故不是函数图像．
其他选项中的对应都符合函数的定义．
故选：
函数的定义要求定义域中任意一个自变量，都存在唯一确定的函数值与之对应．
本题考查函数的定义，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：因为函数，
所以，
解得且
故选：
根据已知列出使函数有意义的不等式组，进而求解结论．
本题主要考查函数的定义域，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：若，得，故舍去；
若，得，解得，不符合范围条件，故舍去；
若，得，解得或，由于，因此
故选：
根据自变量的范围分段讨论求值即可．
本题考查分段函数的性质，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意，若是的充分条件，
则，
而，
则有，解可得，即a的最大值为
故选：
根据题意，分析可得，由此可得关于a的不等式，解可得答案．
本题考查充分必要条件的判断，涉及集合的关系，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：因为正实数a，b满足，当且仅当时取等号，
所以
故选：
由已知结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
9.【答案】AD
【解析】解：对于A，，定义域为；，定义域为；
两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于B，，定义域为R；，定义域为R；两函数的定义域相同，对应关系不相同，不是同一函数；
对于C，，定义域为；，定义域为R；两函数的定义域不相同，不是同一函数；
对于D，，定义域为；，定义域为；两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．
故答案为：
根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断是同一函数．
本题考查了判断两个函数是否为同一函数是问题，是基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：，时，得出，，A正确；
，时，，，B正确；
，，，C错误；
，，，，D正确．
故选：
判断每个选项的数能否写成的形式，其中a，，从而判断该数是否为A的元素．
本题考查了集合的描述法的定义，元素与集合的关系，是基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：当P在线段CD上不含端点C、，此时，
则；
当P在线段BC上不与B重合，此时，则；
当P在线段DE上不与E重合，此时，则；
所以，故函数的定义域为，故A正确；
函数的图象如下所示：
由图可知当时随着x的增大而增大，当时随着x的增大而减少，故B错误；
当时，，故C正确，
，故D正确．
故选：
分P在线段BC上不与B重合、P在线段CD上不含端点C、、P在线段DE上不与E重合三种情况，分别求出函数解析式，即可得到的最大值，再画出图象，一一判断即可．
本题考查函数解析式的求法，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：集合中只有一个元素，
当时，，符合题意；
当时，，
解得或，则a的所有可能取值组成的集合为
故答案为：
当时，，当时，，由此能求出结果．
本题考查元素与集合的关系，考查根的判别式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】4
【解析】解：若，
则，当且仅当，即时取等号．
故答案为：
由已知结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：的对称轴为，
在上单调递增，
当时，，
，即集合B中存在元素使得不等式成立，
故答案为：
说明两个集合有相同元素，即集合B中存在元素使得不等式成立，令，求出最大值，只需最大值大于等于a即可．
本题主要考查了集合交集运算的应用，属于中档题．
15.【答案】解：Ⅰ，，
该命题的否定为：，，当时，，故该命题的否定为假命题；
Ⅱ，；
该命题的否定为：，；
因为，
所以该命题的否定为假命题；
Ⅲ所有三角形的三个内角都是锐角，
该命题的否定为：有的三角形的三个内角不都是锐角，
该命题的否定为真命题，例如直角三角形．
【解析】ⅠⅢ结合命题否定的定义，再判断命题的真假，即可求解．
本题主要考查命题的否定，属于基础题．
16.【答案】解：Ⅰ若，
则，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为4；
Ⅱ若，，，
则，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为
【解析】由已知结合基本不等式即可求解；
Ⅱ由已知利用乘1法，结合基本不等式．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
17.【答案】解：由集合，或，
可得或，
则或；
由知，，或，
所以或，可得，
当时，即时，，此时满足；
当时，即时，要使得，
则满足或，
解得或，
综上可得，实数a的取值范围为
【解析】求得集合，得到或，结合并集的运算，即可求解；
由知，分和，两种情况讨论，结合集合的运算法则，列出不等式组，即可求解．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
18.【答案】解：，
；
由，可得，解得，
且，则，解得或舍
当时，，
当时，取最大值为；
当时，，
当且仅当时，即时，等号成立，
则的最大值为；
综上，有最大值为
【解析】由分段函数解析式代入计算，即可得到结果；
由不等式可得，然后代入计算，即可求得a；
分别求得与时，函数的最大值，然后比较大小即可得到结果．
本题主要考查分段函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：Ⅰ已知函数，
因为的图象关于直线对称，根据二次函数的性质，可得，
解得，即实数a的值为
Ⅱ当，不等式，即为，
即，解得或，
所以不等式的解集为
Ⅲ因为对任意的，恒成立，
即对任意的，恒成立，
即对任意的，恒成立，
即对任意的，恒成立，
由，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以，即实数a的取值范围为
【解析】Ⅰ根据题意，利用二次函数的性质，列出方程，即可求解；
Ⅱ当，得到不等式，结合分式不等式的解法，即可求解；
Ⅲ根据题意，转化为对任意的，恒成立，结合基本不等式，即可求解．
本题主要考查二次函数的对称性，分式不等式的解法，不等式恒成立求参数范围问题，考查运算求解能力，属于中档题．