2025-2026学年北京市顺义区牛栏山第一中学高二上学期10月月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年北京市顺义区牛栏山第一中学高二上学期10月月考数学试卷（含答案），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若构成空间一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
3．某中学为了解在校高中学生的身高情况，在高中三个年级各随机抽取了的学生，并分别计算了三个年级抽取学生的平均身高，数据如下表：
则该校高中学生的平均身高可估计为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知一组数据3，4，4，6，6，7，8，8，则这组数据的分位数是（ ）
A．B．
C．D．
5．一个口袋内装有大小、形状相同的红色、黄色和绿色小球各2个，不放回地逐个取出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（ ）
A．2个小球恰有一个红球B．2个小球至多有1个红球
C．2个小球中没有绿球D．2个小球至少有1个红球
6．如图，设每个电子元件能正常工作的概率为，则电路能正常工作的概率为（ ）

A．B．C．D．
7．在以下4个命题中，不正确的命题的个数为（ ）
①若，则；
②若三个向量两两共面，则向量共面；
③若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底；
④.
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲、乙两人中至少一人被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（ ）

A．1B．－1C．D．
10．如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，下列四个结论中，错误的是（ ）

A．存在点∥平面B．对任意点
C．存在点，使得与所成的角是D．不存在点，使得与平面所成的角是
二、填空题
11．已知空间向量，则 ．
12．已知是直线的方向向量，是平面的法向量．若直线，则 ．
13．为调查某校学生每天用于课外阅读的时间，现从该校名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，所得数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则估计该校学生中每天用于阅读的时间在(单位：分钟)内的学生人数为 ．
14．已知正方体的棱长为1，点在正方体内部且满足，则点到直线的距离为 ．
15．如图，在矩形中，，，将沿BD所在的直线进行翻折，得到空间四边形.
给出下面三个结论：
①在翻折过程中，存在某个位置，使得；
②在翻折过程中，三棱锥的体积不大于；
③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线与所成角为45°.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题
16．如图，在平行六面体中，，，，，，与相交于点，设，，.
(1)试用基底表示向量；
(2)求的长；
(3)求直线与直线所成角.
17．海水养殖场进行某水产品的新､旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：），其频率分布直方图如图所示．两种养殖方法的箱产量相互独立．
(1)将所抽取的100个新养殖法网箱中产量低于40和不低于65的网箱收集到一起，再从中随机抽取2箱，恰有一箱产量不低于65的概率．
(2)用频率估计概率，从运用新､旧网箱养殖方法的水产品中各随机抽取一个网箱，估计两个网箱中至少有一箱产量不低于55的概率；
(3)求频率分布直方图中的值．假定新､旧网箱养殖方法网箱数不变，为了提高总产量，根据样本中两种养殖法的平均箱产量，该养殖场下一年应采用哪种养殖法更合适？（直接写出结果）
18．如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点．

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求直线与平面所成角的余弦值．
19．某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．为了解某校学生选科情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表，用频率估计概率．
(1)已知该校高一年级有400人，估计该学校高一年级学生中选考历史的人数；
(2)现采用分层抽样的方式从样本中随机抽取三个年级中选择历史学科的5名学生组成兴趣小组，再从这5人中随机抽取2名同学参加知识问答比赛，求这2名参赛同学来自不同年级的概率；
(3)假设三个年级选择选考科目是相互独立的．为了解不同年级学生对各科目的选择倾向，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行调查，设这3名学生均选择了第k门科目的概率为，当取得最大值时，写出k的值．（结论不要求证明）
20．如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，四边形为菱形，，平面平面，为棱的中点，记平面和平面的交线为．

(1)证明：；
(2)求点到平面的距离；
(3)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的位置；若不存在，请说明理由．
21．已知项数列，对任意，都有，记，的取值构成集合.
(1)写出，；
(2)求；
(3)记，若，求的取值集合.
年级
高一
高二
高三
抽样人数
36
34
30
平均身高
选考情况
第1门
第2门
第3门
第4门
第5门
第6门
物理
化学
生物
历史
地理
政治
高一选科人数
80
70
35
20
35
60
高二选科人数
60
45
55
40
40
60
高三选科人数
50
40
60
40
40
70
参考答案
11．
12．
13．
14．
15．②③
16．
（1）；
（2），，，，，
所以，
，
，
由（1）知，
所以，
所以；
（3），
，
，
所以与所成角为，
所以直线与直线所成角为.
17．
（1）的频数为，
的频数为，
再从中随机抽取2箱，基本事件总数，
恰有一箱产量不低于65kg包含的基本事件个数，
恰有一箱产量不低于65kg的概率为．
（2）设事件分别表示：
从运用旧，新网箱养殖方法的水产品中随机抽取一个网箱，其箱产量不低于55kg，
用频率估计概率，则，
，
相互独立，
估计两个网箱中至少有一箱产量不低于55kg的概率为：
．
（3）频率分布直方图所有小长方形面积之和等于1，即
解得
旧养殖法的平均值估计为：
，
新养殖法的平均值估计为：
，
，
该养殖场下一年应采用新养殖法更合适．
18．
（1）

取的中点为，又由于为棱的中点，则在正方体中可得：
则四边形是平行四边形，所以；
又由于为棱的中点，又可得
则四边形是平行四边形，所以；
由平行的传递性可知：，
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）

如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，在棱长为2的正方体中，，，，
则，，
设平面的法向量为，
则，即
令，则，所以，
由于平面与轴垂直，则平面的法向量可取，
所以，
由图可看出二面角一定是锐角，所以可设它为，
则，
所以二面角的余弦值为；
（3）由（2）得，平面的法向量可取，
则，
设直线与平面所成角为，则，
所以
即直线与平面所成角的余弦值为．
19．
（1）解：由题意知，样本中高一学生共有人，其中选择历史学科的学生有人，
故估计高一年级选历史学科的学生有人．
（2）解：应从样本中三个年级选历史的学生中分别抽取人数为1，2，2，
编号为，，，，，
从这5名运动员中随机抽取2名参加比赛，所有可能的结果为，
，，，，，，，，，共10种，
设为事件“这2名参赛同学来自不同年级”，
则为事件“这2名参赛同学来自相同年级”有，，，共2种，
所以事件发生的概率．
（3）解：，
，
，
，
，
，
当取得最大值时，．
20．
（1）∵四边形为菱形，∴，
∵平面，平面，∴平面，
∵平面，平面和平面的交线为，
∴.
（2）取的中点，连接，
∵是边长为4的等边三角形，∴，
∵四边形为菱形，，∴为等边三角形，，
∵平面平面，平面平面，平面，，
∴平面，
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，
，
设平面的法向量为，
由，
令，则，，
∴点到平面的距离.
（3）假设在线段（不含端点）上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为．
设，
则，
∵平面的法向量为，直线与平面所成角的正弦值为，
∴，
整理得，解得或，
所以在线段 (不含端点)上存在点，当或时，直线与平面所成角的正弦值为．
21．
（1）时，，所以，
，所以.
（2）时，，
由（1）可知的值由前面的的决定，而，
设中有个取，则有个取，
所以，
即.
（3）由（2）知，，或，
或时，中有个取，个取，
设，
所以，
所以.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
C
D
A
B
C
D
A
D