2025-2026学年山东省济宁市嘉祥县第一中学高二上学期10月月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年山东省济宁市嘉祥县第一中学高二上学期10月月考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是( )
A. 至少有2个红球B. 至少有2个黄球C. 都是黄球D. 至多2个红球
2.设x,y∈R，向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2)，且a⊥b,b//c，则|a+b|等于( )
A. 2 2B. 10C. 3D. 4
3.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若PA=a，PB=b，PC=c，则用基底{a,b,c}表示向量BE为( )
A. 12a→-12b→+12c→B. 12a→-12b→-12c→C. 12a→-32b→+12c→D. 12a→-12b→+32c→
4.从1，2，3，4这四个数中随机取两个数，则这两个数之和为偶数的概率是( )
A. 13B. 12C. 23D. 34
5.已知平面α的一个法向量为n=- 3,-2,1，点A(-1,2,1)在平面α内．若点P的坐标为(-1,1,1)，则直线PA与平面α所成的角为( )
A. π6B. π4C. π3D. 5π12
6.如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且AP,AC=AP,AB=2π3，AP=3，若AO=AB+AC，则OP=( )
A. 4 2B. 35C. 6D. 37
7.依次抛掷两枚质地均匀的骰子，A1表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，A2表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，A3表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，A4表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则( )
A. A3与A4为对立事件B. A1与A3为相互独立事件
C. A2与A4为相互独立事件D. A2与A4为互斥事件
8.P是被长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则PA⋅PC1的取值范围是( )
A. -1,-14B. -12,0C. -14,0D. -14,-12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A. 若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的充分不必要条件
B. 若A，B为两个事件，且P(A+B)=P(A)+P(B)，则A与B互斥
C. 若P(A)>0，P(B)>0，则事件A，B相互独立与事件A，B互斥可以同时成立
D. 若事件A，B满足P(A)+P(B)=1，则A与B相互对立
10.给出下列命题，其中正确的命题是( )
A. 若直线l的方向向量为e=(1,0,3)，平面α的法向量为n=-2,0,23，则直线l//α
B. 若对空间中任意一点O，有OP=14OA+14OB+12OC，则P、A、B、C四点共面
C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D. 已知向量a=(9,4,-4)，b=(1,2,2)，则a在b上的投影向量为(1,2,2)
11.如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=π3，AA1=2，点P为CC1的中点，点Q为侧面DCC1D1内(包含边界)一动点，则下列结论正确的是( )
A. 平面A1BP截四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得的截面是五边形
B. BD⊥A1P
C. 平面A1BP与平面ABCD所成角的余弦值为 3010
D. 若平面A1BP，则点Q轨迹的长度为 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机事件A，B相互独立，且P(A)=1-P(B),P(A)⋅P(B)=18,则P(A∪B)的值为 ．
13.已知直线l经过点A(2,3,1)，且向量n= 22,0, 22为l的一个单位方向向量，则点P(4,3,2)到l的距离为 ．
14.甲、乙二人进行射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件，规则如下：若射击一次击中，则此人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为13，且第一次由甲开始射击，则前2次射击中甲恰好击中1次的概率是 ；第3次由甲射击的概率是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(1,3,2),b=(-2,1,4),c=(5,1,x)．
(1)若a⊥c，求实数x的值；
(2)求cs〈a,b〉；
(3)若a,b,c不能构成空间向量的一个基底，求实数x的值．
16.(本小题15分)
树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某市推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示
(1)求出a的值；
(2)求这200人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位)；
(3)现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求这2人恰好在同一组的概率．
17.(本小题15分)
已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD=2AB,△PAB是等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，M,E是线段PA,BC的中点．

(1)求证：直线平面PCD；
(2)求PC与平面PDE所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
《中华人民共和国爱国主义教育法》已由中华人民共和国第十四届全国人民代表大会常务委员会第六次会议于2023年10月24日通过，现予公布，自2024年1月1日起施行．甲，乙两同学组成“星队”参加黑龙江省“爱国主义教育法”知识竞赛．现有A，B两类问题，竞赛规则如下：
①竞赛开始时，每个同学先从A类问题中随机抽取一个问题进行回答，答错的同学本轮竞赛结束；答对的同学再从B类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，本轮竞赛结束．
②若在本轮竞赛中“星队”同学合计答对问题的个数不少于3个，则“星队”可进入决赛．
已知甲同学能答对A类中问题的概率为35，能答对B类中问题的概率为12.乙同学能答对A类中问题的概率为45，能答对B类中问题的概率为34．
(1)设“甲同学答对0个，1个，2个问题”分别记为事件A0,A1,A2，求事件A0,A1,A2的概率；
(2)求甲乙两同学组成“星队”能进入决赛的概率．
19.(本小题17分)
如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点M，N别是边BC，CD的中点，AC∩BD=O1，AC∩MN=G.沿MN将▵CMN翻折到▵PMN的位置，连接PA、PB、PD，得到如图2所示的五棱锥P—ABMND．
(1)在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论；
(2)当四棱锥P—MNDB体积最大时，在线段PA上是否存在一点Q，使得平面QMN与平面PMN夹角的余弦值为 1010？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.C
2.C
3.C
4.A
5.B
6.D
7.C
8.B
9.ACD
10.BCD
11.BC
12.78
13. 22
14.29 ； ； ； ；
；59
15.【详解】(1)由a⊥c得a⋅c=1×5+3×1+2x=0,
解得x=-4；
(2)因为|a|= 12+32+22= 14,|b|= (-2)2+12+42= 21，
a⋅b=1×(-2)+3×1+2×4=9，
所以cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|=3 614；
(3)若a,b,c不能构成空间向量的一个基底，则向量a,b,c共面，
则存在λ,μ∈R，
使得c=λa+μb=λ(1,3,2)+μ(-2,1,4)=(λ-2μ,3λ+μ,2λ+4μ)，
所以λ-2μ=53λ+μ=12λ+4μ=x，解得λ=1μ=-2x=-6,
所以实数x的值为-6．

16.【详解】(1)由10×(0.010+0.015+a+0.030+0.010)=1，得a=0.035．
(2)平均数为：20×0.1+30×0.15+40×0.35+50×0.3+60×0.1=41.5岁；
设中位数为m，则10×0.010+10×0.015+m-35×0.035=0.5，∴m≈42.1岁.
(3)第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为a1，a2，b1，b2，b3，设从5人中随机抽取2人，为a1,a2，a1,b1，a1,b2，a1,b3，a2,b1，a2,b2，a2,b3，b1,b2，b1,b3，b2,b3共10个基本事件，这2人恰好在同一组的基本事件a1,a2，b1,b2，b1,b3，b2,b3共4个，所以P=410=25．

17.【详解】(1)取PD中点N，连MN,NC，因为M、N分别为PA,PD的中点

所以，且MN=12AD，又因为，且EC=12AD，
所以，且MN=EC，所以四边形MNCE为平行四边形，所以，
因为ME⊄平面PCD，NC⊂平面PCD，故平面PCD．
(2)取AB中点O，连PO，过O作交CD于点Q，
因为▵PAD为正三角形，O为AB中点，故PO⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，故PO⊥平面ABCD，
又OQ⊥AB，如图建立空间直角坐标系O-xyz，

不妨设PA=2，则P0,0, 3,C(1,4,0),D(-1,4,0),E(1,2,0)，
PD=-1,4,- 3,DE=(2,-2,0),PC=1,4,- 3，
设平面PDE的一个法向量为μ=(x,y,z)，
则μ⋅PD=-x+4y- 3z=0μ⋅DE=2x-2y=0，所以z= 3yx=y,
令y=1得平面PDE的一个法向量为μ=1,1, 3，
设PC与平面PDE所成角为θ，
所以sinθ=csPC,μ=PC⋅μPC⋅μ=|5-3|2 5× 5=15，
故PC与平面PDE所成角的正弦值为15．

18.【详解】(1)因为甲同学能答对A类中问题的概率为35，能答对B类中问题的概率为12，
所以PA0=1-35=25，PA1=35×1-12=310，PA2=35×12=310．
(2)设“乙同学答对1个，2个问题”分别记为事件B1,B2，
因为乙同学能答对A类中问题的概率为45，能答对B类中问题的概率为34，
可得PB1=45×1-34=15,PB2=45×34=35，
设事件C表示“星队能进入决赛”，
可得P(C)=PA1B2+PA2B1+PA2B2=PA1PB2+PA2PB1+PA2PB2
=310×35+310×15+310×35=2150，
所以“星队”能进入决赛的概率为2150．

19.【详解】(1)在翻折过程中总有平面PBD⊥平面PAG，
证明如下：∵点M，N分别是边CD，CB的中点，
又∠DAB=60°，，且▵PMN是等边三角形，
∵G是MN的中点，∴MN⊥PG，
∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴MN⊥AC，
∵AC∩PG=G，AC⊂平面PAG，PG⊂平面PAG，
∴MN⊥平面PAG，∴BD⊥平面PAG，
∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAG．
(2)由题意知，四边形MNDB为等腰梯形，
且DB=4，MN=2，O1G= 3，
所以等腰梯形MNDB的面积S=(2+4)× 32=3 3，
要使得四棱锥P-MNDB体积最大，只要点P到平面MNDB的距离最大即可，
∴当PG⊥平面MNDB时，点P到平面MNDB的距离的最大值为PG= 3．
假设符合题意的点Q存在．
以G为坐标原点，GA，GM，GP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则A3 3,0,0，M(0,1,0)，N(0,-1,0)，P0,0, 3，又AG⊥PG，
又AG⊥MN，且MN∩PG=G，MN⊂平面PMN，PG⊂平面PMN，
AG⊥平面PMN，故平面PMN的一个法向量为n1=(1,0,0)，
设AQ=λAP(0≤λ≤1)，
∵AP=-3 3,0, 3，
AQ=-3 3λ,0, 3λ，故Q3 3(1-λ),0, 3λ，
∴NM=(0,2,0)，QM=3 3(λ-1),1,- 3λ，
平面QMN的一个法向量为n2=x2,y2,z2，
则n2⋅NM=0，n2⋅QM=0，
即2y2=0,3 3(λ-1)x2+y2- 3λz2=0,
令z2=1，所以y2=0,x2=λ3(λ-1)
n2=λ3(λ-1),0,1=13(λ-1)λ,0,3(λ-1)，
则平面QMN的一个法向量n=λ,0,3(λ-1)，
设二面角Q-MN-P的平面角为θ，
则csθ=n⋅n1nn1=λ λ2+9(λ-1)2= 1010，即λ210λ2-18λ+9=110，解得：λ=12，
故符合题意的点Q存在且Q为线段PA的中点．