2025-2026学年天津市第二十中学高二上学期学情调研（一）数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年天津市第二十中学高二上学期学情调研（一）数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.在空间直角坐标系中，点M(-3,1,5)，关于x轴对称的点的坐标是
A. (-3,-1,-5)B. (-3,1,-5)C. (3,1,-5)D. (3,-1,-5)
2.若直线3x-4y-2=0与直线6x+my+5=0平行，则这两条直线间的距离为( )
A. 110B. 910C. 35D. 75
3.空间向量a=(1,0,1)在b=(0,1,1)上的投影向量为( )
A. 12,0,12B. 22,0, 22C. 0,12,12D. 0, 22, 22
4.已知空间内三点A(1,1,2)，B(-1,2,0)，C(0,3,1)，则点A到直线BC的距离是( )．
A. 6B. 1C. 4 63D. 2 33
5.如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP=3PN，ON=23OM，设OA=a，OB=b，OC=c，则下列等式成立的是( )
A. OP=14a+14b+14cB. AN=a+13b+13c
C. AP=-34a+14b-14cD. OM=12b-12c
6.已知直线kx-y-k-1=0和以M(-3,1)，N(3,2)为端点的线段相交，则实数k的取值范围为( )
A. -12≤k≤32B. -2≤k≤23C. k≤-12或k≥32D. k≤-2或k≥23
7.如图三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，AB=BC=2，SA=2 2，则SC与AB所成角的大小为( )
A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°
8.在三棱锥P-ABC中，G为▵ABC的重心，PD=λPA,PE=μPB,PF=12PC,λ,μ∈(0,1)，若PG交平面DEF于点M，且PM=12PG，则λ+μ的最小值为( )
A. 12B. 23C. 1D. 43
二、填空题：本大题共8小题，共40分。
9.设e1,e2是空间两个不共线的向量，已知AB=e1+ke2,BC=5e1+4e2，DC=-e1-2e2，且A，B，D三点共线，则实数k= ．
10.设两直线l1:(3+m)x+4y=5-3m与l2:2x+(5+m)y=8.若l1//l2，则m= ，若l1⊥l2，则m= ．
11.过点A(3,-1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 .
12.已知向量a=(-2,t,-1),b=(2,1,1)，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围是 ．
13.经过两直线x+3y-10=0和3x-y=0的交点，且和原点相距为1的直线方程为 ．
14.已知直线l的方程为y=3x+3，则点P(4,5)关于l的对称点的坐标为 ；直线l关于直线x=1对称的直线方程为 ．
15.设m∈R，过定点A的动直线x+my+1=0和过定点B的动直线mx-y-2m+3=0交于点P(x,y)，则|PA|+|PB|的最大值 ．
16.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是棱BC、CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，若PA1//平面AEF，则线段PA1长度的最小值是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.已知▵ABC的两顶点坐标为A(1,-1)，C(3,0)，B1(0,1)是边AB的中点，AD是BC边上的高．
(1)求BC所在直线的方程；
(2)求高AD所在直线的方程．
(3)求过点C且与直线AB平行的直线方程．
18.如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD．

(1)求证：CC1⊥BD；
(2)当CDCC1的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明．
19.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=4，M、N、P分别是BB1、BC、A1B1的中点．
(1)证明：C1M⊥平面AMN；
(2)求C1M与平面PMN所成角的正弦值；
(3)求点P到平面AMN的距离．
20.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=π3，AD=4，AM=2，E为AB的中点．

(1)求证：AN//平面MEC；
(2)求ME与平面MBC所成角的正弦值；
(3)在线段AM上是否存在点P，使平面PEC和平面DEC的夹角大小为π3？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.A
2.B
3.C
4.A
5.A
6.C
7.B
8.C
9.1
10.-7；-133
11.x+3y=0或x+y-2=0．
12.(-∞,-1)∪(-1,5)
13.x=1或4x-3y+5=0
14.(-2,7) ；3x+y-9=0
15.6
16.3 22/32 2
17.解：(1)因为B1(0,1)是边AB的中点，所以B(-1,3)，
所以直线BC的斜率kBC=-34，
所以BC所在直线的方程为：y=-34(x-3)，即3x+4y-9=0；
(2)因为AD是BC边上的高，结合上问结论可知：kBC⋅kAD=-1，
所以kAD=43，
因此高AD所在直线的方程为：y+1=43(x-1)，即4x-3y-7=0．
(3)因为直线过点C且与直线AB平行，则其斜率k=kAB=-1-31-(-1)=-2，
所以其方程为y=-2(x-3)，
所以过点C且与直线AB平行的直线方程为2x+y-6=0．

18.解：(1)证明：设CD=a，CB=b，CC1=c，则BD=CD-CB=a-b，
底面ABCD是菱形，有a=b，且CD,CB,CC1两两所成角相等，设为θ，
则CC1⋅BD=c⋅(a-b)=c⋅a-c⋅b=c⋅acsθ-c⋅bcsθ=0，
∴CC1⊥BD，即CC1⊥BD．
(2)要使A1C⊥平面C1BD，只需A1C⊥C1D且A1C⊥C1B．
欲使A1C⊥C1D，则可证明CA1⋅C1D=0，即(CA+AA1)·(CD-CC1)=0，
也就是(CD+CB+CC1)⋅(CD-CC1)=0，
即CD2-CC12+CB⋅CDcs∠BCD-CBCC1cs∠C1CB=0，
由于∠C1CB=∠BCD，显然当CD=CC1时，上式成立．
同理可得，当CD=CC1时，A1C⊥C1B．
因此，当CDCC1=1时，能使A1C⊥平面C1BD．

19.解：(1)在直三棱柱中，∠BAC=90°，则AB，AA1，AC两两垂直，
如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，
则A(0,0,0)，N(1,0,1)，C1(0,4,2)，M(2,2,0)，P(1,4,0)，
所以AM=(2,2,0)，AN=(1,0,1)，C1M=(2,-2,-2)，
由C1M⋅AM=4-4+0=0，则C1M⊥AM，
由C1M⋅AN=2+0-2=0，则C1M⊥AN，
由AM∩AN=A，且AM,AN都在平面AMN内，则C1M⊥平面AMN．
(2)设平面PMN的一个法向量n=(x,y,z)，NP=(0,4,-1)，NM=(1,2,-1)，
所以n⋅NP=4y-z=0n⋅NM=x+2y-z=0，取y=1，则n=(2,1,4)，
所以csC1M,n=C1M⋅nC1Mn=4-2-82 3× 21= 77，
故C1M与平面PMN所成角的正弦值为 77．
(3)由(1)知平面AMN的一个法向量为C1M=(2,-2,-2)，由(2)知AP=(1,4,0)，
所以点P到平面AMN的距离AP⋅C1MC1M=2-8-02 3= 3．

20.解：(1)设CM与BN交于F，连接EF，
由已知可得四边形BCNM是平行四边形，所以F是BN的中点，
因为E是AB的中点，所以AN/\!/EF，
又EF⊂平面MEC，AN⊄平面MEC，
所以AN//平面MEC．
(2)由于四边形ABCD是菱形，∠DAB=π3，E是AB的中点，
可得DE⊥AB，又ADNM是矩形，ADNM⊥平面ABCD，
平面ADNM∩平面ABCD=AD，所以DN⊥平面ABCD，
以D为坐标原点，DE,DC,DN所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则D(0,0,0),E(2 3,0,0),C(0,4,0),M(2 3,-2,2),B(2 3,2,0),N(0,0,2)，
所以MB=(0,4,-2),BC=(-2 3,2,0)，ME=(0,2,-2)，
设平面MBC的一个法向量为m=(x,y,z)，
则MB·m=4y-2z=0BC·m=-2 3x+2y=0，令x=1，则y= 3,z=2 3，
设ME与平面MBC所成的角为θ，
所以sinθ=cs=|ME⃗·m⃗||ME⃗|·|m⃗|=|-2 3|2 2×4= 68，
所以ME与平面MBC所成角的正弦值为 68；
(3)设P(2 3,-2,h)(0≤h≤2)，CE=(2 3,-4,0),CE=(0,-2,h)，
设平面PEC的一个法向量为n=(a,b,c)，
则CE·n=2 3x-4y=0EP·n=-2y+hz=0，令y= 3h，则x=2h,z= 3，
所以平面PEC的一个法向量为n=(2h, 3h,2 3)，
又平面DEC的一个法向量n1=(0,0,1)，
所以cs=|n⃗·n1⃗||n⃗|·|n1⃗|=2 3 7h2+12=12，解得h=6 77>2．
在线段AM上不存在点P，使平面PEC和平面DEC的夹角大小为π3．