天津市第二十中学2024−2025学年高一下学期第一次学情调研 数学试题（含解析）

这是一份天津市第二十中学2024−2025学年高一下学期第一次学情调研 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共9小题）
1．设，是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量不能作为一组基底的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
2．设点，，，且，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．如图在梯形中，，，设，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知向量，，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
6．在中，内角的对边分别是.若， ，则（ ）
A．B．C．D．
7．在中，已知分别为角的对边且若且，则的周长等于
A．B．12C．D．
8．在中，角，，的对边分别为，，，其面积为，若，则一定是
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
9．如图，在中，，，与交于点，过点作直线，分别交，于点，，若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
二、填空题（本大题共6小题）
10．设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为 .
11．已知向量与的夹角是，，，则 ．
12．已知且与的夹角为锐角，则的取值范围是 .
13．如图，在离地面高的热气球上，观察到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为 .
14．在中，，则下列结论正确的是 ．
①外接圆的面积为 ②若，则
③当时，有一解 ④ 的面积有最大值
15．如图，在中，，，D，E分别是直线AB，AC上的点，，，且，则 ．若P是线段DE上的一个动点，则的取值范围是 ．

三、解答题（本大题共5小题）
16．已知，.
(1)求与的夹角的余弦值；
(2)若，求实数，的值；
(3)若与平行，求实数的值.
17．如图，，，分别是的边，，上的点，且，，，，，.设，.
(1)用向量，表示；
(2)求.
18．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．
(1)求A；
(2)若的面积为，求的值.
19．在中，角，，的对边分别为，，，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，，求和的值.
20．在中，，，的对边分别为，，，且.
(1)求外接圆半径；
(2)若为锐角三角形，求周长的取值范围.
参考答案
1．【答案】B
【详解】依题意，，不共线，
A选项，不存在，使得，
所以和可以作为基底.
B选项，由，
得，解得，所以和共线，不能作为基底.
C选项，由，
得，方程组无解，所以和可以作为基底.
D选项，不存在，，
所以和可以作为基底.
故选B.
2．【答案】C
【详解】设，则由可得：，
即，解得，即.
故选C.
3．【答案】D
【解析】根据题中，由向量的线性运算，直接求解，即可得出结果.
【详解】因为，，
所以，
又，，
所以.
故选D.
4．【答案】B
【详解】向量，，且，
所以，解得，所以，，
所以，
故选B.
5．【答案】D
【详解】由题意可知向量在向量上的投影向量为，
则，即，
而，故，
故选D.
6．【答案】A
【详解】因为，由正弦定理可得，
又因为，即，可得，
由余弦定理可得，
且，所以.
故选A.
7．【答案】A
【详解】在中，，故由正弦定理可得，再由
，可得，再由余弦定理可得，所以，故的周长为，故选A.
8．【答案】B
【详解】因为，所以，
而，故.
又，所以，
所以即，故或.
若，则，故，故为直角三角形；
若，则，故，故为直角三角形；
综上，故选B.
9．【答案】A
【详解】因三点共线，则存在，使，
因，则点为的中点，故，
又点在上，故，解得，故①，
因三点共线，则存在，使得②，
由①，②可得，消去，即得，即，
于是，
当且仅当时，的最小值为.
故选A.
10．【答案】/
【详解】由，得，
由三点共线，得，而，
则，又不共线，因此，解得，
所以实数的值为.
11．【答案】4
【详解】因为，，向量与的夹角是，
所以，
即，解得或（舍去）.
12．【答案】
【详解】因为，，所以，
因为与的夹角为锐角，所以，且与不同向共线，
所以且，
解得且，所以的取值范围为.
13．【答案】
【详解】在直角中，可得，所以，
因为中，，
所以，
由正弦定理，可得，
在直角中，因为，可得.
14．【答案】①④
【详解】由可知，，由正弦定理得：，所以，
所以外接圆的面积，①正确；
若，由正弦定理得：，解得：，
所以或（均符合题意），②错误；
由，得，
解得：，当且仅当时取等号，
所以，④正确；
，得，
当有一解时，关于方程只有一个正根
此方程有唯一正解等价于或，又，
解得：或，则③错误.
15．【答案】
【详解】∵，，∴，，
∵，又，，
∴
，
解得，∵，∴．
设，，
∴
，，
∴当时，有最小值，最小值为，
当时，有最大值，最大值为16.
16．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1），，则，，，
则.
（2）
则，解得.
（3），
与平行，则，得.
17．【答案】(1)
(2)1
【详解】（1）由题意可知：.
（2）由题意可知：，
因为，，，
则，
所以.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）中，，由正弦定理得，
又，则有，
由，，则，得，
由，则，得
（2），则，由，得，
由余弦定理，
得，得.
19．【答案】(1)；
(2)；.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
又，所以，所以，
即，整理得，即，
又，所以.
（2）因为，的面积为，所以，解得①
又②，所以，解得，
由余弦定理可得，即；
由①②可得，，解得，可得，
所以，所以，
则.
20．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因为，所以，
即，
又因为，则，
所以，
又，则，所以，
又，所以，
又，所以，解得.
（2）由正弦定理得：，所以，，
所以，
又，，
所以，
则
，
又因为为锐角三角形，所以，即，解得，
所以，则，所以，
即，故，
所以周长的取值范围为.