2025-2026学年内蒙古包头市青山区第二中学九年级上学期10月月考数学试题

这是一份2025-2026学年内蒙古包头市青山区第二中学九年级上学期10月月考数学试题，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设a，b是方程 的两个不相等的实数根，则 的值为（ ）
A．0B．2025C．2024D．2023
2．如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（ ）
A．B．C．D．
3．在数字1，2，3，4中任选两个组成一个两位数，这个两位数能被6整除的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当时，它是菱形B．当时，它是菱形
C．当时，它是矩形D．当时，它是正方形
5．用配方法解方程，配方后的方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下面所列方程中正确的是( )
A．168(1＋a%)2＝128B．168(1－a%)2＝128
C．168(1－2a%)＝128D．168(1－a2%)＝128
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B与点D重合，则折痕EF的长为（ ）
A．14B．C．D．15
8．如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连解FG，下列结论：（1）∠AGD＝112.5°；（2）E为AB中点；（3）S△AGD＝S△OCD；（4）正边形AEFG是菱形；（5）BE＝2OG，其中正确结论的个是（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题
9．四张相同的卡片上分别写有数字，，1，3．将卡片的背面向上洗匀后从中任意抽1张，并将卡片上数字记为，再从余下的卡片中任意抽1张，并将卡片上数字记为，则一次函数的图象经过第一、三、四象限的概率为 ．
10．已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则的值为 ．
11．如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x、y轴上，连接AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置．若点B的坐标为（2，4），则点D的横坐标是 ．
12．如图，以RtABC的斜边AB为一边，在AB的右侧作正方形ABED，正方形对角线交于点O，连接CO，如果AC=4，CO=，那么BC= ．

三、解答题
13．解方程：
(1)
(2)．
(3)（配方法）；
(4)
14．2024年，教育部先后印发对中小学生手机、睡眠、读物、作业、体质管理的通知，简称五项管理，是教育部旨在推进立德树人，促进学生身体健康、全面发展的重大举措．成都立格实验学校高度重视并积极推进五项管理．为了解立格学子手机使用情况，学校调查了部分学生寒假每天手机使用平均时长．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)参加这次调查的学生人数为_______，图①中m的值为_________；
(2)求参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数_______；
(3)通过调查分析发现，手机使用时长和学习成绩成负相关，为此，学校准备在参与调查的每天手机使用平均时长为1小时的四位同学（三男一女）中任选两位同学在全校做分享交流，请用列表或画树状图的方法，求选中两男的概率．
15．如图，在中，，，是的中点，是线段延长线上一点，过点作，与线段的延长线交于点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求线段的长度．
16．某市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，售价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克．
(1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：
①每千克茶叶应降价多少元？
②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
(2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由．
17．在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0，5）、C（12，0）作矩形，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为秒．
(1)当t=_____时，点P移动到点D；
(2)当△OPQ的面积为16时，求此时t的值；
(3)当为何值时，△PQB为直角三角形．
18．（1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形；
（2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形的周长；
（3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边，于点E，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长．
《内蒙古包头市青山区第二中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题》参考答案
1．C
【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程根与系数的关系，由条件可得，，再进一步求解即可.
【详解】解：设a，b是方程 的两个不相等的实数根，
∴，，
∴，
∴.
故选：C
2．B
【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积．
【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率．
设不规则图案的面积为，则有
解得：，
即不规则图案的面积为．
故选：B．
3．C
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图得出所有等可能的结果数以及这个两位数能被6整除的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中啊这两个两位数能被6整除的结果有：12，24，42，共3种，
这个两位数能被6整除的概率为．
故选：C．
4．D
【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．
根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意；
B、四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
5．D
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解一元二次方程的一般步骤：（1）化二次项系数为， 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数；（2）在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式；（3）配方后将原方程化为的形式，然后用直接开平方的方法解方程．
【详解】解：，
在方程两边同时除以，得：，即，
配方，得：，
即．
故选：D．
6．B
【详解】解：第一次降价a%后的售价是168（1-a%)元，
第二次降价a%后的售价是168（1-a%)(1-a%)=168(1-a%)2；
故选B.
7．D
【分析】设A′E＝AE＝x，则DE＝16﹣x，在Rt△A′DE中，根据勾股定理可得x值，即AE可求，证明FC＝AE，过E点作EH⊥BC于H点，则EH＝AB＝12，HF＝BC﹣BH﹣FC，在Rt△EFH中，利用勾股定理可得EF值．
【详解】根据折叠的对称性可知AE＝A′E，A′D＝AB．
设AE＝x，则DE＝16﹣x，
在Rt△A′DE中，根据勾股定理可得DE2＝A′D2+A′E2，
即（16﹣x）2＝122+x2，解得x＝，即AE＝A′E＝．
根据折叠的对称性可知∠BFE＝∠DFE，
又AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE．
∴∠DEF＝∠DFE，
∴DF＝DE．
又DC＝A′D，
∴Rt△DFC≌Rt△DEA′（HL）．
∴FC＝EA′＝．
过E点作EH⊥BC于H点，则EH＝AB＝12，HF＝BC﹣BH﹣FC＝16﹣﹣＝9，
在Rt△EFH中，利用勾股定理可得EF＝．
故选D．
【点睛】本题主要考查了翻折变换的对称性以及据悉的性质，在解决图形的折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
8．B
【分析】利用翻折不变性可知：AG=GF，AE=EF，∠ADG=∠GDF=22.5°，再通过角度计算证明AE=AG，即可得到答案，具体见详解．
【详解】因为∠GAD＝∠ADO＝45°，由折叠可知：∠ADG＝∠ODG＝22.5°．
（1）∠AGD＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，故（1）正确；
（2）设OG＝1，则AG＝GF＝，
又∠BAG＝45°，∠AGE＝67.5°，∴∠AEG＝67.5°，
∴AE＝AG＝，则AC＝2AO＝2（+1），
∴AB＝＝2+，
∴AE≠EB，故（2）错误；
（3）由折叠可知：AG＝FG，在直角三角形GOF中，
斜边GF＞直角边OG，故AG＞OG，两三角形的高相同，
则S△AGD＞S△OGD，故（3）错误；
（4）中，AE＝EF＝FG＝AG，故（4）正确；
（5）∵GF＝EF，
∴BE＝EF＝GF＝•OG＝2OG，
∴BE＝2OG，故（5）正确．
故选B．
【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，菱形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，列表法或画树状图法求概率．根据一次函数图象经过的象限去，确定，，再画树状图求概率即可．
【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限，
，，
画树状图如下：
由树状图可知，共有12种情况，其中满足条件的情况有4种，
即一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率为，
故答案为：．
10．-1
【分析】先把变型为，然后利用根与系数的关系求得α+β与αβ的值，最后代入到中，即可求解．
【详解】解：根据题意，一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，
利用根与系数的关系得α+β＝3；αβ=－3，
原式==，
故答案为－1．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程的两个根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系，是解答本题的关键．
11．
【分析】首先过点D作DF⊥OA于F，过D作DG⊥y轴于G．由四边形OABC是矩形与折叠的性质，易证得△AEC是等腰三角形，然后在Rt△AEO中，利用勾股定理求得AE，OE的长，从而得到DE、EC的长．在Rt△EDC中，利用三角形面积公式求得DG的长，即可得点D的横坐标．
【详解】过点D作DF⊥OA于F，过D作DG⊥y轴于G．
∵四边形OABC是矩形，∴OC∥AB，∴∠ECA＝∠CAB，根据题意得：∠CAB＝∠CAD，∠CDA＝∠B＝90°，∴∠ECA＝∠EAC，∴EC＝EA．
∵B（2，4），∴AD＝AB＝4，DC=CB=2．设OE＝x，则AE＝EC＝OC﹣OE＝4﹣x．在Rt△AOE中，AE2＝OE2+OA2，即（4﹣x）2＝x2+4，解得：x，∴OE，EC=AE，∴DE=DA－AE=4－=．在Rt△EDC中，∵DE•DC=DG•EC，∴DG===，∴点D的横坐标为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
12．8
【分析】通过作辅助线使得△CAO≌△GBO，证明△COG为等腰直角三角形，利用勾股定理求出CG后，即可求出BC的长．
【详解】

如图，延长CB到点G，使BG=AC．
∵根据题意，四边形ABED为正方形，
∴∠4=∠5=45°，∠EBA=90°，
∴∠1+∠2=90°
又∵三角形BCA为直角三角形，AB为斜边，
∴∠2+∠3=90°
∴∠1＝∠3
∴∠1+∠5=∠3+∠4，故∠CAO＝∠GBO，
在△CAO和△GBO中，
故△CAO≌△GBO，
∴CO＝GO=，∠7=∠6，
∵∠7+∠8=90°，
∴∠6+∠8=90°，
∴三角形COG为等腰直角三角形，
∴CG=，
∵CG=CB+BG，
∴CB=CG－BG=12－4=8，
故答案为8．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据题意建立正确的辅助线以及掌握正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解答本题的关键．
13．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法：公式法，因式分解法，配方法，直接开平方法，灵活选用解题方法是解题关键．
（1）利用公式法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可；
（3）利用配方法解方程即可；
（4）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：，
，，，
，
，
．
（2），
，
则，
∴
（3），
，
，
，
，
∴
（4），
，
∴
则或，
∴
14．(1)40，15
(2)
(3)
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图、利用列举法求概率，熟练掌握统计调查的相关知识和列举法是解题关键．
（1）根据每天使用手机为2小时的人数除以其所占的百分比求出调查总人数；根据每天使用手机为4小时的人数除以调查的总人数即可得的值；
（2）利用乘以每天使用手机为4小时的人数所占的百分比即可得；
（3）将三位男同学分别记为，一位女同学记为，先画出树状图，从而可得从四位同学（三男一女）中任选两位同学的所有等可能的结果，再找出选中两男的结果，然后利用概率公式计算即可得．
【详解】（1）解：参加这次调查的学生人数为（人），
则，
所以，
故答案为：40，15．
（2）解：，
即参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数为，
故答案为：．
（3）解：将三位男同学分别记为，一位女同学记为，
由题意，画出树状图如下：
由图可知，从四位同学（三男一女）中任选两位同学共有12种等可能的结果，其中，选中两男的结果有6种，
所以选中两男的概率为，
答：选中两男的概率为．
15．(1)证明见解析
(2)12
【分析】（1）先证明得到，再结合即可证明；
（2）根据（1）的证明，平行四边形的判定方法可得四边形是平行四边形，根据等腰三角形的性质，三角形的外角和定理可得，可判定是等边三角形，再证明四边形是矩形，然后在中利用角的性质和勾股定理求解即可，
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∵，
∵，即，
∴，而，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：（舍负），
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定，勾股定理，角直角三角形的性质，全等三角形三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质，平行四边形的判定是解题的关键．
16．(1)①每千克茶叶应降价30元或80元，②该店应按原售价的八折出售
(2)该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元．
【分析】（1）①通过设每千克茶叶降价元，利用“每千克利润×销售量 = 总利润”的关系列出方程求解；②在①的基础上，根据让利于顾客的要求确定降价金额，进而求出折扣；
（2）设降价元，依据上述利润关系列方程，通过判别式判断方程是否有实数根，从而确定获利能否达到．
本题主要考查了一元二次方程在销售利润问题中的应用，熟练掌握“每千克利润×销售量 = 总利润”的等量关系以及一元二次方程的解法、判别式的运用是解题的关键．
【详解】（1）解：①设每千克茶叶应降价元，
根据题意，得，
整理得，解得．
答：每千克茶叶应降价30元或80元；
②由①可知每千克茶叶可降价30元或80元，
要尽可能让利于顾客，
每千克茶叶应降价80元，
此时的售价为：（元），．
答：该店应按原售价的八折出售；
（2）解：该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元，理由如下：
设每千克茶叶应降价元，
根据题意，得，
整理得，
，
原方程没有实数根，
该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元．
17．(1)5
(2)4
(3)或或．
【分析】（1）由 是等腰直角三角形，可得，即可得出的值；
（2）过点作于点，则，，，代入面积公式即可得出，解方程即可；
（3）根据，，，表示出，，的长，再分或或，分别列出方程．
【详解】（1）平分，
，
，
，
，
，
，
故答案为：5；
（2）过点作于点，
平分，
，
，
又，，
，
，
，
（负值舍去），
；
（3）如图，连接，，，
由题意知，，，，
，
，
，
①若，
则，
，（舍去），
②若，
则，
，
③若，
则，
（舍，
综上所述，的值为：或或．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，直角三角形的性质等知识，将动点问题转化为线段的长是解题的关键．
18．（1）见详解；
（2）；
（3）．
【分析】（1）通过证明，得到，可证四边形为平行四边形，再由，可证平行四边形为菱形；
（2）过点作于，先判断四边形是矩形，再求矩形的边长，进而求出周长；
（3）过点作，交的延长线于，过点作于，先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形，在中，求出， 中，求出即可．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
垂直平分，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形；
（2）解：过点作于，
由折叠可知：，，
在中，，即，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
四边形的周长；
（3）解：过点作，交的延长线于，过点作于，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
，
由折叠的性质可知：，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
在 中，．
【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握菱形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，图形折叠的性质是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
C
B
C
D
D
B
D
B