辽宁省七校协作体2025-2026学年高一上学期10月联考数学试题含答案含答案解析

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考试时间：120分钟 满分：150分
命题校：丹东四中
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知命题p：，，则命题p的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据含有一个量词的否定得到答案即可.
【详解】命题p：，，则命题p的否定为，,
故选：D.
2. 若集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合的交集补集运算即可求解.
【详解】，，
故选：A.
3. 设，则“”是“”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】求出的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】等价于，故推不出；
由能推出．
故“”是“”的必要不充分条件．
故选B．
【点睛】充要条件的三种判断方法：
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；
(2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．
4. 不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式不等式的求解方法求解即可.
【详解】不等式可化为，即，等价于，
解得，解集为.
故选：B.
5. 已知，下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对AB，举反例说明；对CD，利用不等式的性质求解判断.
【详解】对于A，取，则，故A错误；
对于B，取，则，，所以，故B错误；
对于C，，，故C错误；
对于D，，，故，故D正确
故选：D.
6. 已知，当时，取得最小值为b，则（ ）
A. B. 2C. 3D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】变形后根据基本不等式求出，并得到等号成立的条件，得到答案.
【详解】因为，所以，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
故，.
故选：C
7. 集合，若，则（ ）
A. B. 3或C. 3D. 3或或5
【答案】A
【解析】
【分析】由得，分类讨论：当时，，经验证不合题意，当时，得或，经验证符合题意.
【详解】因为，所以，
当时，，此时，，，不合题意，
当时，或，
当时，，，符合题意，
当时，不满足元素的互异性.
综上所述：.
故选：A.
【点睛】本题考查了由集合的交集求参数，考查了分类讨论思想，考查了集合中元素的互异性，属于基础题.
8. 已知，，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据基本不等式得到，结合题意得到，即，再解不等式即可.
【详解】，当且仅当时等号成立，
解得，即.
因为不等式恒成立，
所以，即，解得.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如果集合只有一个元素，则的值是（ ）
A. 0B. 1C. D. 2
【答案】AC
【解析】
【分析】分和两种情况进行讨论.
【详解】集合只有一个元素，
所以方程只有一个实数解.
若，方程只有一解；
若，方程只有一个实数解，所以.
故选：AC
10. 若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ）
A. 且B.
C D. 对任意恒成立
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据不等式的解集是，可得且方程的根为，再结合韦达定理求出的关系，再逐一判断即可.
【详解】因为不等式的解集是，
所以且方程的根为，
则，所以，故A正确；
则，故B正确；
则，故C错误；
对于D，因为，
所以对任意恒成立，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知，，且，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最小值为2D. 的最大值为8
【答案】BC
【解析】
【分析】A选项，利用基本不等式直接进行求解；B选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最值；C选项，两边平方后，利用基本不等式求出答案；D选项，变形得到，D错误.
【详解】A选项，因为，由基本不等式得，
即，故A错误；
B选项，因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为，B正确；
C选项，两边平方得，
，其中，
当且仅当，即时，等号成立，
故，解得，
的最小值为2，C正确；
D选项，因为，，
所以，
故D错误.
故选：BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 用列举法表示集合______．
【答案】
【解析】
【分析】找到6的正因数，结合列举法即可得出结果.
【详解】因为，且，所以，则，故或7，所以．
故答案为：.
13. 牛栏山一中高一年级某班有学生人，其中音乐爱好者人，体育爱好者人，还有人既不爱好体育也不爱好音乐，则这个班级中既爱好体育又爱好音乐的有______人．
【答案】
【解析】
【分析】运用集合间关系即可得出结果.
【详解】
由题意作出Venn图，从而求解人数，
设这个班级中既爱好体育又爱好音乐的有人，
则可得，，解得，，
即这个班级中既爱好体育又爱好音乐的有人，
故答案为：.
14. 已知，且满足，则的最小值为__________．
【答案】1
【解析】
【分析】对原式变形后可得，令，待求式转化为，
由基本不等式求最值即可.
【详解】由可得，即，
令，则，
，
当且仅当，即时等号成立，
故答案为：1
四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设集合，，.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据集合的交集运算求解；
（2）分和讨论，根据子集关系求解出的取值范围.
【小问1详解】
，，
.
【小问2详解】
当时，，解得：，满足题意；
当时，，解得，由（1）知，
，画出数轴图，

，解得.
综上，实数的取值范围是.
16. 已知关于的方程有两个不相等的实根.
（1）若，求的值；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知求出范围，然后根据韦达定理结合已知得出关于的方程，求解即可得出答案；
（2），代入韦达定理得出关于的二次函数，结合的范围，即可得出答案.
【小问1详解】
由已知可得，，所以.
由韦达定理可得，.
因为，
所以有，即，
整理可得，
解得（舍去）或，
所以，.
【小问2详解】
由（1）知，，，
则.
因为，所以，
所以，的取值范围是.
17. 设集合．
（1）若，求；
（2）若“”是“”充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）求解二次不等式，得到集合，根据集合并集运算法则计算即可；
（2）由题可知，列出不等式进行计算即可．
【小问1详解】
当时，或；
∵，
∴或；
【小问2详解】
∵“”是“”的充分条件，∴，
∵，即，
∴或，∴或，
而，要使得，
需有或，
∴或．
18. 已知集合，．
（1）若，且，求实数及的值；
（2）在（1）的条件下，若关于的不等式组没有实数解，求实数的取值范围；
（3）若，且关于的不等式；的解集为，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）本题首先可通过求解得出或，然后根据、得出集合，最后根据和是方程的解即可得出结果；
（2）本题首先可结合（1）将转化为，然后根据没有实数解即可得出结果；
（3）本题首先可根据求出、，然后分为、两种情况对进行讨论，即可得出结果.
【详解】（1）因为，即，解得或，
所以集合或，
因为，，所以集合，
因为集合，
所以和是方程的解，
则，解得，.
（2）因为，，
所以，即，解得，
故不等式组没有实数解即没有实数解，
故，实数的取值范围为.
（3）因为，所以和是方程的解，
则，解得，，
即，
因为的解集为，
所以若，则，解得，
若，即，解集为，
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】本题考查集合与一元二次不等式的性质的综合应用，考查根据交集、并集的相关性质求集合，考查一元二次不等式的解法，考查推理能力与计算能力，考查函数方程思想，体现了综合性，是难题.
19. 关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____．
其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3.
根据上述材料解决以下问题．
（1）已知为正实数，且，求证：；
（2）已知，且，则的最小值是多少?
（3）某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少?”时，给出如下解法：
令，则化为．
原式
当且仅当，即，即，时，等号成立．
利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，则的最大值是多少?
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将化为，再应用基本不等式即可证结论；
（2）将化为，再应用基本不等式求最小值；
（3）将化为，再应用换元法及基本不等式求最大值.
【小问1详解】
，
当且仅当，即时，等号成立，得证．
【小问2详解】
，
当且仅当，即，时，等号成立，
则的最小值是
【小问3详解】
，
令，原式，令，
原式，
当且仅当，即，时，等号成立．
所以的最大值为