2024-2025学年广东省广州市荔湾区真光中学上学期期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省广州市荔湾区真光中学上学期期中数学试卷（含答案），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
2．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是
A．，，B．，，C．，，D．，，
3．（3分）盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，利用的几何原理是
A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线D．垂线段最短
4．（3分）如图，点、分别在、上，已知，添加下列条件，不能说明的是
B．C．D．
5．（3分）将一副直角三角尺如图放置，若，则的大小为
A．B．C．D．
6．（3分）如图，在△中，，线段的垂直平分线交于点，△的周长是，则的长为
A．B．C．D．
7．（3分）如图，△是广州市正在建设的一个精品口袋公园的示意图．现要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路，的距离相等，且使得，则凉亭的位置应选在
A．的角平分线与边上中线的交点
B．的角平分线与边上中线的交点
C．的角平分线与边上中线的交点
D．的角平分线与边上中线的交点
8．（3分）如图，在五边形中，若去掉一个的角后得到一个六边形，则的度数为
A．B．C．D．
9．（3分）如图，在中，点、分别是边、的中点，，，将沿折叠，点的对应点是点，则的度数是
A．B．C．D．
10．（3分）如图，在△中，，的角平分线，交于点，过点分别作于点，于点，下列结论：①平分；②；③；④，其中正确的个数有
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）若点与关于轴对称，则点在第 象限．
12．（3分）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为 ．
13．（3分）如图为一幅不完整的正边形图案，若，则这个多边形的内角和为 度．
14．（3分）如图所示，在中，为中线，且，，则边的取值范围是 ．
15．（3分）如图，在△中，，，，分别是边，，上的点，且，，，则的度数为 ．
16．（3分）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是 （填写正确的序号）．
三、解答题（本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17．（4分）计算：．
18．（4分）如图，点、在的边上，，．求证：．
19．（6分）如图，△的顶点都在格点上，点坐标为．
（1）将△沿轴正方向平移3个单位长度，得到△，画出△，并写出点的坐标；
（2）画出△关于直线对称的△，并写出点的坐标．
20．（6分）数学社团同学用四根小木棒钉成一个“筝形”仪器，其中，．
（1）如图①，将“筝形”仪器上的点与的顶点重合，，分别放置在角的两边，上，并过点，画射线．求证：平分；
（2）数学社团同学尝试使用“筝形”仪器检测教室门框是否水平．
如图②，在仪器上的点处绑一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点，紧贴门框上方，如果线绳恰好经过点，则可判断门框是水平的．数学社团同学的判断依据是
．等角对等边
．等边对等角
．等腰三角形“三线合一”
（3）如图③，在△中，，，若点，分别是边，上的动点，当四边形为“筝形”时，则的度数是 ．
21．（8分）如图，点，点在△外，连接，，，且，，．
（1）尺规作图：作的角平分线并与相交于点（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：．
22．（10分）如图，在和中，，，，且点，，在同一条直线上，，分别为，的中点．
（1）求证：；
（2）判断的形状，并说明理由．
23．（10分）为传承优秀传统文化，某地青少年活动中心计划分批次购进四大名著：《西游记》《水浒传》《三国演义》《红楼梦》．第一次购进《西游记》50本，《水浒传》60本，共花费6600元；第二次购进《西游记》40本，《水浒传》30本，共花费4200元．
（1）求《西游记》和《水浒传》每本的售价分别是多少元；
（2）青少年活动中心决定再购买上述四种图书，总费用不超过32000元．如果《西游记》比《三国演义》每本售价多10元，《水浒传》比《红楼梦》每本售价少10元，要使先后购进的四大名著刚好配套（四大名著各一本为一套），那么这次最多购买《西游记》多少本？
24．（12分）如图，已知在△中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．
（1）当点的运动速度为多少时，能够使△与△全等？
（2）若点以的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿△三边运动，求经过多长时间点与点第一次在△的哪条边上相遇？
25．（12分）（1）如图1，等腰直角△中，，，线段经过点，过作于点，过作于．求证：△△．
（2）如图2，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点．若△是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标；
（3）如图3，在△中，，，点（不与点重合）是轴上一个动点，点是中点，连接，把绕着点顺时针旋转得到（即，，连接、、，试猜想的度数，并给出证明．
2024-2025学年广东省广州市荔湾区真光中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.每小题有且只有一个正确选项）
1．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
【解答】解：，，选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
2．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是
A．，，B．，，C．，，D．，，
【解答】解：、，，
该三边不能组成三角形，故此选项错误；
、，，
该三边能组成三角形，故此选项正确；
、，，
该三边不能组成三角形，故此选项错误；
、，，
该三边不能组成三角形，故此选项错误；
故选：．
3．（3分）盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，利用的几何原理是
A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线D．垂线段最短
【解答】解：盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样就构成了三角形，故这样做的数学道理是三角形的稳定性．
故选：．
4．（3分）如图，点、分别在、上，已知，添加下列条件，不能说明的是
A．B．C．D．
【解答】解：已知条件中，为公共角，
中，满足两角夹一边，可判定其全等，正确；
中两边夹一角，也能判定全等，也正确；
中，即，又为公共角，，所以可得三角形全等，对；
中两边及一角，但角并不是夹角，不能判定其全等，错．
故选：．
5．（3分）将一副直角三角尺如图放置，若，则的大小为
A．B．C．D．
【解答】解：将一副直角三角尺如图放置，，
，
．
故选：．
6．（3分）如图，在△中，，线段的垂直平分线交于点，△的周长是，则的长为
A．B．C．D．
【解答】解：是线段的垂直平分线，
，
△的周长是，
，
，
，
，
故选：．
7．（3分）如图，△是广州市正在建设的一个精品口袋公园的示意图．现要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路，的距离相等，且使得，则凉亭的位置应选在
A．的角平分线与边上中线的交点
B．的角平分线与边上中线的交点
C．的角平分线与边上中线的交点
D．的角平分线与边上中线的交点
【解答】解：如图，作的角平分线，边上中线，与交于，连接，
当点在的角平分线上，
点到公路，的距离相等，
是△的边上中线，
，，
，
凉亭的位置应选在的角平分线与边上中线的交点，
故选：．
8．（3分）如图，在五边形中，若去掉一个的角后得到一个六边形，则的度数为
A．B．C．D．
【解答】解：解法一：
，，
，
，
，
解法二：在中，，
故选：．
9．（3分）如图，在中，点、分别是边、的中点，，，将沿折叠，点的对应点是点，则的度数是
A．B．C．D．
【解答】解：，，
，
点、分别是边、的中点，
，
，，
将沿折叠，
△，
，
．
故选：．
10．（3分）如图，在△中，，的角平分线，交于点，过点分别作于点，于点，下列结论：①平分；②；③；④，其中正确的个数有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①过点作于，
平分，平分，，，，
，，
，
点在的角平分线上，故①正确；
②，，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
同理：△△，
，
，
，②正确；
③平分，平分，
，，
，③正确；
④由②可知△△，△△，
，，
，故④正确，
故选：．
二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）若点与关于轴对称，则点在第 四 象限．
【解答】解：点与关于轴对称，
，，
点在第四象限．
故答案为：四．
12．（3分）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为 ．
【解答】解：分情况考虑：当是腰时，则底边长是，此时，，不能组成三角形，应舍去；
当是底边时，腰长是，，，能够组成三角形．此时腰长是．
故答案为：．
13．（3分）如图为一幅不完整的正边形图案，若，则这个多边形的内角和为 1800 度．
【解答】解：根据正边形的性质得：，
，
，
，
解得：，
这个多边形的内角和为：．
故答案为：1800．
14．（3分）如图所示，在中，为中线，且，，则边的取值范围是 ．
【解答】解：如图，延长到使，连接，
在与中，
，
，
，
，，
根据三角形三边关系得：，
即，
故答案为：．
15．（3分）如图，在△中，，，，分别是边，，上的点，且，，，则的度数为 44 ．
【解答】解：在△和△中，
，
△△，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：44．
16．（3分）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是 ①②③ （填写正确的序号）．
【解答】解：和的平分线相交于点，
，，
，①正确；
，
，
，分别是与的平分线，
，
，
，
，
如图，在上取一点，使，
是的角平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，故②正确；
作于，于，
和的平分线相交于点，
点在的平分线上，
，
，③正确．
故答案为：①②③．
三、解答题（本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17．（4分）计算：．
【解答】解：
．
18．（4分）如图，点、在的边上，，．求证：．
【解答】证明：如图，过点作于．
，
；
，
，
，
．
19．（6分）如图，△的顶点都在格点上，点坐标为．
（1）将△沿轴正方向平移3个单位长度，得到△，画出△，并写出点的坐标；
（2）画出△关于直线对称的△，并写出点的坐标．
【解答】解：（1）如图，△即为所求．
由图可得，点的坐标为．
（2）如图，△即为所求．
由图可得，点的坐标为．
20．（6分）数学社团同学用四根小木棒钉成一个“筝形”仪器，其中，．
（1）如图①，将“筝形”仪器上的点与的顶点重合，，分别放置在角的两边，上，并过点，画射线．求证：平分；
（2）数学社团同学尝试使用“筝形”仪器检测教室门框是否水平．
如图②，在仪器上的点处绑一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点，紧贴门框上方，如果线绳恰好经过点，则可判断门框是水平的．数学社团同学的判断依据是
．等角对等边
．等边对等角
．等腰三角形“三线合一”
（3）如图③，在△中，，，若点，分别是边，上的动点，当四边形为“筝形”时，则的度数是 ．
【解答】（1）证明：，，，
△△，
，
平分；
（2）解：，
△是等腰三角形，
平分，
，依据是等腰三角形“三线合一”性质．
故选：；
（3）解：，，
，
四边形为“筝形”，
①当，时，如图，
四边形为“筝形”，
△△，
，
；
②当，时，如图，
四边形为“筝形”，
△△，
，
．
综上，的度数为或．
故答案为： 或．
21．（8分）如图，点，点在△外，连接，，，且，，．
（1）尺规作图：作的角平分线并与相交于点（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：．
【解答】（1）解：如图：
（2）证明：平分，
，
，
，
，
，，
△△，
；
22．（10分）如图，在和中，，，，且点，，在同一条直线上，，分别为，的中点．
（1）求证：；
（2）判断的形状，并说明理由．
【解答】证明：（1），
，即，
在和中，
，
；
（2）结论：为等腰三角形．
理由：、分别为、的中点，且，
，
，
，，
在和中，，
，
，
即为等腰三角形．
23．（10分）为传承优秀传统文化，某地青少年活动中心计划分批次购进四大名著：《西游记》《水浒传》《三国演义》《红楼梦》．第一次购进《西游记》50本，《水浒传》60本，共花费6600元；第二次购进《西游记》40本，《水浒传》30本，共花费4200元．
（1）求《西游记》和《水浒传》每本的售价分别是多少元；
（2）青少年活动中心决定再购买上述四种图书，总费用不超过32000元．如果《西游记》比《三国演义》每本售价多10元，《水浒传》比《红楼梦》每本售价少10元，要使先后购进的四大名著刚好配套（四大名著各一本为一套），那么这次最多购买《西游记》多少本？
【解答】解：（1）设《西游记》每本的售价为元，《水浒传》每本的售价为元，
依题意得：，
解得：．
答：《西游记》每本的售价为60元，《水浒传》每本的售价为60元．
（2）《三国演义》每本售价为（元，
《红楼梦》每本售价为（元．
设这次购买《西游记》本，则购买《水浒传》本，《三国演义》本，《红楼梦》本，
依题意得：，
解得：．
又为整数，
可以取的最大值为88．
答：这次最多购买《西游记》88本．
24．（12分）如图，已知在△中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．
（1）当点的运动速度为多少时，能够使△与△全等？
（2）若点以的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿△三边运动，求经过多长时间点与点第一次在△的哪条边上相遇？
【解答】解：（1）已知在△中，，，点为的中点，
，，
若△△时，
则，，
，
点，点运动的时间，
；
若△△时，
则，，
点，点运动的时间，
，
当点的运动速度为或时，能够使△与△全等；
（2）点以的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿△三边运动，设经过秒后点与点第一次相遇，
由题意，得，
解得，
经过点与点第一次相遇，
，
经过点与点第一次在△的边上相遇．
25．（12分）（1）如图1，等腰直角△中，，，线段经过点，过作于点，过作于．求证：△△．
（2）如图2，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点．若△是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标；
（3）如图3，在△中，，，点（不与点重合）是轴上一个动点，点是中点，连接，把绕着点顺时针旋转得到（即，，连接、、，试猜想的度数，并给出证明．
【解答】（1）证明：，
，
，，
，
，
，
，
△△；
（2）解：如图2所示，过点作轴，过点作于，过点作于，
点，点，
，，
同理可证明△△，
，，
；
同理，△△，
为的中点，
；
由题意得：四边形与四边形是正方形，
正方形对称角的交点坐标为，与正方形对称角的交点坐标为，
，．
综上，点的坐标为或或或；
（3）解：猜想，证明如下：
①当点运动到点右侧时，
如图3中，延长至，使，连接，，．
在△和△中，
，
△△，
，，
，
，
，，
△是等腰直角三角形，
，，，
，
，
即，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
，
，
，
△是等腰直角三角形，；
②当点运动到点左侧时，
同理可证，，
综上所述，．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/6/18 17:16:48；用户：初数1；邮箱：jscs1@xyh.cm；学号：39865877题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
A
D
B
A
A
A
B
D